精品解析：福建省龙岩市第二中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年龙岩二中八年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合， 这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合， 这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合， 这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合， 这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列式子中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法运算与积的乘方，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 3. 下面四个图形中，线段 是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段 不能表示 任何边上的高， 故选：D． 4. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、不属于因式分解，故不符合题意； B、等式右边不满足是整式，所以不属于因式分解，故不符合题意； C、等式右边不满足几个整式乘积的形式，所以不是因式分解，故不符合题意； D、是因式分解，故符合题意； 故选D． 5. 若点与点关于y轴对称，则（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质和求代数式的值，根据两点关于y轴对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此得出m，m的值，代入求值即可． 【详解】解： 点与点关于y轴对称， ，， 解得：，， ； 故选：A． 6. 如图， 、为锐角 的高，若，，，则的长为(　 　) A. 2 B. 2．5 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、余角的定义、线段的和差．先根据题意及余角的定义得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解： ， 是锐角的高， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ． 故选：C． 7. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于 的整式，分式值不变，即可得出答案． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形错误，不符合题意； D、，原选项变形正确，符合题意； 故选：D． 8. 老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减．由题意可知：所的二次三项式是个加数，根据加数 和另一个加数，列出算式，进行化简即可． 【详解】解：由题意得： ， 所捂的多项式为：； 故选：B． 9. 如图，在 中，，，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点E， 的垂直平分线交 于点N，交 于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可． 【详解】解：连接． ∵ 的垂直平分线交 于M，交 于E， 的垂直平分线交 于N，交 于F， ∴， ∴． ∵ ，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，且C，D，E三点在同一条直线上，连接以下四个结论中：①；②；③；④ ．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． ①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用 得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到 垂直于 ，本选项正确；④延长交 于F， 证明，推出，再证明，即可． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，故①正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④如图，延长交 于F， ∴.， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 约分：=________． 【答案】 【解析】 【分析】对分式的分子和分母进行因式分解，最后约去公因式即可． 【详解】原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查约分，首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 【答案】11或−13##-13或11 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x＋9， ∴m＋1＝±12， ∴m＝11或m＝−13． 故答案为：11或−13． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 13. 若，，则__________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形计算即可得解． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：19． 【点睛】本题考查整体代入法和完全平方公式，掌握这两点是解题关键． 14. 已知，， 、 为正整数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，点E，F在 上，，．请添加一个条件______，能用说明：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有， ，，，．根据全等三角形的判定条件添加条件即可． 【详解】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为_________________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AP，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△ACP≌△BCE，推出∠CBE=∠CAP=30°，再由垂线段最短可知当DP⊥AP时，DP值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DP的值． 【详解】解：如图，连接AP， ∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8， ∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°， ∵△CEP为等边三角形， ∴CE=CP，∠PCE=60°， ∴∠PCE=∠ACB， ∴∠BCE=∠ACP， ∴在△BCE和△ACP中， ∴△BCE≌△ACP（SAS）， ∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE， ∴当DP⊥AP时，DP值最小， 此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4， ∴DP=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30°所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的运算． （1）利用多项式除以单项式的法则计算即可； （2）利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解． （1）先提取公因式再用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式再用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及乘法公式，可利用平方差公式计算，利用完全平方公式计算． 先算乘方和乘法，再合并同类项，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时， 原式． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上．将A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以，分别得到点、、． （1）写出三个顶点的坐标_______； （2）若与关于x轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）若以点A、C、P为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】（1）、、；（2）如图所示，见解析；（3）点P的坐标为、、． 【解析】 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出A、B、C各点的坐标，将点A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以，分别得到点、、即可， （2）先作出A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2，然后顺次连接即可； （3）根据全等三角形对应边相等，分∠CAP=∠ACB=90°和∠ACP=∠ACB=90°两种情况讨论求解． 【详解】（1）先求出ABC三点坐标分别为A（-3,1），B（-1,4），C（-1,1）将点A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以，分别得到点、、，则A1（3，-1）、B1（1，-4）、C（1，-1）； 故答案为：、、； （2）如图所示，先作A、B、C三点关于x轴的对称点A2、B2、C2，然后连接A2B2、B2C2、C2A2,，则△A2B2C2为所求； （3）若，则点P的坐标为或， 若，则点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质． 21. 如图， 平分，于点 ，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点 ，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点 ． 平分，， ， ，， ． 在 和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 22. 如图，点E在 的延长线上，连接 ，作的角平分线分别交线段，于点F，点G，已知 ， ． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）利用角平分线的性质和角平分线的定义可得结论； （2）利用平行线的性质和三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵ 平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图， 为等边三角形，点 是线段 上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线与交于点． （1）求证： （2）求的大小 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ， ， 又， ， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质； （1）根据等边三角形的性质以及已知条件得出，，进而即可证明 （2）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ＋＋ 24. 阅读材料： 若 满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若 满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形 的边长为 ， ， 分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以， 为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）设，， 则， ； 【小问2详解】 解：设，， 则， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式，掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． 25. （1）在边长为12的等边三角形中，点Q是 上一点，点P是 上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是 上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取 中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到 中点处静止，点M，N分别为 ， 上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值． 【答案】（1）①4②8（2）①5或8②2或 【解析】 【分析】（1）①由平行线的性质，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；②根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出等量关系，列方程求解即可； （2）①分三种情况讨论，即可求解，②分两种情况进行讨论，列出关系式，即可求解， 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 【详解】解：（1）①是等边三角形，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：， 解得：， ∴当 的值为4时，； ②当点在边 上时， 此时不可能为等边三角形； 当点Q在边 上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ∴， 即：，解得：， ∴当时，为等边三角形； （2）①当时， ， 为等腰三角形， 当时，， ∴， ∴， ∴，，为等腰三角形， 当时， 上不存在点P使为等腰三角形， ∴当或8时，为等腰三角形， ② 由题意可知：，， ∴， 若， 则 ∴，， 解得：， 若， 则， ，， 解得：， 综上所述：当全等时，a的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年龙岩二中八年级数学上学期第二次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个图形中，线段 是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于y轴对称，则（　　） A. 1 B. C. D. 6. 如图， 、为锐角 的高，若，，，则的长为(　 　) A. 2 B. 2．5 C. 3 D. 4 7. 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 老师在黑板上写了一个等式，并用手掌遮住了其中一部分（如图）．如果遮住的是一个二次三项式，那么这个式子是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在 中，，，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点E， 的垂直平分线交 于点N，交 于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，且C，D，E三点在同一条直线上，连接以下四个结论中：①；②；③；④ ．正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 约分：=________． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 13. 若，，则__________． 14. 已知，， 、 为正整数，则的值为______． 15. 如图，点E，F在 上，，．请添加一个条件______，能用说明：． 16. 如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为_________________． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示，的三个顶点都在格点上．将A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以，分别得到点、、． （1）写出三个顶点的坐标_______； （2）若与关于x轴对称，在平面直角坐标系中画出； （3）若以点A、C、P为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 21. 如图， 平分，于点 ，．求证：． 22. 如图，点E在 的延长线上，连接 ，作的角平分线分别交线段，于点F，点G，已知 ， ． （1）试说明； （2）若，，求的度数． 23. 如图， 为等边三角形，点 是线段 上的任意一点，点是线段上任意一点，且，直线与交于点． （1）求证： （2）求的大小 24. 阅读材料： 若 满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若 满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形 的边长为 ， ， 分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以， 为边长作正方形，求阴影部分的面积． 25. （1）在边长为12的等边三角形中，点Q是 上一点，点P是 上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①如图1，若，当__________秒时，； ②如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形； （2）如图3，等腰三角形，，，点P是 上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． ①取 中点D，连接，则长为8，当__________秒时，为等腰三角形； ②若点P运动到 中点处静止，点M，N分别为 ， 上动点，点M以2个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $