2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11）等差数列、等比数列（新高考地区专用）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11） 等差数列、等比数列 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 45 B. 90 C. 180 D. 240 2．“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 3．已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（ ） A. 121 B. 364 C. 728 D. 1093 4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 或15 B. 15 C. 或 D. 5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 6．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 7．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 8．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. ，，成等差数列，公差为 C. 当时，取得最大值 D. 时，的最大值为32 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. 中存在不相等的三项构成等差数列 D. 若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，，若，，则值为______. 13.《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则____________ . 14.表示不超过的最大整数，比如，，，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（11） 等差数列、等比数列 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 45 B. 90 C. 180 D. 240 【答案】B 【解析】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：B 2．“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 【答案】A 【解析】若数列等差数列，设其公差为， 则，所以，，且对任意的，， 所以，数列为等比数列， 即“数列是等差数列”“数列为等比数列”； 另一方面，若数列为等比数列，不妨取， 则数列为等比数列，但无意义， 即“数列是等差数列”“数列为等比数列”. 因此，“数列是等差数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（ ） A. 121 B. 364 C. 728 D. 1093 【答案】B 【解析】在正项递增等比数列中，所以， 又，所以或（舍去）， 设数列的公比为，则，所以，所以. 故选：B. 4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 或15 B. 15 C. 或 D. 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（ ） A. 10 B. 20 C. 25 D. 50 【答案】D 【解析】∵， ∴，由已知，得， ∴，当且仅当时等号成立． 此时数列为常数列5，所以， 故选：D 6．已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，， 依题意，，， 即，∴，， 解得或， ∴，，或，，， ∴. 故选：A 7．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 8．设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. ，，成等差数列，公差为 C. 当时，取得最大值 D. 时，的最大值为32 【答案】A 【解析】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列. 则. 所以 对于选项A： 当时，； 当时，； . 数列是等差数列，故选项A正确； 对于选项B： ，， ， 则， 所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误； 对于选项C：， 当或时，最大，故选项C错误； 对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】对于A，若是等差数列，则， 且，则，A正确； 对于B，若等比数列，显然时，否则，不成立， ，且，则，B正确； 对于C，若，则，， ，，数列不是等差数列，C错误； 对于D，若，则，，不满足，D错误. 故选：AB 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知数列的前项和为则下列说法正确的是（ ） A. 是等比数列 B. C. 中存在不相等的三项构成等差数列 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，根据题意易知， 所以是等比数列，以1为首项，3为公比，，故A正确； 对于B，同理，， 即所以是等比数列，以3为首项，3为公比，， 则 ，故B正确； 对于C，假设中存在不相等的三项构成等差数列， 不妨设该三项为，则， 即， 因为，所以，则上式不成立，所以不存在，故C错误； 对于D项，若n为奇数，则， ， 而由A项可知，递增，所以，，则， 若n为偶数，则，， 同理由A项可知，递增，所以，，则， 而，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列满足，，若，，则值为______. 【答案】或 【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q. 由， ，得，， 所以. 当时，，则； 当时，，则.综上，的值为或. 故答案为：或 13.《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则____________ . 【答案】## 【解析】由题可得，， 从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的， 故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 14.表示不超过的最大整数，比如，，，已知等差数列的通项公式，其前项和为，则使成立的最大整数为________. 【答案】63 【解析】， ， ，， 即， ，时，； 时，. 故的最大值为63. 故答案为：63. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$