精品解析：辽宁省大连市第八中学2024-2025学年高一上学期12月阶段测试数学试题

2024-2025学年度上学期高一年级12月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数解析代入计算即可. 【详解】由条件可得：， 所以， 故选：D 2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质和抽样比计算即可. 【详解】由于分层抽样比为，则200个人中，中卷录取人数为. 故选：D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】， ， 所以， 故选：A 4. 在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（ ） A. 76.5 B. 77 C. 77.5 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义即可得解. 【详解】由茎叶图可知， 10名同学的成绩按从小到大的顺序为：， 所以其中位数为. 故选：C. 5. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数定义及其单调性可得符合题意，可得结论. 【详解】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C 6. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及单调性，去求解即可. 【详解】易知函数定义域为，，故函数为奇函数， 又都是上的减函数， 故在上单调递减， 所以， 等价于， 所以， 解得：或， 所以不等式的解集为：， 故选：B 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【详解】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由古典概率知识可判断选项正误； 对于B，由百分位数概念可判断选项正误； 对于C，由极差，方差性质可判断正误； 对于D，由题求得，即可判断选项正误. 【详解】对于A，从50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是，故A正确； 对于B，对10个数据从小到大排序为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30. 又，则第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数， 即为，故B错误； 对于C，数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，，故C正确； 对于D，注意到，且事件互斥， 则，则A、为互斥事件，故D正确. 故选：ACD 10. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则的取值范围是 B. 命题“，使得”的否定形式是“，使得” C. 若实数，则成立 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B，利用作差法判断C，首先求出的定义域，即可得到，解得即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误； 对于B：命题“，使得”的否定形式是“，使得”，故B正确； 对于C：因为，所以，即； 又 ，即； ，即； 综上可得，故C正确； 对于D：因为函数的定义域为，则，所以， 即的定义域为， 对于函数，令，解得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数为增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D. 【详解】对于A，令，则，结合， 可得， 令，则，即， 而，故，A正确； 对于C，令，则， 即，该函数为奇函数，C正确； 对于B，结合C的分析，令，则，B错误； 对于D，由于，用代换x，可得， 该函数为减函数，D错误， 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递减区间为_________. 【答案】（右端点可以闭） 【解析】 【分析】求出定义域，确定由，复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求出答案. 【详解】由题意知函数， 令，则， 则即由，复合而成， 由于在上单调递减， 故要求函数的单调递减区间， 即求，的单调递增区间， 而的对称轴为， 则，的单调递增区间为， 则函数的单调递增区间为. 故答案为：（右端点可以闭）. 13. 若方程的两根满足，则实数的取值范围是________. 【答案】或##或## 【解析】 【分析】设，由题可得图象如下图所示，据此可得答案. 【详解】因方程的两根满足， 则可得图象如下图1所示，则； 或图象如下图2所示，则， 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或 14. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，令，将原问题转化有2个不等实数根，并判断出两根范围，结合一元二次方程的 根的分布列不等式，即可求得答案. 【详解】作出的图象如图： 由题意函数恰有5个零点， 即有5个根， 令，即有2个不等实数根， 设为，不妨设，则结合图象可知， 令，则， 解得，即，当时，, 此时两根为1和6，符合题意， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： ； （2）已知正实数满足，比较. 【答案】（1）41；（2） 【解析】 【分析】（1）由根式与分数指数幂的转化即可求解； （2）令，求得，通过作商，换底公式即可判断. 【详解】（1）； （2）， 因为正实数，∴， 令， 得：， ∴ 又，∴，∴ ∴ 又，∴，∴ ∴. 16. 已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合；根据有意义得到，求解得出集合，再求出，进而可求出； （2）由题意得到，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由，得，则， 解得，即； 当时，则， 由得，解得，即； 所以，所以. 【小问2详解】 由是成立的必要条件，可知， 则由（1）得，解得， 所以的取值范围是. 17. 上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； （2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 【答案】（1）68，65，； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出成绩在区间内的频率，再按平均数、众数及百分位数的定义求解即可； （2）用列举法求解即可. 【小问1详解】 解：因各组的频率之和为1， 所以成绩在区间内的频率 ； 所以平均分； 众数的估计值是； 设分位数为，因为的频率为，的频率为，的频率为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”， 由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人， 记这4名学生分别为； 成绩在区间内的学生有人， 记这2名学生分别为； 则从这6人中任选2人的基本事件为： , ，共15种， 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：,，共9种， 所以. 故所求事件的概率为：. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义得，代入计算即可求； （2）由（1）得出的解析式，结合指数函数的性质，解不等式即可； （3）借助（2）中的解析式，求出值域为，利用对数的运算性质得到，通过换元，求出的值域，再结合条件得到，即可求解. 【小问1详解】 函数中，. 因为为奇函数， 所以，即， 整理得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，其定义域为， 由得，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又， 令， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以的最小值的最小值，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 定义一种新的运算“”：，都有. （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； （3）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题设计算与，即可判断； （2）先化简不等式得，再结合题设以及一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算求解即可； （3）先化简两函数，再将问题转化成值域间的关系求值域即可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴， 故， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴原不等式可化为：，即， 为满足题意，必有，即或①， 令， 由于，结合①可得：， ∴的一个零点在区间，另一个零点在区间， 从而，即②， 由①②可得：或. 【小问3详解】 由题意得， 设， 令，则， ∴， ∴， 设，其值域为， ∵， ∴，故的值域为， 根据题意可知：，∴， 解之得：且. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期高一年级12月份阶段测试 数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（ ） A. 150 B. 110 C. 70 D. 20 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（ ） A. 76.5 B. 77 C. 77.5 D. 78 5. “或”是“幂函数在上是减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 10. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则的取值范围是 B. 命题“，使得”的否定形式是“，使得” C. 若实数，则成立 D. 已知函数的定义域为，则的定义域为 11. 已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（ ） A. B. C. 函数为奇函数 D. 函数为增函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的单调递减区间为_________. 13. 若方程的两根满足，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算： ； （2）已知正实数满足，比较. 16. 已知，全集，集合，函数的定义域为. （1）当时，求； （2）若是成立的必要条件，求的取值范围. 17. 上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； （2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 定义一种新的运算“”：，都有. （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； （3）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $