3.1.2椭圆的几何性质学案 -2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的几何性质 [学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.2.能利用椭圆的简单性质求椭圆的方程.3.会求椭圆的离心率． 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 知识梳理 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 对称性 对称轴为__________，对称中心为__________ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2＝__________，长轴长A1A2＝__________，短半轴长等于__________，长半轴长等于__________ 焦点 焦距 F1F2＝__________ 2.离心率 (1)定义：焦距与长轴长的比_______叫作椭圆的__________，记为e. (2)性质：离心率e的范围是__________．当e越接近于1时，椭圆__________；当e越接近于__________时，椭圆就越接近于圆． 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　(多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，离心率为e，则(　　) A．e越接近于0，则C就越接近于圆 B．e越接近于1，则C就越接近于圆 C．若C经过点，则C的长轴长为2 D．若e＝，则C的长半轴长为8 二、利用几何性质求椭圆的标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝； (2)经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同的离心率． 反思感悟　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 三、求椭圆的离心率 问题2　椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 问题3　已知的值能求出离心率吗？ 例3　设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，求椭圆的离心率e的取值范围． 延伸探究 1．本例中，把条件改为“点P与短轴端点重合，且△PF1F2为等腰直角三角形”，求椭圆的离心率． 2．把本例中条件“使·＝0”改为“使∠F1PF2为钝角”，求离心率的取值范围． 反思感悟　求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 1．知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的几何性质求标准方程． (3)求椭圆的离心率． 2．方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法)． 3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系． 1．椭圆3x2＋4y2＝12的长轴长、短轴长分别为(　　) A．2， B.，2 C．4,2 D．2，4 2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D．x2＋＝1 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号) 3．1.2　椭圆的几何性质 问题1　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 知识梳理 1．－a≤x≤a且－b≤y≤b　－b≤x≤b且－a≤y≤a　坐标轴　原点　2b　2a　b　a　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　2c 2．(1)　离心率　(2)(0,1)　越扁　0 例1　解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 跟踪训练1　AC　[由椭圆的性质可知，e越接近于0，椭圆就越接近于圆；e越接近于1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误； 若C经过点，则由椭圆的定义可知C的长轴长2a＝＋＝2，故C正确； 由已知得＝，c＝2，则a＝4，长半轴长为4，故D错误．] 例2　解　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝， ∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)方法一　由题意知e2＝1－＝， 所以＝，即a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 将点M(1,2)代入椭圆方程得 ＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 方法二　设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝， 故＋＝或＋＝， 即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 跟踪训练2　解　(1)设椭圆的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)． 由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1. (2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且OF＝c，A1A2＝2b,2c＝6， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为＋＝1. 问题2　离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆．当e→1时，c→a，则b→0，所以离心率越大，椭圆就越扁．可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆． 问题3　可以．e＝＝＝. 例3　解　由题意知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2＋y2＝c2上． 又点P在椭圆上，所以圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点． 连接OP(图略)，则易知0＜b≤c＜a， 所以b2≤c2＜a2，即a2－c2≤c2＜a2. 所以≤c2＜a2，所以≤e＜1.所以e∈. 延伸探究 1．解　当△PF1F2为等腰直角三角形时，∠F1PF2＝90°，这时F1F2＝PF1，即2c＝a， ∴离心率e＝＝. 2．解　由题意，知c＞b，∴c2＞b2. 又b2＝a2－c2， ∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2. ∴e2＝＞， ∴e＞.故椭圆的离心率的取值范围为. 随堂演练 1．C　[把3x2＋4y2＝12化成标准形式为＋＝1，得a2＝4，b2＝3，则长轴长为4，短轴长为2.] 2．A　[依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.] 3．A　[不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点． 依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，OF2＝c， BF2＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝.] 4．① 解析　把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，又＋＝1的离心率e2＝＝，则e2＜e1，故①更扁． 学科网（北京）股份有限公司 $$