精品解析：山东省枣庄市第十五中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级单元学习评价数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）（结果保留）． A. B. C. D. 4. 在 中，，，那么 的长是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 6. 已知三个点、、在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 已知：如图，在 中，，点 是 的中点．求证：． 证明：延长到 ，使， 连接 、 中间的证明过程排乱了： ①∵ ②∵，； ③∴四边形 是平行四边形； ④∴四边形 是矩形． ∴，∴． 则中间证明过程正确的顺序是（ ）． A. ①④②③ B. ①③②④ C. ②④①③ D. ②③①④ 8. 市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度 成反比例，关于 的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积定为，当施工队按计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少，相应地，储存室的底面积应（ ） A. 减少 B. 增加 C. 减少 D. 增加 9. 在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A. 2 B. C. D. 10. 某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ） （参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40） A. 141.4米 B. 188.6米 C. 205.7米 D. 308.6米 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为_____． 12. 《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是________． 13. 如图，在矩形 中，，，点 在上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，那么________． 14. 点是反比例函数图象上一点，过点分别作 轴、 轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是________． 15. 函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是________． 16. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小临从四张卡片中随机抽取两张，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率是_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 19. 如图， 是 的边 上的一点，连接 ，已知． （1）求证：； （2）若 ，，求 的长． 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时间 （分钟）的变化规律如图所示（其中 、 分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点 是 轴上一点，连接 ， ，且 的面积为，求点 的坐标. 22. 眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离 为40cm， 与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长 为52cm，且 垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离 ．（参考数据：，，） 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段 于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级单元学习评价数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 某积木配件如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可． 【详解】解：观察图形，从左面看到的图形如图所示： 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，不可见部分用虚线． 2. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 3. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ）（结果保留）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆柱体．根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是 ， 圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高， 且底面周长为：， ∴这个圆柱的侧面积是． 故选：C． 4. 在 中，，，那么 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键． 【详解】解：在 中，，， ∴， 故选C． 5. 若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4， ∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c， 解得b=﹣2，c=﹣8 ∴b+c=﹣10． 故选A． 【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键. 6. 已知三个点、、在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先判断出反比例函数经过的象限以及增减性，再由即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大， ∵三个点、、在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 7. 求证：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半． 已知：如图，在 中，，点 是 的中点．求证：． 证明：延长到 ，使， 连接 、 中间的证明过程排乱了： ①∵ ②∵，； ③∴四边形 是平行四边形； ④∴四边形 是矩形． ∴，∴． 则中间证明过程正确的顺序是（ ）． A. ①④②③ B. ①③②④ C. ②④①③ D. ②③①④ 【答案】D 【解析】 【分析】延长到 ，使，连接 、，然后证明四边形 是矩形，再根据矩形的性质可得，进而可证； 【详解】证明：延长到 ，使，连接 、， ②∵，； ③∴四边形 是平行四边形． ①∵ ④∴四边形 是矩形， ∴， ∴． 则中间证明过程正确的顺序是②③①④． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；证明四边形 为矩形是解题的关键． 8. 市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室，储存室的底面积与其深度 成反比例，关于 的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积定为，当施工队按计划掘进到地下时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少，相应地，储存室的底面积应（ ） A. 减少 B. 增加 C. 减少 D. 增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键． 先求出反比例函数解析式，再计算时的值，再用的函数值减去时的值即可得到答案． 【详解】解∶设反比例函数解析式为， 当时， ， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 增大的底面积为∶ ． 故选∶D． 9. 在如图所示的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，则的正切值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，如图，取格点K，连接，．观察图形可知，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点K，连接，，则， 观察图形可知，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ） （参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40） A. 141.4米 B. 188.6米 C. 205.7米 D. 308.6米 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F，设AE=x，则DE=x，AB=x+120，CB=x+90，FC=60，根据FC+BC=FB=DE，建立方程求解即可． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，交BC的延长线于点F， ∵BC⊥AB， ∴四边形DFBE是矩形， ∴DF=BE=120，DE=FB，∠EDC=∠DCF=63.5°， 设AE=x，则AB=x+120， ∵tan∠ADE=， ∴tan22°=， ∴DE=x， ∵tan∠DCF=， ∴tan63.5°=， ∴FC=60， ∵AC的坡度为1：0.75， ∴tan∠ACB==1：0.75， ∴CB=x+90， ∵FC+BC=FB=DE， ∴60+x+90=x， 解得x=85.7， ∴AB=x+120=205.7， 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，利用仰角，俯角，坡度测量物高，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知tan（α+15°）＝，则tanα的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定α的度数，然后再利用三角函数值求答案． 【详解】∵tan60°＝， ∴α+15°＝60°， 解得：α＝45°， ∴tanα＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查求三角函数值，关键是先考虑解出α． 12. 《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例． 根据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解∶如图过 作直线，交于 ， 依题意 ， ， ，． 而 ， ， 、 分别是它们的高， ， ， ， 故答案为∶． 13. 如图，在矩形 中，，，点 在上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 边上的点 处，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到 的长，再根据正切数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形 为矩形， ∴，，， ∵矩形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上的 处， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则 ∵在中， ， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 14. 点是反比例函数图象上一点，过点分别作 轴、 轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，根据矩形面积是4可知，故可得出k的值，进而得出结论． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∵矩形面积是4 ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：或． 故答案为：或． 15. 函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即反比例图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出 的值即可． 【详解】解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是， 则， 解得． 故符合条件的点的坐标是：、． 故答案为：、． 16. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小临从四张卡片中随机抽取两张，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及小临抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶四张卡片内容中是化学变化的有∶A，D． 画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中小临抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有∶，．共2种，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求30度角的正弦值，再根据因式分解法解一元二方程即可； （2）先求特殊角的三角函数值，再求负整数指数幂和绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解：（1）， ， 或， ∴，； （2）原式 ． 18. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 /元 日销售量 /件 （1）求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出 与 之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出 与 之间的函数表达式； （2）利用销售额 每件售价销售量，即可得出关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：设 与 之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与 之间的函数表达式为； 【小问2详解】 略 19. 如图， 是 的边 上的一点，连接 ，已知． （1）求证：； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （ ）设，则，由相似三角形的性质得，代入数据即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴． 20. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数 随时间 （分钟）的变化规律如图所示（其中 、 分别为线段，为双曲线的一部分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由. 【答案】（1）第30分钟学生的注意力更集中； （2）能， 令，则， ∴． 令，则， ∴． ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【解析】 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得 和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 设线段 所在直线的解析式为， 把代入得, ∴， ∴， 设 ， 所在双曲线的解析式为， 把代入得， ∴． 当时，； 当时，． ∴． ∴第30分钟学生的注意力更集中； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； （3）若点 是 轴上一点，连接 ， ，且 的面积为，求点 的坐标. 【答案】（1）；，图见解析 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，分别代入，求得以及的值，进而待定系数法求一次函数解析式，根据 两点画出一次函数图象即可； （2）根据函数图象，结合 两点的横坐标，根据直线在双曲线的上方时的自变量的取值范围，即可求解； （3）设一次函数与 轴的交点为 ，求得，设，则，根据 的面积为，可得列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点，分别代入， 即， 解得：， ∴ ∴, 将代入， 即 解得： ∴, 如图所示， 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，不等式的解集为或， 【小问3详解】 解：设一次函数与 轴的交点为 ， 由一次函数，令，解得，则， 设， ∴， ∴， ∵ 的面积为， ∴， 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，求一次函数与反比例函数解析式，求直线围成的三角形面积，数形结合是解题的关键． 22. 眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离 为40cm， 与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长 为52cm，且 垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离 ．（参考数据：，，） 【答案】小林与书籍底端的水平距离 为 【解析】 【分析】如图，过点D作于M，延长交 的延长线于点H，则四边形是矩形，，，由，，可得，在中，，，则，，，在中，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于M，延长交 的延长线于点H， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：小林与书籍底端的水平距离 为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在 中， ， ，垂足为点D．若 ，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段 于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在 中， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $