数序活动 探寻“勾股数”2024-2025学年 苏科版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 数学活动 探寻“勾股数” 教学目标 1. 通过观察“普林顿322”泥板，了解勾股数的定义，会判断勾股数。 2. 经历探究活动，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的研究方法，掌握勾股数的规律及构造勾股数的方法。 3. 经历探究问题的过程体会由一般到特殊、再由特殊到一般的探究方法，在解决问题中会运用类比的数学思想。 教学重难点 教学重点： 1.由简单的勾股数发现其内在的规律，探索归纳勾股数的一般规律，对发现的勾股数的规律进行计算、验证。 教学难点： 1.会用分类、类比的思想，探索勾股数，并对探索发现加以验证。 教学过程 一、知识背景，引入情景 勾股定理，又称商高定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的重要纽带。 著名的美国哥伦比亚大学收藏着一块“普林顿233”古巴比伦泥板，泥板上记录着许多神秘符号，经过专家们得潜心研究，发现泥板上是一张表格，表格上记录着若干组勾股数。 勾股数得定义：满足+=的三个正整数称为勾股数。 例1 分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中能构成直角三角形的勾股数的组数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、发现问题，提出问题 你能说出哪些常见的勾股数？ 生：… 探究1 如何找到更多的勾股数呢？ 生：9、12、15；12、16、20；15、20、25… 师：以此类推，可以用一个一般形式来表达（为正整数）。我们再将这个结论推广，提出这样的猜想：若是一组勾股数，则为正整数时，的整数倍是一组勾股数。如何验证这个猜想？ += 我们将这个结论总结为构造勾股数得第一种方法。 【方法一】 若是一组勾股数，则为正整数时，的整数倍是一组勾股数。 师：我们再观察“普林顿322”泥板上的数据，仅靠已知勾股数得整数倍显然无法覆盖，那么泥板上得勾股数有规律吗？古人是如何想到的呢？ 三、个例研究，规律探寻 请你观察以下几组勾股数并分类，分类的依据是什么？ ①3、4、5；②5、12、13；③6、8、10；④7、24、25；⑤8、15、17；⑥9、40、41；⑦10、24、26；⑧12、35、37. 根据最小数的奇偶性分为两类：①②④⑥、③⑤⑦⑧。我们就这两类勾股数进行规律探寻。 探究2 观察表中数据并回答问题。 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 (1)你有哪些发现？ (2)若=13，则 =_______， =_______。 (3)若（n为正整数），则 =__________，=______________。 猜想：当为正整数时，是一组勾股数。 如何验证这个猜想？ 验证:∵=4+4n+1 =4+8+4 =4+8+8+4n+1 ∴+= ∴、、是一组勾股数。 我们将这个结论总结为构造勾股数得第二种方法。 【方法二】(毕达哥拉斯构造法) 当为正整数时，、、是一组勾股数。 探究3 观察表中数据并回答问题。 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 (1)你有哪些发现？ (2)若=16，则 =_______， =_______。 (3)若（n为正整数），则 =__________，=______________。 猜想：当n为正整数时，是一组勾股数。请同学们自行验证这个猜想。 我们将这个结论总结为构造勾股数得第三种方法。 【方法三】(柏拉图构造法) 是一组勾股数。请同学们自行验证这个猜想。 四、拓展思路，方法再探 探究4 构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“两个数的平方和（或差）等于第三个数的平方”，即满足以下形式： 或。 已知 如果能改写成，即可 设 则 所以是一组勾股数。 我们将这个结论总结为构造勾股数得第四种方法。 【方法四】（丢番图构造法) 当，时，是一组勾股数。 拓展：（刘徽构造法) 当为同奇偶的正整数，且时，是一组勾股数。 例2 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a、b、c称为勾股数 .世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》 ，其勾股数组公式为 ，其中m>n>0,m,n是互质的奇数. 应用：当时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长. 解：因为， 所以 1°当时 解得=±（舍去） 2°当时 ， 代入得， 3°当c=5时 =5， ， 解得=±3， 因为>0，所以=3， 代入得=4，=3。 综上所述，另外两条边长为12、13或者3、4。 5、 归纳小结，能力提升 本节课探究了构造勾股数的三种方法，经历了以下环节： 发现问题，提出问题 个例研究，提出猜想 验证猜想，得出结论 整理结论，解决问题 在探究规律的过程中，我们运用了由一般到特殊、再由特殊到一般的方法，同时我们用研究最小数为奇数时的规律的方法来解决最小数为偶数时的规律，这就是知识的迁移，运用了类比的思想方法。希望同学们能将这种解决问题的思路应用的更多的数学情境中去。 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 学科网（北京）股份有限公司 $$