精品解析：上海市进才中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

上海市进才中学2024—2025学年初三上学期12月数学月考试卷 （完卷时间100分钟，满分150分） 注意： 1．本卷含三个大题，共25题．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查仰角和俯角及平行线的性质，理解题意，作出相应的图形是解题关键． 根据题意作出图形，然后找出相应的仰角和俯角，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即， ∵， ∴， ∴在B点处观察A点的俯角为， 故选A． 2. 如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（ ）． A. 开口方向相同 B. 顶点坐标相同 C. 变化情况相同 D. 对称轴相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，根据旋转的性质，得到两条抛物线的开口方向相反，顶点关于原点对称，对称轴相同，即可得出结论． 【详解】解：的图象的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为：， ∴抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线的开口向下，顶点坐标为：，对称轴为轴， ∴这两条抛物线的变化情况不同，对称轴相同； 故选D． 3. 如果斜坡的坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坡度和坡角，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：． 根据斜坡的坡度，可得，然后求出α的度数． 【详解】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∴． 故选：C． 4. 在中，点D、E分别在边、上，，和交于点O，如果，那么的比值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 由可得，再利用证明，由相似三角形的性质即可得到结论． 详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（ ）． A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，相似三角形的判定，根据等边对等角，求出，角平分线得到，根据两组对应角对应相等的三角形相似推出，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； 故选C． 6. 已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题、等腰三角形的定义，勾股定理，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，分三种情况：当时，当时，当时，分别讨论． 【详解】解：， 当时，或，则，设，， 当时，，则， 由勾股定理可得：，，， ∵为等腰三角形 则当时，即， ∴，解得：， 当时，与点重合，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 综上，当或或时，是等腰三角形， 即：能使为等腰三角形的抛物线共有4条． 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，正确计算是解题的关键． 将代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 8. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 9. 将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据二次函数图象平移的规律，即左加右减，上加下减求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是，即， 故答案为：． 10. 点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的增减性，对称轴，熟练掌握抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 根据二次函数得到抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越大计算判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 11. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余切的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余切的定义即可得． 【详解】解：∵，， 设，则，， ∴， 故答案为：． 12. 已知点G是的重心，设，，那么______．（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中线的性质，重心的性质，平面向量；根据中线的性质得到，再利用重心的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点．延长交于点E，连接并延长，交于点F，由等腰三角形三线合一证明，，，进而可得，在求出，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，连接并延长，交于点F， ∵点G是等边的重心， ∴，是中线，,， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 如图，与交于点，且．若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，点D，E为边三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由三等分点的定义与平行线的性质得出，，是的中位线，证，得，解得，则． 【详解】解：∵D、E为边的三等分点，， ∴，，， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 16. 如图，在中，为边上的中线，且，若，，则线段______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，设，勾股定理求出，进而得到，三角形的中线平分面积得到，求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， 设， ∴， ∴， ∵为边上的中线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 17. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口方向以及与轴的交点可知， ，根据对称轴为直线得出，即可判断①；由对称轴为直线得出，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（，，为常数）关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵时，，对称轴为直线， ∴时，， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴，即，故④错误； 故答案为：①②③． 18. 在中，，，点是边的中点，点是上一动点，，连接，作点关于直线的对称点，如果，那么的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，分两种情况讨论：如图，当在的下方时，记于，如图，当在的上方时，再画出符合题意的图形，结合轴对称的性质可得：，，再确定相关的直角三角形利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，当在的下方时，记于，由轴对称的性质可得：，， ∵，点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 如图，当在的上方时， 同理可得：，， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．由特殊角的三角函数值的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： （1）新抛物线的表达式． （2）新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】（1） （2）与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式， （2）将和代入函数关系式求解，即可． 【小问1详解】 解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 21. 在中，分别是边和上的中线，连接交于点E，过点D作，若． （1）设，，用，表示向量______；______； （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，相似三角形的判定和性质： （1）中线得到，证明，得到，，求出，三角形法则求出，证明，求出即可； （2）根据相似三角形的性质求出，的长，用求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵分别是边和上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：，， ∴， ∴． 22. 世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 【答案】双子山的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点C，用三角函数解和即可． 【详解】解：延长交的延长线于点C，则，． 在中，， 则， ， 在中，，， ， ， 答：双子山的高度约为． 23. 如图，是中的平分线，，是的垂直平分线，交于点的延长线交于点N． 求证： （1） （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的性质，根据所求等式确定三角形依据相似证得结论是解题的关键． （1）证明，即可证明结论； （2）先证明，即可证明，从而证明结论． 【小问1详解】 证明：是中的平分线， ， 在中，， 是的垂直平分线， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是的垂直平分线， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M． （1）求该抛物线的表达式与点M的坐标； （2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D． ①求点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标． 【答案】（1）；顶点M的坐标是：(2，6)；（2）①点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)；②F(﹣2，)． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M的坐标； （2）①根据新抛物线的对称轴l经过点A，可得新抛物线的顶点为(-2,k)，设平移后新抛物线的解析式为，可得C点坐标，由面积列方程求出k，从而可以得到点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②根据题意和正方形的性质，设F(﹣2，2a)、E(﹣2+a，a)．将E代入（2）的解析式中即可求出a，继而解题．可以求得点F的坐标． 【详解】解：（1）将A(﹣2，﹣2)、B(0，4)代入中， 解得 ∴该抛物线的表达式为：； ∵y＝x2+2x+4＝(x﹣2)2+6， ∴顶点M的坐标是：(2，6)； （2）①∵平移后抛物线的对称轴经过点A(﹣2，﹣2)， ∴可设平移后的抛物线表达式为：， ∴C(0，﹣2+k)． ∴， 解得，k＝3． ∴， 即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线． ∴点A对应点的坐标为(﹣6，﹣5)； ②设EG与DF的交点为H． 在正方形DEFG中，EG⊥DF，EG＝DF＝2EH＝2DH． ∵点E、G是这条抛物线上的一对对称点， ∴EG∥x轴． ∴DF⊥x轴， 设F(﹣2，2a)． ∵点F在第二象限内， ∴a＞0． ∴EG＝DF＝2EH＝2DH＝2a． 不妨设点E在点G的右侧，那么E(﹣2+a，a)． 将点E代入，得， 解得，，(不合题意，舍去)． ∴F(﹣2，)． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式、函数图象的平移、二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 25. 如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE． （1）求证：DE＝DC； （2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1∶3时，求CE∶AD的值； （3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠CAO＝∠EAO，继而证明△AOC≌△AOE，由全等三角形的对应边相等得到AC＝AE，进而得到△ACD≌△AED，再由全等三角形的对应边相等解题； （2）根据题意得△BDE、△ACD与△AED的面积均相等，继而得到BE＝AE＝AC，证明△ACE为等边三角形，从而得到CE＝AC，最后利用余弦定义解题； （3）作EF∥AD交BC于点F，得到，，令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，OA＝6k，理由勾股定理解得，，作CH⊥AE于点H，证明△CEH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例的性质，解得的值，最后由解题即可． 【详解】（1）∵AD是角平分线， ∴∠CAO＝∠EAO， 又∵CE⊥AD， ∴∠COA＝∠EOA＝90°， 又AO＝AO， ∴△AOC≌△AOE（ASA） ∴AC＝AE， 在△ACD与△AED中， ∵AC＝AE，∠CAD＝∠OAD，AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴DE＝DC； （2）由△BDE与△ABC的面积为1∶3，又△ACD≌△AED， 得△BDE、△ACD与△AED的面积均相等， 于是有BE＝AE＝AC，又∠ACB＝90°， 所以∠ABC＝30°，∠BAC＝60°， 则△ACE为等边三角形，即CE＝AC， 于是在△ACD中，∠ACD＝90°，∠CAD＝＝30°， 所以，即； （3）存在这样的三角形，理由如下： 作EF∥AD交BC于点F， 则，，又AD＝CE， 令AD＝CE＝8k，则OE＝OC＝4k，OD＝2k，OA＝6k， 在△AOC中，，则， 作CH⊥AE于点H，易知△CEH∽△ACO， 得，， 所以， 于是在Rt△ACH中， ． 点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切、余弦等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市进才中学2024—2025学年初三上学期12月数学月考试卷 （完卷时间100分钟，满分150分） 注意： 1．本卷含三个大题，共25题．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（ ）． A. B. C. D. 2. 如果将抛物线绕着原点旋转得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中，正确的是（ ）． A. 开口方向相同 B. 顶点坐标相同 C. 变化情况相同 D. 对称轴相同 3. 如果斜坡坡面的铅垂高度米，水平宽度米，那么斜坡的坡角为（ ）． A. B. C. D. 4. 在中，点D、E分别在边、上，，和交于点O，如果，那么的比值是（ ）． A. B. C. D. 5. 在中，，，的平分线交于D，在所有三角形中，相似的是（ ）． A. B. C. D. 不存在 6. 已知抛物线，与x轴交点是A、B，与y轴交与点C，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 计算________． 8. 抛物线的顶点坐标是______． 9. 将抛物线向左平移2个单位，得到一条新抛物线，其表达式是______． 10. 点，，为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系用“<”连接起来是______． 11. 在中，，，则______． 12. 已知点G是的重心，设，，那么______．（用，表示）． 13. 如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么______． 14. 如图，与交于点，且．若，则__________． 15. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为______． 16. 如图，在中，为边上的中线，且，若，，则线段______． 17. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列四个结论中， ①；②；③；④，正确的有______（填序号）． 18. 在中，，，点是边中点，点是上一动点，，连接，作点关于直线的对称点，如果，那么的长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： （1）新抛物线的表达式． （2）新抛物线与坐标轴交点的坐标． 21. 在中，分别是边和上的中线，连接交于点E，过点D作，若． （1）设，，用，表示向量______；______； （2）求长． 22. 世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 23. 如图，是中的平分线，，是的垂直平分线，交于点的延长线交于点N． 求证： （1） （2）． 24. 在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝﹣+bx+c(其中b、c是常数)经过点A(﹣2，﹣2)与点B(0，4)，顶点为M． （1）求该抛物线的表达式与点M的坐标； （2）平移这条抛物线，得到新抛物线与y轴交于点C(点C在点B的下方)，且△BCM的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D． ①求点A随抛物线平移后的对应点坐标； ②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标． 25. 如图，AD是△ABC角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，联结DE． （1）求证：DE＝DC； （2）当∠ACB＝90°，且△BDE与△ABC的面积比为1∶3时，求CE∶AD的值； （3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE＝AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$