精品解析：河北省衡水市枣强县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学 冀教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 选择题涂卡区 考生禁填：缺考考生由监考员用黑色中性笔填写准考证号并填涂右边的缺考标记．□ 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 错误方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数二次函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在上 B. 点A在内 C. 点A在外 D. 不能确定 3. 若二次函数的图像经过点，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 4. 如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线和图象比较，下列说法不正确的是（ ） A. 开口都向下 B. 对称轴相同 C. 最大值都是0 D. 与y轴交点不相同 6. 如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为C，且C为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点P是外的一定点，嘉嘉进行了如图所示操作，则下列判断不正确的是（ ） A. 点A是的中点 B. 直线都是的切线 C. D. 11. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长，同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：，，，，（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为（ ） A. B. C. D. 12. 数学课上，老师画出了抛物线的部分图像，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，并写出了以下四个结论：①；②该抛物线与x轴的另一交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④⑤对于任意实数n，不等式．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知抛物线开口向上且经过点，请写出一个满足上述条件的二次函数______________． 14. 如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r_______． 15. 如图，，是正六边形的两条对角线，阴影部分的面积为4，则四边形的面积为_______． 16. 如图，一段抛物线记为，它与x轴交于点，，顶点为；将绕点旋转后得到，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转后得到，交x轴于点，顶点为……如此进行下去，则的坐标为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，的平分线交于点D，以点D为圆心，长为半径作．试确定斜边与的位置关系，并说明理由． 18. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 3 4 10 12 14 20 21 竖直高度 2.75 5 8.75 9 8.75 5 2.75 （1）根据上表，求出抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭距离地面的竖直高度为8米时水火箭飞行至离发射点O的水平距离． 19. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求二次函数表达式； （2）若点P在该二次函数的图像上，且的面积为，求点P的坐标． 20. 如图，正方形和正六边形有一边重合． （1）求的度数； （2）当时，求． 21. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 22. 淇淇家购买了一个直径为的圆形梳妆镜，如图，点是圆镜上两个挂绳固定点，点是钉子，悬拖点、挂绳长度可调节，且． （1）淇淇通过调节挂绳长度，使得与相切于点． 求证：与相切； 若，求的长． （2）淇淇经过对家人身高的调查，决定把镜子中心定在距桌面高度处（如图），且、、三点共线，通过测量得，若，直接写出点到桌面的距离的范围（结果保留根号）． 23. 在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用米长的篱笆围成一个矩形花园，如果所在两面墙体均足够长，设米，花园的面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）求矩形花园面积的最大值，及此时的长； （3）若位于图中的点P处有一棵古树，且点P到墙体的距离分别是8米、米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，（2）中矩形的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由，如果改变，求出最大值． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段性学业检测三 九年级数学 冀教版 （试卷页数：8页，考试时间：120分钟，总分：120分） 选择题涂卡区 考生禁填：缺考考生由监考员用黑色中性笔填写准考证号并填涂右边的缺考标记．□ 注意事项： 1．使用考试专用扁头2B涂卡铅笔填涂，或将普通2B铅笔削成扁鸭嘴状填涂． 2．修改时，请先用橡皮擦干净，再重新填涂，不得使用修正带或涂改液． 3．填涂的正确方法： 错误方法： 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数是二次函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数是二次函数得到求解即可得到答案 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在上 B. 点A在内 C. 点A在外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及点与圆的关系，根据勾股定理求出，根据点与圆的位置关系得到与半径大小关系判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴点A在内， 故选：B． 3. 若二次函数的图像经过点，则代数式的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，代数式求值，将代入可得，代入即可求解． 【详解】解：将代入，得：， ， ， 故选A． 4. 如图，的半径为5，圆心O到一条直线的距离为6，则这条直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，掌握圆的半径与圆心到直线的距离的关系是解题的关键． 根据圆的半径与圆心到直线的距离的关系“，圆与直线相交；，圆与直线相切；，圆与直线相离”进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∵， ∴圆与直线相离， ∴由图形可得，相离的直线是， 故选：B ． 5. 对于抛物线和的图象比较，下列说法不正确的是（ ） A. 开口都向下 B. 对称轴相同 C. 最大值都是0 D. 与y轴交点不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：函数：开口向下，对称轴为：，顶点为：，经过， 函数：开口向下，对称轴为，顶点为：， 故选：B． 6. 如图，是一张三角形纸板，是的内切圆，切点分别为点、、，已知，，淇淇准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一个三角形．则剪下的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 设与的切点为点，由切线长定理可得，，，，据此可推出：的周长，于是得解． 【详解】解：如图，设与的切点为点， 是的内切圆，切点分别为点、、，且与相切于点， ，，，， 的周长 ， 故选：． 7. 将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的平移及一般式化顶点式，根据上加下减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线向上平移2个单位， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知点，在上，，直线与相切，切点为C，且C为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，同弧或等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的内角和定理应用，根据C为的中点得到，即可得到，结合等腰三角形得到，结合切线即可得到答案； 【详解】解：∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 故选：D． 9. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方，以下结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴抛物线开口向下，，抛物线与轴有两个交点，， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 10. 已知点P是外的一定点，嘉嘉进行了如图所示操作，则下列判断不正确的是（ ） A. 点A是的中点 B. 直线都是的切线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图得到垂直平分线，即可判断A，根据直径所对圆周角是直角即可判断B，根据切线长定理即可判断C，根据三角形中线分得两个三角形面积相等即可判断D，即可得答案． 【详解】解：由作图可得， 是的垂直平分线， ∴点A是的中点，故A正确，不符合题意， 连接，，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴直线都是的切线， ∴，故B，C正确，不符合题意， ∵点A是的中点， ∴， 故D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图法、圆周角定理、切线的判定以及切线长定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11. 在完成劳动课布置的“青稞生长状态观察”的实践作业时，需要测量青稞穗长，同学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响，n次测量会得到n个数据，，，如果a与各个测量数据的差的平方和最小，就将a作为测量结果的最佳近似值．若5名同学对某株青稞的穗长测量得到的数据分别是：，，，，（单位：），则这株青稞穗长的最佳近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，令a与各个测量数据的差的平方和的值为y，列出y与a的函数，根据函数的性质求出最小值即可得到答案； 【详解】解：设a与各个测量数据的差的平方和的值为y，由题意可得， ， ∵， ∴当时最小， ， 故选：A． 12. 数学课上，老师画出了抛物线的部分图像，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是，并写出了以下四个结论：①；②该抛物线与x轴的另一交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④⑤对于任意实数n，不等式．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查格努二次函数的图形判断式子的正负，根据开口方向判断，根据得到，即可判断①，根据对称性即可求出另一交点即可判断②，找到得对称点结合函数性质求解即可判断③，根据函数的增减性即可判断④，根据最值即可判断⑤； 【详解】解：由图像得， ∵开口向下， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴， ∴另一个交点为，故②错误， 点的对称点为：， ∵， ∴时随增大而增大，时随增大而减小，， ∴，，， 故③④⑤正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知抛物线的开口向上且经过点，请写出一个满足上述条件的二次函数______________． 【答案】（答案不唯一，其中即可） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据开口向上得到，根据过点得到，写出一个符合条件的函数即可得到答案； 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线过点， ∴， 故答案为：（答案不唯一，其中即可）． 14. 如图，的圆心为，半径为，沿x轴向右平移2个单位长度后，恰好与直线相切，则的半径r_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移求出新的圆心，求出一次函数与坐标轴的交点，过新圆心作垂线，利用等积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵沿x轴向右平移2个单位长度，， ∴平移后圆心与重合， 过作于， ， ∵恰好与直线相切， ∴， 当时，，当时，，， ∴，， ∴， ∴ ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆切线的性质，点的平移，一次函数的应用，勾股定理，解题的关系是求出平移后的圆心，作垂线利用等积法列式求解． 15. 如图，，是正六边形的两条对角线，阴影部分的面积为4，则四边形的面积为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，过作于，过作于，先证明，根据面积公式得到，结合正六边形的对称性即可得到答案； 【详解】解：连接，过作于，过作于， ∵六边形是正六边形， ∴每个内角为， ∵六边形关于对称， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵六边形关于对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查正多边形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，证明． 16. 如图，一段抛物线记为，它与x轴交于点，，顶点为；将绕点旋转后得到，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转后得到，交x轴于点，顶点为……如此进行下去，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像及其性质，先算出两交点距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，再根据规律计算． 先算出两交点，得到对称轴及两点间距离，即可得到顶点的坐标，根据旋转的性质求解即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴对称轴，， ∴， ∵图形旋转得到新图形， ∴，，， ∴的坐标为：， 故答案为：； 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在中，的平分线交于点D，以点D为圆心，长为半径作．试确定斜边与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查圆的切线证明，作点于E，根据角平分线的性质得到即可得到答案； 【详解】解：与相切，理由如下， 证明：如图，作点于E， 是的平分线，，， ， 是半径， 与相切． 18. 在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 3 4 10 12 14 20 21 竖直高度 2.75 5 875 9 8.75 5 2.75 （1）根据上表，求出抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭距离地面竖直高度为8米时水火箭飞行至离发射点O的水平距离． 【答案】（1）； （2）水火箭飞行至离发射点O的水平距离为8米或16米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意可得，抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，得方程组，求出a、b即可得解； （2）依据题意，结合（1）令，计算即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意可知：抛物线过原点，设抛物线的表达式 由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得 则抛物线的表达式； 小问2详解】 解：由题意知： 则 解得， 那么，当水火箭距离地面的竖直高度为8米时，水火箭飞行至离发射点O的水平距离为8米或16米． 19. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求二次函数表达式； （2）若点P在该二次函数的图像上，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）的坐标为或； 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数动点围城三角形面积问题： （1）将点，代入解析式求解即可得到答案； （2）设，根据面积列方程求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与x轴交于，两点， ∴， 解得， ； 小问2详解】 解：∵，， ∴， 设， ， ， ， 由（1）可知二次函数表达式为：， 当时，，无解，不符合题意，舍去， 当时，，， 的坐标为或． 20. 如图，正方形和正六边形有一边重合． （1）求的度数； （2）当时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角和定理，等边对等角，正切值的计算，掌握正多边形的性质，正切值的计算方法是解题的关键． （1）根据正六边形的内角和定理可得，由等边对等角可得，由轴对称的性质可得，根据即可求解； （2）根据正方形，正六边形的性质可得，，由（1）得，在中，根据正切值，即可求解． 【小问1详解】 解：六边形为正六边形， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ∴在中，， 解得，． 21. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． [经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数表达式； ②求当x取何值时．函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，函数y有最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 2 4 … y的最小值 … * 0 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数表达式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）甲的说法合理，过程见解析；（3）正确，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数一般式与顶点式的相互转化，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． （1）①把代入二次函数解析计算即可；②将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）将二次函数一般式化为顶点式进行判定即可； （3）将二次函数一般式化为顶点式可得，当时，y有最小值为，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：（1）①把代入， 得； ②， 当时，y有最小值为； （2）， 抛物线的开口向上， 当时，y有最小值， 甲的说法合理； （3）正确， ， ∴当时，y有最小值为， 即：， 当时，有最大值为． 22. 淇淇家购买了一个直径为的圆形梳妆镜，如图，点是圆镜上两个挂绳固定点，点是钉子，悬拖点、挂绳长度可调节，且． （1）淇淇通过调节挂绳长度，使得与相切于点． 求证：与相切； 若，求的长． （2）淇淇经过对家人身高的调查，决定把镜子中心定在距桌面高度处（如图），且、、三点共线，通过测量得，若，直接写出点到桌面的距离的范围（结果保留根号）． 【答案】（1）见解析； ； （2）． 【解析】 【分析】连接、，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证与相切； 根据全等三角形的性质可知，在直角三角形中利用的正切求出的长度，从而得到的长度； 连接、，根据，可得，在中利用勾股定理可求，在中利用勾股定理可求，根据的取值范围可求的取值范围，从而可求的取值范围． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接、， 则， 在和中， ， ， 与相切于点， ， ， 与相切； 由可知， ， ， ， 的直径为， ， ， ， 解得：， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接、， ，， 是的垂直平分线， ， 又， ， 在中， 在中， 当时，， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形．解决本题的关键是根据圆的性质找到边和角的关系． 23. 在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，再用米长的篱笆围成一个矩形花园，如果所在两面墙体均足够长，设米，花园的面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）求矩形花园面积的最大值，及此时的长； （3）若位于图中的点P处有一棵古树，且点P到墙体的距离分别是8米、米，现要求古树P与篱笆的距离不小于2米，（2）中矩形的花园面积的最大值会改变吗？如果不变，请说明理由，如果改变，求出最大值． 【答案】（1）； （2）时，矩形花园的面积最大，最大值； （3）会改变，最大值为； 【解析】 【分析】（1）利用矩形面积公式直接列式化简即可得到答案； （2）将（1）得解析式化成顶点式，结合性质求解即可得到答案； （3）根据条件列出自变量的取值范围，结合抛物线的性质求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 且有， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ∵，， ∴当时最大，， 时，矩形花园的面积最大，最大值； 【小问3详解】 解：会改变，理由如下， 根据题意可知，解得， 但（2）中矩形花园面积最大时， 矩形花园面积的最大值会改变， ，， ∴y随x增大而增大， 当时，矩形花园的面积最大，最大值为； 【点睛】此题主要考查二次函数的应用，关键是正确理解题意，列出y与x的函数关系式解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点，重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且，在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点或或或或 【解析】 【分析】（1）将，代入中，可得，解方程组即可求出与的值，进而可求出二次函数的表达式； （2）令，则，于是求得抛物线与轴的交点坐标，设直线的函数表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设点，则点，于是可得，由二次函数的图象与系数的关系可知有最大值，由的图象与性质可知此时，则，于是可求出点Q的坐标； （3）设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，设与轴交于点，令，则，解方程即可求出与轴的交点坐标，过点作轴交轴于点，由两直线平行内错角相等可得，结合已知条件可得，因而可知直线和关于直线对称，于是可求出点的对称点，设直线的表达式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而可求出直线的函数表达式为，联立直线的表达式和抛物线的表达式，得，解方程即可求出点，设点，由，，的坐标可得，，，然后分情况讨论：当时，当或时，分别建立关于的方程，解方程即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入中，得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为：， 设点，则点， ， ，故有最大值， 此时，则， ； 【小问3详解】 解：存在，点或或或或， 理由如下： 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， 如图，过点作轴交轴于点，则， ，， ， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为：， 联立直线的表达式和抛物线的表达式，得：， 解得：或， ， 设点，由，，的坐标可得： ， ， ， 当时，则， 解得：， 即：点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即：点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求抛物线与轴的交点坐标，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，两直线平行内错角相等，轴对称的性质，因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 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