精品解析：山东省枣庄市第十五中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级单元学习评价数学试题 一、选择题：每题3分，共10分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C 173和172 D. 173和173 4. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ） A. B. C. D. 5. 函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( ) A. 平均数变小，中位数变小 B. 平均数变小，中位数变大 C. 平均数变大，中位数变小 D. 平均数变大，中位数变大 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是（ ） A. B. C D. 8. 如图，直线：与直线：交于点，有四个结论：①②③当时，④当时，，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 9. 甲乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程与所用的时间的函数关系如图所示，则下列说法①比赛全程1500米，②2分时甲、乙相距300米，③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点，④3分35秒时乙追上甲，其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是______元． 12. 若方程组的解是，则方程组的解是______． 13. 长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm． 14. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是___________． 15. 如果三个数a、b、c满足其中一个数的两倍等于另外两个数的和，我们称这三个数a、b、c是“等差数”若正比例函数y＝2x的图象上有三点A(m﹣1，y1)、B(m，y2)、C(2m+1，y3)，且这三点的纵坐标y1、y2、y3是“等差数”，则m＝_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是______． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明．说理过程或演算步骤． 17. 解方程组 （1）； （2）． 18. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 19. 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， （1）求出，的值； （2）此方程组正确的解应该是多少？ 20. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出方程组的解． （3）求四边形面积． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； （3）若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 22. 甲、乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）A、B两市的距离是________千米，甲到B市后，________小时乙到达B市； （2）求甲车返回时的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式； （3）甲车从B市开始往回返后，再经过几小时两车相距15千米? 23. 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 24. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和b的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级单元学习评价数学试题 一、选择题：每题3分，共10分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 在下列方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题是考查对二元一次方程组的识别，分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“1、只有两个未知数；2、未知数的项最高次数都应是一次；3、都是整式方程”． 【详解】解：方程组，，符合二元一次方程组的定义，符合题意， 方程组中不满足二元一次方程的定义，不符合题意， 方程组中的第一个方程不是整式方程，不符合题意． 故选：B． 2. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k． 【详解】解：， ，得， ∴， ，得， ∴， ∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此求解即可． 【详解】解：在这一组数据中172是出现次数最多的， 故众数是172； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是173和173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：C． 4. 星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察s关于t的函数图象，发现： 在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动， ∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B． 故选B． 5. 函数①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（k、b为常数，）的函数叫做一次函数，由此判断即可． 【详解】解：①当，才是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数； ⑤不是一次函数； 故是一次函数的有②④，共2个． 故选：B． 6. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( ) A. 平均数变小，中位数变小 B 平均数变小，中位数变大 C. 平均数变大，中位数变小 D. 平均数变大，中位数变大 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义分别求出原数据和新数据的平均数和中位数，进行比较即可得. 【详解】原数据的平均数为×(180+184+188+190+192+194)＝188， 中位数为＝189， 新数据的平均数为×(180+184+188+190+186+194)＝187， 中位数为＝187， 所以平均数变小，中位数变小， 故选A． 【点睛】本题考查了平均数与中位数，熟练掌握平均数与中位数的求解方法是解题的关键. 7. 一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先根据一条直线得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，即可得出答案． 【详解】解：A、设过一、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项符合题意； B、设过一、二、四象限直线为，得，，则过一、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意； C、设过二、三、四象限直线为，得，，则过一、二、三象限直线为，得，，故本选项不符合题意； D、设过二、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意． 故选：A． 8. 如图，直线：与直线：交于点，有四个结论：①②③当时，④当时，，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数的性质结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵直线：从左往右呈下降趋势， ∴，故①正确，②错误； 由函数图象可得当时，，故③错误； ∵两函数图象交于P， ∴时，，故④正确， 故选：C． 9. 甲乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D 10. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程与所用的时间的函数关系如图所示，则下列说法①比赛全程1500米，②2分时甲、乙相距300米，③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点，④3分35秒时乙追上甲，其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用，认真观察函数图象从中获得有效信息是解题关键． ①由函数图象可以得；②根据图象列式计算即可得出结论；③由函数图象可以得答案；④设t分钟后乙追上甲，列出方程，即可求解． 【详解】解：①由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确； ②甲的速度米/分， ∴分时甲、乙相距为米，故②正确； ③由函数图象可以得；乙比甲领先秒到达终点，故③错误； ④设t分钟后乙追上甲，则，解得：分钟， 即乙追上甲用分钟分钟40秒，故④错误． 故选：B． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的应用，熟练掌握公式是解题的关键，根据加权平均数的公式计算即可． 【详解】根据题意，得（元）． 故答案：． 12. 若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把看作一个整体是解题的关键． 把看作一个整体，可得到是方程组的解，进而得到，解之即可求解． 【详解】解：∵方程组的解是， ， 解得：， 故答案为：． 13. 长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为____________cm． 【答案】2 【解析】 【分析】设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，根据长方形ABCD的长和宽列出方程组求解． 【详解】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是， 根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者， 则， 大长方形的长可以表示为， 则， ，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解． 14. 甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的游泳队是___________． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵平均身高都是， ∴高比较整齐的游泳队是丙． 故答案为：丙． 15. 如果三个数a、b、c满足其中一个数的两倍等于另外两个数的和，我们称这三个数a、b、c是“等差数”若正比例函数y＝2x的图象上有三点A(m﹣1，y1)、B(m，y2)、C(2m+1，y3)，且这三点的纵坐标y1、y2、y3是“等差数”，则m＝_____． 【答案】﹣或0或﹣ 【解析】 【分析】将点A，点B，点C坐标代入解析式，可求y1、y2、y3，根据“等差数”的定义可求m的值． 【详解】∵正比例函数y＝2x的图象上有三点A（m﹣1，y1）、B（m，y2）、C（2m+1，y3）， ∴y1＝m﹣2，y2＝2m，y3＝4m+2， ∵y1、y2、y3是“等差数”， ∴2（m﹣2）＝2m+4m+2，或4m＝m﹣2+4m+2，或8m+4＝m﹣2+2m， ∴m＝﹣或0或﹣. 故答案为﹣或0或﹣ 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积．， 【详解】解：由题意易知，，则； ，则； ，则, ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明．说理过程或演算步骤． 17. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组． （1）利用加减消元法求解即可即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， 得，， 解得：，代入①中， 解得：， 所以方程组的解是； 【小问2详解】 解：方程组整理得：， 得，， 解得：，代入②中， 解得：， 所以方程组的解是． 18. 我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 高中部 85 100 （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85；80；85；（2）初中部成绩好些；（3）初中代表队选手成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可． 【详解】解：（1）初中部5名选手的成绩分别为：75，80，85，85，100， 初中部的平均数为：（分）， 85出现的次数最多，所以初中部5名选手的成绩的众数为85， 高中部5名选手的成绩按从小到大排列为：70，75，80，100，100， 所以高中部5名选手的成绩的中位数为80； 填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部 85 80 100 （2）初中部成绩好些． ∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵ ， ∴＜， 因此，初中代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】此题考查了众数，中位数和平均数以及方差的求解，解题的关键是熟练掌握众数，中位数和平均数以及方差的求法． 19. 甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， （1）求出，的值； （2）此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n值代入方程组求出解即可． 【小问1详解】 解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 【小问2详解】 把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 20. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式． （2）直接写出方程组的解． （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式； （2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：把代入得， 则点坐标； 把，代入得： ，解得， 所以直线的表达式为； 【小问2详解】 因为直线与直线交于点， 所以方程组的解为； 【小问3详解】 交轴于，交轴于， ，， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案； （3）若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元 （2）共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆 （3）方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元列出方程组求解即可； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，由题意得，解方程即可得到答案； （3）根据（2）所求分别求出三种方案的利润即可得到答案． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：， 答：型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 化简，得：， ，均为正整数或或； 共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（万元）； 方案二获得利润：（万元）； 方案三获得利润：（万元）； ， 方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元． 22. 甲、乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回．甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，下图是两车距A市的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： （1）A、B两市的距离是________千米，甲到B市后，________小时乙到达B市； （2）求甲车返回时的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式； （3）甲车从B市开始往回返后，再经过几小时两车相距15千米? 【答案】（1）120，5； （2）； （3）1.25小时或2.75小时． 【解析】 【分析】（1）从图中看，甲车3小时到达B市，则3×40=120千米，即A、B两市的距离是120千米，根据乙车往返的速度都为20千米/时，那么乙车去时所用的时间为：120÷20=6小时，6+2=8，则8小时后乙到达，所以甲到B市后5小时乙到达B市； （2）分别表示B、D两点的坐标，利用待定系数法求解析式，并写t的取值； （3）运用待定系数法求出EF的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得km， 甲到B市后，乙到达B市需要时间 小时． 故答案为：120，5； 【小问2详解】 （2）∵AB两地的距离是120km， ∴A(3，120)，B(10，120)，D(13，0)， 设线段BD的解析式为，由题意，得， 解得：， ∴甲车返回时的路程s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式为： （）； 小问3详解】 （3）设EF的解析式为，由题意，得， 解得：， ∴， 当时，，小时； 当时，，小时； 故甲车从B市开始往回返后，再经过1.25小时或2.75小时两车相距15千米． 【点睛】本题主要考查了一次函数与实际问题、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与一元一次方程之间的关系的运用，解答本题的关键是求出函数的解析式． 23. 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）相邻刻线间的距离为5厘米 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可得：， 解得：； 【小问4详解】 解：由任务一可知：， ∴， ∴； 【小问5详解】 解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 24. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点． （1）求m和b的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为12时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①5；②存在，4或6 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上，可以求得m的值，从而可以得到点C的坐标，再根据点C在函数的图象上，可以得到b的值； （2）①根据（1）中的结果可以求得点A、点B、点C、点D的坐标，然后用含t的代数式表示出AE的长度，然后根据的面积为12，即可得到t的值；②先写出使得为直角三角形时t的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的t的值即可解答本题． 【详解】解：（1）∵点在直线上， ∴， ∴点， ∵函数的图象过点， ∴， 解得， 即m的值是4，b的值是； （2）①∵函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点，点， ∵函数的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为， ∴， ∵的面积为12， ∴， 解得，． 即当的面积为12时，t的值是5； ②存在，当t＝4或t＝6时，是直角三角形，理由如下： 第一种情况：当时， ∵，， ∴， ∵， 即， 解得，； 第二种情况：当时，， ∵点，点，点，点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：； 综上所述，当或时，是直角三角形 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$