专题05 函数类型的识别与应用模型构建（6大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题05 函数类型的识别与应用模型构建 目录 01 模拟基础练 2 题型一：二次函数与幂模型 2 题型二：分段函数模型 2 题型三：对勾函数模型 3 题型四：指数函数模型 4 题型五：对数函数模型 5 重难点突破：函数模型的选择 6 02 重难创新练 8 题型一：二次函数与幂模型 1．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸 A．215 份 B．350 份 C．400 份 D．250 份 2．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 3．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为时，列车的载客量为（   ） A．410 B．420 C．450 D．480 题型二：分段函数模型 4．（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 5．（2024·山东滨州·二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式 . 6．（2024·河南安阳·二模）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元. 7．（2024·浙江·模拟预测）旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为人，飞机票总费用为元，旅行社从飞机票中获得的利润为元，当旅游团的人数 时，旅行社从飞机票中可获得最大利润． 题型三：对勾函数模型 8．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，若长方形的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，体积为． (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 9．（2024·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） (1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； (2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 10．（2024·全国·模拟预测）对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水 次． 题型四：指数函数模型 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（    ） A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 12．（2024·四川泸州·三模）在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 13．（2024·河南·模拟预测）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 题型五：对数函数模型 14．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 15．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 重难点突破：函数模型的选择 16．近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（    ） （参考数据：， A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 17．（多选题）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是（    ） (参考数据:10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9) A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为 18．（2024·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 1．（2024·吉林长春·一模）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%，则（   ）（精确到0.01） A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79 3．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价（单位：元/斤）与单果的直径（单位：）满足关系式.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价约为（    ）（参考数据：） A．11.5元/斤 B．12.5元/斤 C．10元/斤 D．14元/斤 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（    ） A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 6．（2024·内蒙古包头·三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（    ） A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 7．（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 8．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 10．（多选题）（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（    ） A．若是以月为单位，则 B．若是以年为单位，则 C．若是以月为单位，则 D．若是以年为单位，则 11．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 12．（多选题）（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 13．（2024·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 14．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 15．（2024·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 16．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若且，则； ③若，则红方获得战斗演习胜利； ④若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是 ． 17．（2024·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 18．（2024·江苏苏州·模拟预测）生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等． (1)记的导数为，若，求； (2)若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）． 19．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 20．（2024·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1、疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2、所有人员排成单列行进撤离； 3、队列中人员的间隔是均匀的； 4、队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数类型的识别与应用模型构建 目录 01 模拟基础练 2 题型一：二次函数与幂模型 2 题型二：分段函数模型 3 题型三：对勾函数模型 6 题型四：指数函数模型 8 题型五：对数函数模型 9 重难点突破：函数模型的选择 10 02 重难创新练 14 题型一：二次函数与幂模型 1．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸 A．215 份 B．350 份 C．400 份 D．250 份 【答案】C 【解析】设每天从报社买进（，）份报纸时，每月所获利润为元，具体情况如下表． 数量/份 单价/元 金额/元 买进 2 卖出 3 退回 则推销员每月所获得的利润 又由在上单调递增， 所以当时，取得最大值8700． 故选C． 即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元．故选C． 2．某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 【答案】D 【解析】设灯具商店每月的利润为， 则 ， 故当时，的最大值为3528， 所以灯具商店每月的最大利润为3528元. 故选:D. 3．“相约哈尔滨，逐梦亚冬会”．哈尔滨地铁3号线预计年底全线载客运营，届时，哈尔滨地铁1号线2号线3号线将形成“十字+环线”地铁线网，将为哈尔滨2025年第九届亚冬会的举办提供有力交通保障.通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，则当发车时间间隔为时，列车的载客量为（   ） A．410 B．420 C．450 D．480 【答案】C 【解析】当时，载客量为，设， 由题意可知，，解得， 当时，，此时载客量为， 故选：C. 题型二：分段函数模型 4．（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为. (1)求一年中最高月利润及对应的月份； (2)求该饮料月利润超过3万元的月份. 【解析】（1）当时，令，则，且， 则， 因，故时，即时，取得最大值3；            当时， 因，故时，取得最大值7. 综上，第8个月的月利润最大，为7万元. （2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里， 即，由可得，， 解得. 又，所以， 故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月. 5．（2024·山东滨州·二模）某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式 . 【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一) 【解析】由题意函数是上的增函数，设，， 由，解得，所以， 所以 故答案为： 注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等． 6．（2024·河南安阳·二模）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 元. 【答案】11710 【解析】方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元， 方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人， ，则单人票价为， 满10000元时，，则需34人，单人票价为241元， 满15000元时，，人数不足， 因为， 所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一， 所以总费用为（元）， 故答案为：11710 7．（2024·浙江·模拟预测）旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为人，飞机票总费用为元，旅行社从飞机票中获得的利润为元，当旅游团的人数 时，旅行社从飞机票中可获得最大利润． 【答案】或 【解析】解析：依题意，得则旅行社的利润当且时，；当且时，，当或时，最大，最大为18060．综上，当或时，旅行社可获最大利润． 题型三：对勾函数模型 8．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，若长方形的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x cm，高为y cm，体积为． (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【解析】（1）由题意得， 即，． （2）铁皮盒体积， ， 令， 得， ∵，，是增函数； ，，是减函数， ∴ ，在时取得极大值，也是最大值， 其值为． 答：该铁皮盒体积的最大值是． 9．（2024·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） (1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； (2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 【解析】（1）由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为； （2），因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元. 10．（2024·全国·模拟预测）对某种药剂进行稀释，初始时药剂有，浓度为100%，加入水后，药剂浓度被稀释为60%，若每次稀释都向上一次所得稀释液中加入水，则要使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%，则要加水 次． 【答案】14（答案不唯一） 【解析】设要加水次，，根据题意可得， 解得， 所以要至少加水14次可以使稀释液中药剂浓度低于初始浓度的10%． 故答案为：14（答案不唯一） 题型四：指数函数模型 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（    ） A．3小时 B．4小时 C．5小时 D．6小时 【答案】C 【解析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则， 两边同时取对数得，，解得， 所以大约需要小时. 故选：C. 12．（2024·四川泸州·三模）在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（    ）（参考数据：） A．8分钟 B．9分钟 C．10分钟 D．11分钟 【答案】C 【解析】根据题意得，即； 则，所以，可得， 两边取常用对数得， 故选：C. 13．（2024·河南·模拟预测）为应对塑料袋带来的白色污染，我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场､超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效，推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率与时间（月）满足函数关系式（其中为大于零的常数）.若经过2个月，这种环保塑料袋降解了，经过4个月，降解了，那么这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A．5个月 B．6个月 C．7个月 D．8个月 【答案】A 【解析】由题意可得，， 即有，即，则， 令，即，即， 则. 故这种环保塑料袋要完全降解，至少需要经过5个月. 故选：A. 题型五：对数函数模型 14．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为，其中表示某地地震的里氏震级，表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（    ）（参考数据：） A．6.3级 B．6.4级 C．7.4级 D．7.6级 【答案】B 【解析】由题意，某地地震波的最大振幅为，且这次地震的标准地震振幅为， 可得. 故选：B. 15．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为和，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，则的值所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，两式相减得， 解得，所以. 故选：D 重难点突破：函数模型的选择 16．近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（    ） （参考数据：， A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 【答案】B 【解析】据题意，，两式相除可得， 又因为， 故选：B． 17．（多选题）常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录数据和小数记录数据，把小数记录数据记为，对应的五分记录数据记为，现有两个函数模型：①；②．根据如图所示的标准对数视力表中的数据,下列结论中正确的是（    ） (参考数据:10-0.2≈0.6,10-0.15≈0.7,10-0.1≈0.8,10-0.05≈0.9) A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为，则小明视力的小数记录数据为 【答案】BD 【解析】将代入①；②， 分别可得， 所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确； 令，解得，所以小明视力的小数记录数据为，故C错误； 代入，故D正确， 故选；BD. 18．（2024·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【解析】（1）若选择模型（1），将以及代入可得 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型（2），将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数） （2）记日销售利润为， 当且为整数时，， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型. 19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 【解析】（1）因为（，）的增长速度越来越快， （）和（）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型（，）. 由题意得，解得， 所以该函数模型为（）； （2）由题意得，即， 所以， 又. 所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 1．（2024·吉林长春·一模）某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（    ）秒. A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解析】由题意可得：， 解得：， 设达到50米的高度需要秒. ， 解得：， 所以达到50米的高度需要秒. 故选：C 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率，依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%，则（   ）（精确到0.01） A．20.16 B．20.68 C．21.56 D．21.79 【答案】B 【解析】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故选：B 3．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故选：C. 4．大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价（单位：元/斤）与单果的直径（单位：）满足关系式.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为时，大荔冬枣的单价约为（    ）（参考数据：） A．11.5元/斤 B．12.5元/斤 C．10元/斤 D．14元/斤 【答案】A 【解析】根据题意有当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为8元/斤； 当单果的直径为时，大荔冬栙的单价为24元/斤， 所以，， 两式相除可得，所以，所以，解得， 当单果的直径为时，大荔冬枣的单价为(元/斤). 故选：A. 5．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（    ） A．10天 B．11天 C．12天 D．13天 【答案】C 【解析】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即， ∴（天）． 故最少要经过12天 故选：C 6．（2024·内蒙古包头·三模）冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为（）（    ） A．584年 B．574年 C．564年 D．554年 【答案】D 【解析】由题意知，， 则，解得年. 故选：D． 7．（2024·福建福州·模拟预测）当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等， 由题意得：，整理得：， 两边取常用对数得：，即， 即， 所以，即， 所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等． 故选：C． 8．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（    ） A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.55 【答案】C 【解析】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 9．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【解析】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 10．（多选题）（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，若，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是（    ） A．若是以月为单位，则 B．若是以年为单位，则 C．若是以月为单位，则 D．若是以年为单位，则 【答案】BC 【解析】选项A，，，A不符合； 选项B，，，，，符合； 选项C，，则，，，，，符合， 选项D，，， ，，不符合． 故选：BC． 11．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】有题意可知，， 当，则， 即，， 则， 其是关于的单调递增函数， 当时，， 当时，， 则，故B正确； 当时，， 故A错误； 当时，， 此时满足， ，故C正确，D错误， 故选：BC. 12．（多选题）（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AD 【解析】由，，，根据不等式性质可得， 所以，又，所以，故，故A选项正确，B选项错误； 易知， 若，可得，所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：AD. 13．（2024·北京东城·二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论： ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】设甲与乙的工人工作效率为，工作年限为，劳累程度为，劳动动机为， 对于①，，，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， ，， 则， ，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， ，， ，所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故答案为：①②④. 14．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（） 【答案】74 【解析】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故答案为：74. 15．（2024·上海崇明·二模）在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可） 【解析】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； ②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； ③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； ④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等； 故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）. 16．（2024·北京朝阳·一模）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T．给出下列四个结论： ①若且，则； ②若且，则； ③若，则红方获得战斗演习胜利； ④若，则红方获得战斗演习胜利． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，若且，则， 即，所以， 由可得，即①正确； 对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0， 即，化简可得， 即，两边同时取对数可得， 即，所以战斗持续时长为， 所以②正确； 对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可， 设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为， 即，可得 同理可得 即，解得 又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利； 所以可得③错误，④正确. 故答案为：①②④. 17．（2024·上海松江·一模）汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，） 阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒） (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？ 【解析】（1）由题意得，， 当时，， 若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶， 则汽车撞上固定障碍物的时间（秒）， 即最短时间为3.1秒； （2）根据题意，要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由得，，即， 解得，（米/秒），（千米/小时）， 汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时． 18．（2024·江苏苏州·模拟预测）生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数来辅助决策，如何时捕捞才能实现可持续发展等． (1)记的导数为，若，求； (2)若是的渐近线，则我们称为该生态系统的值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其值为．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即瞬时变化率最大）． 【解析】（1）因为， 所以， 此时 因为， 所以 即，由， 所以，解得． （2）由（1）知， 要函数瞬时变化率最大， 即求的最大值， 则令， 令，则， 解得（舍），，解得．因此可列表： x ＋ － ↗ ↘ 因此可得是的极大值点， 因此在时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量， 因此． 而， 因此可知当种群数量为时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量． 19．（2024·浙江金华·模拟预测）太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【解析】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 20．（2024·上海青浦·一模）上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1、疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2、所有人员排成单列行进撤离； 3、队列中人员的间隔是均匀的； 4、队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 【解析】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）： 假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况； 假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应； 假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法； 假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法． （2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为， 先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为． 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考） 情况一： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为； 情况二： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$