精品解析：学湖南省永州市祁阳县第四中学2024-2025学年高二上学期第一次段考数学试题

祁阳四中2024年下期高二年级第一次段考 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 已知两条直线和相互垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 6. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点在平面内 D. 向量是与平行的一个单位向量 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. ，，，四点共面 D. 直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量与的夹角为________. 13. 已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 14. 已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 在空间直角坐标系中，已知点，，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离 18. 已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为. （1）求圆的方程； （2）若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； 19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ，，，． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁阳四中2024年下期高二年级第一次段考 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程即可得到圆心坐标. 【详解】由得，故圆心坐标为. 故选：D. 2. 已知向量，则向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量模长公式得到答案. 【详解】因为，所以. 故选：C 3. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得. 【详解】由题可得直线的斜率为， 所以直线方程为：， 化简可得：； 故选：B 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】代入空间向量垂直的数量积坐标表示的公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 整理得：，解得. 故选：A 5. 已知两条直线和相互垂直，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得的值. 【详解】∵直线和相互垂直， ∴，解得. 故选：C. 6. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直线的方向向量与共线，可求的值. 【详解】由，，有， 经过，两点的直线的方向向量为，则有. 故选：C. 7. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点关于直线的对称点，确定对称圆圆心，对称圆半径与圆相同，根据圆心半径确定圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 设点关于直线的对称点为， 直线化为，所以直线的斜率为， 设直线的斜率为，，则， 即，整理得：①， 、的中点坐标为， 又、的中点坐标满足直线方程， 所以，整理得： ②， 联立①②，，解得，所以 所以圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为， 所以圆关于直线对称的圆的方程为：. 故选：A 8. 在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱柱补形为正方体，容易找到BC的中垂面，因为，所以确定点P在中垂面内，通过几何关系求解中垂面与三棱柱相交的轨迹长度即可. 【详解】因为，，所以可将直三棱柱补形为边长为2的正方体，取的中点E，F，G，H，K，L按顺序连接.，，如图所示， 正方体中，，， 所以面， 所以，因为，所以. 同理可得， 因为，所以面，其中为正六边形. 因为E，G，H，L为的中点，所以M，N为的四等分点， 根据正方体对称性，知O为MN中点也是BC中点，因为，所以点P在过点O垂直于BC的平面内，即点P在面内. 又因为点P在三棱柱表面上，所以P点的轨迹为五边形MNEFG， ，由正六边形及正方体对称性可知 ， 故点P的轨迹长度为， 故选：B 【点睛】处理此类问题的关键是熟练掌握立体几何中的点线面垂直平行异面的关系，找到与包含未知点的量和已知量之间的等量关系或不等关系即可.本题把到两点距离问题转化为找中垂面，再通过线面垂直的判定定理即可证明垂面位置，由此确定点P的轨迹为五边形，求出长度即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是2 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据两直线平行分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据两直线平行斜率相等，即可分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 所以直线的一个方向向量为，因为， 所以直线的一个方向向量为，A正确； 对于B，直线，可化为， 所以与重合，B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是， 即，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点在平面内 D. 向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B. 【详解】由已知可得，，，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面内，则存在实数，，使得， 而，，， ， 所以，解得，故点E在平面ABC内，C正确; 由，故，且， 所以正确． 故选：ABCD． 11. 如图，平行六面体的所有棱长均为，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. ，，，四点共面 D. 直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由的线性运算后再平方可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】 对于A，， ， ，则，故A错误； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为， 所以， 则， ，则， ， B正确； 对于C，在上取点，使得，连接，，，， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 因为，，所以四边形为平行四边形，可得， 所以，可得，，，四点共面，故C正确； 对于D，因为，， ， 所以 ， ，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛： 求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出两圆得圆心及半径，再根据两圆相交，可得，解之即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程得， 则，半径， 因为两圆相交， 所以， 即，解得（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是________. 【答案】74 【解析】 【分析】设点，由两点间距离公式得到，再由几何意义得到表示圆上的点到原点的距离的平方，转化为圆心到原点的距离，进而可求出点到原点的距离的最大值，代入求解即可. 【详解】设点.∵点，，， 其中的几何意义为：点到原点的距离的平方. ∵点为圆上的动点，圆心到原点的距离为5， ∴点到原点的距离的最大值为5+1=6， 的最大值为. 故答案为：74. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，：，其中为实数. （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可； （2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 此时直线：，：，不重合， 则直线，之间的距离为； 【小问2详解】 当时，：， 联立，解得， 又直线斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为， 即. 16. 在空间直角坐标系中，已知点，，. （1）若，求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算求参； （2）先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 因为， 整理得：，解得或. 【小问2详解】 由空间两点间的距离公式， 得 ， 当时，有最小值. 17. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，平面，且. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，表示与平面的法向量为，根据线面角的向量公式可得结果. （2）利用点到平面距离的公式计算可得结果. 【小问1详解】 ∵平面，平面，平面， ∴. ∵四边形为正方形，∴. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，∴. 设直线与平面所成角为，则， ∵，∴，即直线与平面所成角为. 【小问2详解】 由（1）得，点到平面的距离. 18. 已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为. （1）求圆的方程； （2）若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆截轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. 【小问2详解】 因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量方法解决几何问题. 19. 如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面， ，，，． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为是直径，所以， 因为平面，平面， 所以 ， 因为，所以平面， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，所以证明平面，又可证明，得证； （2）第一步，要先证明点在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和等体积转化为：，然后根据基本不等式求最值， 并确定点的位置，第二步，根据条件建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用向量法计算二面角． 【详解】（1）略； （2）依题意，， 由（1）知 ， 当且仅当时等号成立， 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， ， 设面的法向量为， 则有，即，可取， 设面的法向量为， 则有，即，可取， ， 由图可知，二面角为钝二面角， 二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $