3.3.2抛物线的几何性质学案-2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的几何性质 [学习目标]　1.掌握抛物线的几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 一、抛物线的几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 知识梳理 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 __________轴 __________轴 __________轴 __________轴 焦点坐标 F F 准线方程 x＝_______ x＝_______ y＝_______ y＝_______ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝＝1(其中M是抛物线上一点，d表示M到准线的距离) 2.通径：过焦点且与对称轴垂直的弦叫通径，通径长等于2p. 例1　(1)抛物线y＝x2的通径为________． (2)已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：准线垂直于对称轴，垂足与焦点关于顶点对称，它们与顶点的距离都等于一次项系数的绝对值的. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 二、由抛物线的几何性质求标准方程 例2　(1)抛物线y2＝mx(m>0)的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝16x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝2x (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线方程． 反思感悟　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程． 跟踪训练2　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________． (2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝4，求抛物线的方程． 三、抛物线性质的实际应用 例3　如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 跟踪训练3　如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 1．知识清单： (1)抛物线的几何性质． (2)由抛物线的几何性质求标准方程． (3)抛物线几何性质的实际应用． 2．方法归纳：待定系数法． 3．常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点为(0,1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，焦点为 2. (多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 3.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东方向2 km处，B地在A地北偏东60°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L的距离和到A地的距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头M，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B两地修建公路的费用都为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是(　　) A．(2＋)a万元 B．(2＋1)a万元 C．5a万元 D．6a万元 4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A.或 B.或 C. D. 3.3.2　抛物线的几何性质 问题　应研究范围、对称性、顶点、离心率等性质，可通过图形进行研究． 知识梳理 1．x　x　y　y　F　F　－　　－　 例1　(1)2 解析　抛物线的标准方程为x2＝2y，所以p＝1， 通径为2. (2)解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)， 所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 跟踪训练1　解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 例2　(1)B　[抛物线y2＝mx(m>0)的准线为x＝－，准线x＝－与直线x＝1的距离为1＋， 故1＋＝3，解得m＝8， 故此抛物线的方程为y2＝8x.] (2)解　设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)． 因为点P到对称轴距离为6，所以y0＝±6， 因为点P到准线距离为10，所以＝10.① 因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0.② 由①②，得或 或或 所以所求抛物线方程为y2＝±4x或y2＝±36x. 跟踪训练2　(1)x2＝16y 解析　因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2， 所以＝＝2， 所以b＝a， 所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0. 所以抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2， 所以p＝8， 所以所求的抛物线方程为x2＝16y. (2)解　如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 准线交x轴于点G， 设BF＝a，则由已知得，BC＝2a， 由定义得，BD＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，2AE＝AC， ∵AF＝4，AC＝4＋3a， ∴4＋3a＝8，从而得a＝， ∵BD∥FG， ∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x. 例3　解　(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0,2)，A(2,4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0,2)为焦点，l为准线的抛物线． 设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即使MA＋MB的值最小． 如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得MB＝MH， 所以MA＋MB＝MA＋MH，故当A，M，H三点共线时，MA＋MH取得最小值，即MA＋MB取得最小值，此时M. 故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所用电线长度最短，最短长度为6 km. 跟踪训练3　解　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系， 以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)． 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40,30)， 代入抛物线方程得302＝2p×40， 解得p＝， 则焦点的坐标为. 故光源应安置在与顶点相距 cm处． (2)由(1)可得抛物线的方程为y2＝x. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为＝33. 故将y＝33代入抛物线方程得x＝48.4. 此时，探照灯的深度为48.4 cm. 随堂演练 1．B　[由抛物线y＝4x2， 得抛物线的标准方程为＝x2,2p＝， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为.] 2．CD　[设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，则有42＝2p·，解得p＝4(舍负)． ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.] 3．C　[设点M 到直线L的距离为d，则d＝MA.d＋MB的最小值即为点B到直线L的距离．因为B地在A地北偏东60°方向2km处，所以B地到A地的水平距离为3 km，所以B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元．] 4．B　[设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，PF＝PO， 又F，所以x0＝， 所以y＝，所以y0＝±.] 学科网（北京）股份有限公司 $$