专题 第二十四章相似三角形章末重点题型复习（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

第二十四章 相似三角形章末重点题型复习 题型一、相似图形 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 题型二、相似多边形 4．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 题型三、相似多边形的性质 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 8．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 题型四、比例的性质 10．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 11．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 12．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 题型五、成比例线段 13．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 15．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 题型六、黄金分割 16．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 18．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 题型七、由平行判断成比例的线段 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 22．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 23．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．    24．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 题型九、相似三角形的判定综合 25．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 26．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 题型十、选择或补充条件使两个三角形相似 28．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 29．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 题型十一、重心的有关性质 31．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 32．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在中，，点G为重心，连接并延长，交于点F，如果，那么的长是 ． 33．（23-24九年级上·上海崇明·期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 题型十二、相似三角形的判定与性质综合 34．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 35．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 36．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 题型十三、利用相似三角形的性质求解 37．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 38．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 39．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是 ． 题型十四、在网格中画与己知三角形相似的三角形 40．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    42．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 题型十五、相似三角形实际应用 43．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 44．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 45．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 题型十六、实数与向量相乘 46．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 47．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 48．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 题型十七、向量的相关概念 49．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列条件中，不能判定的是（） A．，； B．， C． D． 51．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 题型十八、向量的线性运算 52．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算： ． 53．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 54．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形章末重点题型复习 题型一、相似图形 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是 ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 题型二、相似多边形 4．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）下列说法中，一定正确的是（   ） A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的矩形都相似 D．所有的正方形都相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A．所有的直角三角形的两个对应锐角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B．所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故不一定相似，不符合题意； C．所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D．所有的正方形，对应角的度数一定相同，对应边的比值一定相等，故一定相似，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列一定相似的图形是（   ） A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：∵两个等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵两个直角三角形，菱形的对应角不一定相等，两个矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：A． 题型三、相似多边形的性质 7．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键； 根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，， ∴四边形和四边形是相似比为， ∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于， ∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确， 故选：D． 8．（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解． 【详解】解：设原来矩形的长为，宽为， 则对折后的矩形的长为，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 9．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 题型四、比例的性质 10．（23-24九年级上·上海宝山·期末）已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可． 【详解】∵线段c是a和b的比例中项， ∴， ∴． 故答案为： 11．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 题型五、成比例线段 13．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 14．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 设、两地间的实际距离是，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】解：设、两地间的实际距离是，根据题意得： ， 解得， ． 故答案为：2． 15．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 题型六、黄金分割 16．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【详解】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 17．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【详解】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段 的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， ∴ 故答案为：． 题型七、由平行判断成比例的线段 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意； B、由，能判定，故该选项符合题意； C、由，不能判定，故该选项不符合题意； D、∵，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：B． 20．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 21．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 22．（23-24九年级上·上海静安·期末）在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据题意画出图形，利用平行线分线段成比例即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选C． 23．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，它们依次交直线于点，交直线于点，已知，那么的长为 ．    【答案】4 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 24．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知，它们与直线依次交于点A、B、C，点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15． 题型九、相似三角形的判定综合 25．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 26．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形网格中，、、、、、都是格点，从、、、四个格点中选取三个构成一个与相似的三角形，某同学得到两个三角形：；．关于这两个三角形，下列判断正确的是（    ） A．只有是 B．只有是 C．和都是 D．和都不是 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理逆定理，先根据网格判定，，然后用相似三角形的判定即可，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理和相似三角形的判定 【详解】如图，连接，，，，， 在中，，，， 由网格可知：，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴与相似，与相似， 故选：． 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，说法正确的是（    ） A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似 D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质． 根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两 边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形 是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x， ；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D． 【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意； B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意； C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意； D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意； 故选：B． 题型十、选择或补充条件使两个三角形相似 28．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 29．（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 30．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 题型十一、重心的有关性质 31．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ． 故选：B． 32．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在中，，点G为重心，连接并延长，交于点F，如果，那么的长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了重心，关键是掌握重心的性质．因为是重心，连接并延长，交于点，可得是边的中线，，即，在中，，可得． 【详解】解：点为重心，连接并延长，交于点， 是边的中线， ， ， 点是重心， ， ， 故答案为：1． 33．（23-24九年级上·上海崇明·期末）定义：P为内一点，连接，在和中，如果存在一个三角形与相似，那么就称P为的自相似点，根据定义求解问题：已知在中，是边上的中线，如果的重心P恰好是该三角形的自相似点，那么的余切值为 ． 【答案】或 【分析】分为两种情形：，从而得出，设，则，从而得出，，进而计算出，进而求得，进一步得出结果；当时，作于，利用第一种情形的数据，同样的方法得出结果． 【详解】解：如图，    ∵， ∴不可能与相似， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∵是的重心， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ； 当时，，作于，如图所示：   ，， ， ， ， ， ， ∴， ； 综上所述：的余弦值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形重心，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． 题型十二、相似三角形的判定与性质综合 34．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围． 【详解】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图： 由折叠的性质知，，， 又矩形中，， 四边形是正方形， ， ； 当点的对应点恰好落在边上时，如图， 由折叠的性质知， ， 又矩形中，， ， ， 又， ， ，即， ， ， 线段的取值范围是． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)10 (2) (3)或1 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长； （2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （3）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，   ，， ，， ， ， ； （3）解：当， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 当时，在上截取点M，使，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 36．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型十三、利用相似三角形的性质求解 37．（23-24九年级上·上海静安·期末）如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 38．（23-24九年级上·上海金山·期末）在中，，P是上的一点，Q为上一点，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，当时，只要满足，都能满足题意；当时，得到，则，再由，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∴， ∴只要满足，都能满足题意；    如图所示，当时， ∵直线把分成面积相等的两部分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，直线把分成面积相等的两部分，且和相似，如果这样的直线有两条，那么边长度的取值范围是． 故答案为：    39．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：． 题型十四、在网格中画与己知三角形相似的三角形 40．（23-24九年级上·上海金山·期末）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个， 故选C． 41．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：   ． 故答案为：4． 42．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 题型十五、相似三角形实际应用 43．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处(即里)，出西门往前直走2里到B处(即里)，此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定；先根据正方形的性质得出，再根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：设正方形是灭一面城墙的长度为里， 正方形的中心为， 里，， ， 即 解得：，或不合题意，舍去， ， 故答案为：． 44．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)求像的长度． (2)已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点， （1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明与△解答即可； （2）过点作交于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可； 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴像的长度厘米． （2）过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（厘米）． ∴凸透镜焦距的长为厘米． 45．（23-24九年级上·上海宝山·期末）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高，测高仪为矩形，，顶点D处挂了一个铅锤H，图是测量塔高的示意图，测高仪上的点与塔顶G在一条直线上，铅垂线交于点M，经测量，点D距地面，到塔的距离，，求塔的高度（结果精确到）． 【答案】塔的高度约为21m． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 证明，然后根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∵四边形是矩形， 解得， 答：塔的高度约为21米． 题型十六、实数与向量相乘 46．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 47．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（   ） A．若是单位向量，是实数，则； B．若； C．若（为非零向量），则存在唯一实数，使； D．若，则或． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．根据零向量和平行向量的知识分析即可． 【详解】解：A．若是单位向量，时，则，故原说法不正确； B．若，故原说法不正确； C．若（为非零向量），则所有非零实数，使，故原说法不正确； D．若，则或，正确． 故选D． 48．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【答案】C 【分析】本题考查向量与实数的运算，向量的线性计算，根据相关运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 题型十七、向量的相关概念 49．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 50．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列条件中，不能判定的是（） A．，； B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的平行，熟记平面向量平行的定义是解题的关键． 根据平面向量的相关定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ， 由不能得到， 故选：D． 51．（23-24九年级上·上海虹口·期中）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相同，， ∴， 故答案为：． 题型十八、向量的线性运算 52．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键． 【详解】 ； 故答案为：． 53．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 54．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$