第02讲 代数式、整式与因式分解（5考点+19题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第一章 数与式 第02讲 代数式、整式与因式分解（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 命题点一 代数式的相关概念 命题点二 整式的相关概念（高频考点） 命题点三 整式的运算（高频考点） 命题点四 整式化简求值（高频考点） 命题点五 因式分解 （高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式求值 ►题型03 代数式的规律问题 命题点二 整式的相关概念（高频考点） ►题型01 单项式 ►题型02 多项式 ►题型03 数字、图形规律探索 命题点三 整式的运算（高频考点） ►题型01 （合拼）同类项 ►题型02 整式的加减运算 ►题型03 整式加减中的化简求值 ►题型04 整式加减的应用 ►题型05 幂的混合计算 ►题型06 整式的乘法 ►题型07整式的除法 ►题型08 乘法公式的应用 ►题型09 乘法公式的几何验证 命题点四 整式化简求值（高频考点） ►题型01 整式加减中的化简求值 命题点五 因式分解 （高频考点） ►题型01 判断因式分解 ►题型02 适当的方法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的相关概念 · 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； · 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年6考 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 · 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 10年10考 整式的运算 · 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年8考 整式化简求值 · 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 · 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年10考 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. ( 1. 代数式中 不 含有=、<、>、≠等. 2. 单独的 一 个数或一个字母也是代数式. 3 . 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号 括 起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写． 像数字 与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． ) 考点二 整式的相关概念（高频考点） 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 ( 1. 由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2 . 一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0 . 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身. 确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的 符号 . 例如： - （ 3 x ）的系数是 - 3. 3. 圆周率 π 是 常数 ， 当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母 . 4 . 单项式的指数只和 字母的指数有关，与系数的指数无关 . 如单项式－ 的次数是 2 ＋ 3 ＋ 4=9 而不是 14 . 5. 由定义可知，多项式中可以含有 : 乘法、加法、减法运算 . 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数 . 7 . 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（ 最高次项 的次数）几项（多项式项数）式 . ) 考点三 整式的运算（高频考点） 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. ( 1. 所有常数项都是同类项. 2. “同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项 : ② 一 相加二不变，合并同类项 . “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可 . “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关 . “一相加”：系数相加作为结果的系数 . “二不变”：字母连同字母指数不变 . 3. 合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式 . 4. 去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5. 去 括号和添括号 是两种相反的变形，因此可以相互检验正误 . ) 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 ( 1 ． 幂 的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如： ( a 3 ) 2 = a 6 ，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“ a 2 ”，指数相乘是指“3×2”． 2 ．同底数 幂 的乘法和 幂 的乘方在应用时，不要发生混淆． 3 ．式子 ( a + b ) 2 不可以写成 a 2  + b 2 ，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4 ．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. ) 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 考点五 因式分解 （高频考点） ( 1. 因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2. 因式分解必须是恒等变形； 3. 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4. 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． ) 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 1．（2024·广东肇庆·一模）由于换季，某商家决定降低某种衣服价格，现有三种降价方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、第二次降价均为．三种方案中，降价最少的是(    ) A．方案① B．方案② C．方案③ D．不确定，因衣服原始价格未知 2．（2023·山西吕梁·三模）某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2023·浙江·二模）已知A、B两家网站用户日人均上网时间分别为a和b，平均每天的上网用户人数分别为m和n．则这两家网站所有用户的日人均上网时间为 ． 4．（2019·广东广州·一模）某校组织初三学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有4个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m的代数式表示)． ►题型02 代数式求值 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 7．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 8．（2024·广东东莞·三模）若代数式的值为3，则代数式的值为 ． ►题型03 代数式的规律问题 9．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ．    10．（2023·广东广州·三模）观察下列一组数：，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则 ， ． 11．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 12．（2023·广东·二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ． 命题点二 整式的相关概念（高频考点） ►题型01 单项式 13．（2023·广东肇庆·二模）单项式的次数是 ． 14．（2024·广东珠海·三模）单项式的次数是4，则a的值为 ． 15．（2024·广东清远·模拟预测）单项式的次数是 ． 16．（2023·广东清远·一模）单项式的次数是 ． ►题型02 多项式 17．（2023·广东茂名·一模）多项式的次数和常数项分别是(    ) A．， B．， C．， D．， 18．（22-23七年级上·河北唐山·期末）下列说法中正确的是（    ）． A．不是单项式 B．的系数是 C．的次数是 D．多项式的次数是 19．（23-24九年级上·贵州毕节·期中）多项式的次数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 ►题型03 数字、图形规律探索 20．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 21．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 23．（2023·广东佛山·三模）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（   ） A． B． C． D． 命题点三 整式的运算（高频考点） ►题型01 （合拼）同类项 24．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 25．（2024·广东·二模）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．（2024·广东东莞·三模）已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 27．（2024·广东东莞·一模）如果与是同类项，则 ． 28．（2023·广东东莞·一模）已知和是同类项，则的值是 ． ►题型02 整式的加减运算 29．（2023·河北邢台·一模）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 30．（2023·广东广州·三模）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 31．（2021·广东中山·一模）已知，则 ． 32．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． ►题型03 整式加减中的化简求值 33．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 34．（2021·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中，． 35．（2021·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中，． 36．（2023·广东珠海·三模）已知． (1)化简； (2)若、是关于的方程的两个实数根，求的值． ►题型04 整式加减的应用 37．（2020·广东·一模）小明背对小亮按小列四个步骤操作： （1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； （3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆； （4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 ． 38．（2022·河北邯郸·二模）在计算题：“已知：，求”时，嘉淇把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式N； (2)判断的化简结果是否能为负数，并说明理由． 39．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） 请解答下列问题： (1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______； (2)比较与的大小； (3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值． 40．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． ►题型05 幂的混合计算 41．（2024·广东·模拟预测）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（2024·广东深圳·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 43．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（        ） A． B． C． D． 44．（2024·广东·模拟预测）下列式子中运算正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型06 整式的乘法 45．（2024·广东梅州·模拟预测）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 46．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C．     D． 47．（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 48．（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． ►题型07整式的除法 49．（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 50．（2023·浙江·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 51．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（2020·广东江门·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A．（a3）2＝a5 B．a3+a2＝a5 C．（a3﹣a）÷a＝a2 D．a3÷a3＝1 ►题型08 乘法公式的应用 53．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 55．（2024·广东惠州·三模）先化简再求值：，其中． 56．（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． ►题型09 乘法公式的几何验证 57．（2023·广东汕尾·一模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 58．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（   ）    A． B． C． D． 59．（2023·广东肇庆·二模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需用A、B型板材若干块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．（单位：cm） (1)若设．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．    裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 3 m n 则表中， ， ； (2)为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式： ； (3)若给定一个二次三项式，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量） 60．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 命题点四 整式化简求值（高频考点） ►题型01 整式加减中的化简求值 61．（2024·广东湛江·二模）先化简，再求值：，其中． 62．（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 63．（2024·广东广州·一模）已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 64．（2023·广东河源·二模）先化简再求值：，其中，． 命题点五 因式分解 （高频考点） ►题型01 判断因式分解 65．（2024·广东中山·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 66．（2023·广东佛山·三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 67．（2023·湖南邵阳·一模）下列因式分解正确的一项是（    ） A． B． C． D． 68．（2018·广东佛山·一模）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． ►题型02 适当的方法因式分解 69．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 70．（2024·广东惠州·模拟预测）因式分解 ． 71．（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 72．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． ►题型03 因式分解的应用 73．（2024·广东阳江·一模）若，则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 74．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 75．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 76．（22-23八年级上·湖北十堰·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：把代数式因式分解得______；当______时，代数式． 基础巩固 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（       ） A． B．1 C．4 D． 2．（2024·广东汕头·二模）已知方程，则整式的值为（  ） A．5 B．10 C．12 D．15 3．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 4．（2023·河北邢台·一模）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 6．（2024·广东江门·一模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2022·安徽淮南·二模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 二：填空题 9．（2023·广东佛山·三模）整式的次数是 ． 10．（2023·广东梅州·一模）的展开式中的系数为 ． 11．（2024·广东·模拟预测）因式分解∶ ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）已知实数a、b满足，则的值为 ． 三：解答题 13．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：. 14．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简T； (2)若a满足，求T的值． 15．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022·广东梅州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·广东深圳·一模）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 4．（2018·浙江宁波·中考真题）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　    A．2a B．2b C． D． 5．（2014·广东广州·一模）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽滁州·一模）定义一种新运算“积方差”，运算符号用“※”表示，规定：任意两个数，的积方差记为，并且；在混合运算中，括号的作用和四则混合运算相同．现有如下四个结论：①当时，或，②当时，，③方程有两个相等的实数根，④，其中正确的结论为（    ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④ 二、填空题 7．（2024·广东中山·模拟预测） ． 8．（2024·广东梅州·模拟预测）如果那么 ． 9．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）分解因式： ． 11．（2023·广东云浮·一模）已知（），则代数式 ． 三、解答题 12．（2021·广东广州·中考真题）已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 12．（2021·广东江门·一模）小慧在课外阅读时遇到了一个与勾股定理有关的故事：古希腊哲学家柏拉图对勾股定理很有研究，曾得到勾股数的一个结论：如果m表示大于1的整数，则，，构成勾股数，你能证明柏拉图这个结论吗？并利用这个结论写出两组勾股数．（勾股数定义：若三角形三边长a、b、c都是正整数，且满足，那么a、b、c称为一组勾股数） 14．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 15．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）若关于的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： i）如图，点是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为40，则的面积为______； ii）若，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第02讲 代数式、整式与因式分解（3~6分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 命题点一 代数式的相关概念 命题点二 整式的相关概念（高频考点） 命题点三 整式的运算（高频考点） 命题点四 整式化简求值（高频考点） 命题点五 因式分解 （高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 代数式求值 ►题型03 代数式的规律问题 命题点二 整式的相关概念（高频考点） ►题型01 单项式 ►题型02 多项式 ►题型03 数字、图形规律探索 命题点三 整式的运算（高频考点） ►题型01 （合拼）同类项 ►题型02 整式的加减运算 ►题型03 整式加减中的化简求值 ►题型04 整式加减的应用 ►题型05 幂的混合计算 ►题型06 整式的乘法 ►题型07整式的除法 ►题型08 乘法公式的应用 ►题型09 乘法公式的几何验证 命题点四 整式化简求值（高频考点） ►题型01 整式加减中的化简求值 命题点五 因式分解 （高频考点） ►题型01 判断因式分解 ►题型02 适当的方法因式分解 ►题型03 因式分解的应用 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的相关概念 · 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； · 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年6考 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 · 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 10年10考 整式的运算 · 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 10年8考 整式化简求值 · 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 · 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年10考 考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. ( 1. 代数式中 不 含有 = 、 < 、 > 、≠等 . 2. 单独的 一 个数或一个字母也是代数式 . 3 . 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号 括 起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写． 像数字 与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． ) 考点二 整式的相关概念（高频考点） 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 ( 1. 由定义可知，单项式中只含有乘法运算 . 2 . 一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是 1 或者 -1 ，不能认为是 0 . 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身 . 确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的 符号 . 例如： - （ 3 x ）的系数是 - 3. 3. 圆周率 π 是 常数 ， 当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母 . 4 . 单项式的指数只和 字母的指数有关，与系数的指数无关 . 如单项式－ 的次数是 2 ＋ 3 ＋ 4=9 而不是 14 . 5. 由定义可知，多项式中可以含有 : 乘法、加法、减法运算 . 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数 . 7 . 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（ 最高次项 的次数）几项（多项式项数）式 . ) 考点三 整式的运算（高频考点） 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. ( 1. 所有常数项都是同类项 . 2. “同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项 : ② 一 相加二不变，合并同类项 . “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可 . “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关 . “一相加”：系数相加作为结果的系数 . “二不变”：字母连同字母指数不变 . 3. 合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式 . 4. 去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5. 去 括号和添括号 是两种相反的变形，因此可以相互检验正误 . ) 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 ( 1． 幂 的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如： ( a 3 ) 2 = a 6 ，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“ a 2 ”，指数相乘是指“3×2”． 2 ．同底数 幂 的乘法和 幂 的乘方在应用时，不要发生混淆． 3 ．式子 ( a + b ) 2 不可以写成 a 2  + b 2 ，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4 ．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. ) 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 考点五 因式分解 （高频考点） ( 1. 因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2. 因式分解必须是恒等变形； 3. 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 . 4. 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． ) 命题点一 代数式的相关概念 ►题型01 列代数式 1．（2024·广东肇庆·一模）由于换季，某商家决定降低某种衣服价格，现有三种降价方案：①第一次降价，第二次降价；②第一次降价，第二次降价；③第一、第二次降价均为．三种方案中，降价最少的是(    ) A．方案① B．方案② C．方案③ D．不确定，因衣服原始价格未知 【答案】C 【分析】此题主要考查了整式的加减的应用，设某种衣服价格的原价为元，根据题意分别表示出降价后的售价，然后用原售价-降价后的售价，再比较大小即可． 【详解】解：设某种衣服价格的原价为元， 方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案③降价最少， 故选：C． 2．（2023·山西吕梁·三模）某商店经销一种品牌的空气炸锅，其中某一型号的空气炸锅的进价为每台元，商店将进价提高30%后作为零售价销售，一段时间后，商店又按零售价的8折销售，这时该型号空气炸锅的零售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意可以得到最后打折后的零售价，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 某一型号的空气炸锅的零售价：（元）， 故选C． 【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．（2023·浙江·二模）已知A、B两家网站用户日人均上网时间分别为a和b，平均每天的上网用户人数分别为m和n．则这两家网站所有用户的日人均上网时间为 ． 【答案】 【分析】用总上网时间除以总人数即可列出式子． 【详解】解：由题意可得： 这两家网站所有用户的日人均上网时间为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握平均数的求法． 4．（2019·广东广州·一模）某校组织初三学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有4个空座位，那么租用大客车的辆数是 (用m的代数式表示)． 【答案】 【分析】让汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数． 【详解】共有4个空座位，那么一共可以坐(m+4)人， ∴租用大客车的辆数是， 故答案为. 【点睛】本题考查的是列代数式，熟练掌握代数式是解题的关键. ►题型02 代数式求值 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 ，，求的值为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键． 将分银因式化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：6． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）设a与b互为相反数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数的性质，因式分解的应用，代数式求值，灵活运用所学知识是关键． 根据互为相反数的和为0，可得；将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数， ∴． ∴． 故答案为：0． 7．（2024·广东广州·中考真题）若，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 8．（2024·广东东莞·三模）若代数式的值为3，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式求值，根据题意利用整体代入入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：4． ►题型03 代数式的规律问题 9．（2024·广东东莞·一模）如图，这是学校在学生中征集的生物园一侧围栏纹饰部分的设计图案．其中每个圆的直径均为，圆心在同一直线上，且每增加一个圆形图案，纹饰长度就增加，若纹饰需要8个圆形图案，，此时纹饰的长度y为 ．    【答案】212 【分析】本题考查了列代数式，根据题意得到，第一个图形的直径为，以后每增加一个图形就增加，所以增加了，再加上30便是答案． 【详解】解：根据题意：， 当时，， 故答案为：212． 10．（2023·广东广州·三模）观察下列一组数：，它们按一定规律排列，第个数记为，且满足．则 ， ． 【答案】 /0.2 【分析】由题意推导可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键． 11．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 【答案】 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键． 12．（2023·广东·二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ． 【答案】11 【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数，然后列出方程，解方程即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第n个图形中圆的个数是； ， 解得（舍），， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程． 命题点二 整式的相关概念（高频考点） ►题型01 单项式 13．（2023·广东肇庆·二模）单项式的次数是 ． 【答案】8 【分析】根据单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和是 故次数是8． 故答案为8． 【点睛】本题考查单项式的知识，确定单项式的次数时，找准所有字母的指数，是确定单项式的次数的关键． 14．（2024·广东珠海·三模）单项式的次数是4，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据单项式中所有字母指数和为4，列式计算即可． 本题考查了单项式的次数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 解得． 故答案为：2． 15．（2024·广东清远·模拟预测）单项式的次数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查单项式的次数的定义，根据单项式的次数的定义，即可求解．理解单项式的次数的定义并找出所有字母的指数是解题的关键． 【详解】解：单项式的次数是所有字母的指数和， ∴， 故答案是：6． 16．（2023·广东清远·一模）单项式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查单项式的次数，掌握单项式次数为所有字母的指数和是解题的关键． 根据单项式次数的定义即可求解． 【详解】解：单项式次数为所有字母指数和，x的指数为2，y的指数为1，故此单项式次数为， 故答案为：3． ►题型02 多项式 17．（2023·广东茂名·一模）多项式的次数和常数项分别是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据多项式的相关概念即可求解，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 【详解】解：多项式的次数和常数项分别是， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 18．（22-23七年级上·河北唐山·期末）下列说法中正确的是（    ）． A．不是单项式 B．的系数是 C．的次数是 D．多项式的次数是 【答案】B 【分析】根据单项式和多项式的概念逐一求解可得． 【详解】解：A．是单项式，故此选项不符合题意； B．的系数是，故此选项符合题意； C．的次数是，故此选项不符合题意； D．多项式的次数是，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查单项式与多项式的概念．解题的关键是正确理解单项式与多项式． 19．（23-24九年级上·贵州毕节·期中）多项式的次数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据“多项式的次数是组成多项式的次数最高的单项式的次数”，进行解答即可． 【详解】多项式的次数是5次． 故答案为：B ►题型03 数字、图形规律探索 20．（2024·广东清远·模拟预测）如图，将连续的偶数2，4，6，8，…．．排成如图形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，思考：若将十字框上下左右移动，则框内五个数之和可能是（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2030 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中数字的变化，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键． 设中间的数为x，则五个数的和，根据选项判断即可得出结论； 【详解】解：由题意可知：若中间数为，另外四个数分别为、、、， ∴十字框中五个数的和是． ∵为偶数， ，，，， 故选：D． 21．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，根据点的坐标的变化找出规律是解题的关键．由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一周期，每周期纵坐标加1，横坐标加2，按此规律计算即可． 【详解】解：由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一循环，每周期纵坐标加1，横坐标加2， 点M从开始移动，第20次平移后得到的点的横坐标为，纵坐标为， 所以第20次平移后得到的点的坐标为． 故选：A． 22．（2024·广东广州·二模）如图的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有个正方形，长为1的线段和为4，第二个图形有个小正方形，长为1的线段和为12，第三个图形有个小正方形，长为1的线段和为24，按此规律，则第50个图形中长为1的线段和为（    ） A．5100 B．3800 C．2650 D．588 【答案】A 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，找出前四个图形的规律是解题的关键．通过第1、2、3和4个图案找出规律，进而得出第n个图案中长为1的线段和为，代入即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图案由1个小正方形组成，长为1的线段和为 第2个图案由4个小正方形组成，长为1的线段和为 第3个图案由9个小正方形组成，长为1的线段和为 第4个图案由16个小正方形组成，长为1的线段和为 … 由此发现规律是： 第n个图案由个小正方形组成，长为1的线段和为， 第50个图形中长为1的线段和为． 故选：A． 23．（2023·广东佛山·三模）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是根据已知条件图形推出规律． 图中的笑脸是以ABCD的顺序4个为循环单位排列的，由此可推出第2007个图形． 【详解】解：图中的笑脸是以ABCD的顺序4个为循环单位排列的，即个数能被4整除的图形为D，不能整除余数为1、2、3的图形分别为A、B、C；因为商余3，所以第2007个图形为C． 故选：C． 命题点三 整式的运算（高频考点） ►题型01 （合拼）同类项 24．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【详解】若与是同类项， 则， 故选：B． 25．（2024·广东·二模）若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键． 首先根据题意得到和是同类项，然后得到，，求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴和是同类项 ∴， ∴， ∴． 故选：B． 26．（2024·广东东莞·三模）已知单项式与是同类项，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 27．（2024·广东东莞·一模）如果与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的概念，关键是注意同类项：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：与是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 28．（2023·广东东莞·一模）已知和是同类项，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，由此得到，，求出的值． 【详解】解：和是同类项， ，， ， ， 故答案为：． ►题型02 整式的加减运算 29．（2023·河北邢台·一模）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减计算， 根据加法与减法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴覆盖的多项式为， 故选D． 30．（2023·广东广州·三模）下列计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减法法则对各项进行运算即可． 【详解】A． 与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B． ，故此选项错误，不符合题意； C． ，故此选项错误，不符合题意； D． ，故此选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减法法则是解题的关键． 31．（2021·广东中山·一模）已知，则 ． 【答案】-1 【分析】将条件进行变形为，然后对所求整式变形，代入求解即可． 【详解】解： 又 故答案为： 【点睛】本题考查的是数据处理能力，能观察出条件和结果之间的关系是解题关键． 32．（2024·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程； （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ►题型03 整式加减中的化简求值 33．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【答案】，34 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握单项式乘多项式法则、完全平方公式等是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，再把，的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 34．（2021·广东广州·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】． 【分析】利用完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 35．（2021·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【分析】先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可． 【详解】解：， =， =， 把，代入得，原式==． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算． 36．（2023·广东珠海·三模）已知． (1)化简； (2)若、是关于的方程的两个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）根据，进行化简即可； （2）由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解： ∴； （2）解：由题意知，， ∴， ∴的值为27． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． ►题型04 整式加减的应用 37．（2020·广东·一模）小明背对小亮按小列四个步骤操作： （1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； （3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆； （4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 ． 【答案】6 【分析】把每堆牌的数量用字母表示出来，列出表示变化情况的式子即可解答. 【详解】设第一步时，每堆牌的数量都是x(x≥2)， 第二步时：左边x-2，中间x+2，右边x； 第三步时：左边x-2，中间x+4，右边x-2， 第四步时：左边x-2，所以从中间拿走x-2， 则中间剩余牌数为（x+4）-(x-2)=x+4-x+2=6， 所以中间一堆现有张数是6， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查整式的加减，把复杂问题通过逻辑推理简单化是解答的关键. 38．（2022·河北邯郸·二模）在计算题：“已知：，求”时，嘉淇把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式N； (2)判断的化简结果是否能为负数，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）将错就错利用M－2N=－x2+4x－4，即可求解； （2）根据（1）中求得的N，代入化简整理即可． 【详解】（1）∵M－2N=－x2+4x－4，M=3x2－4x+2 ∴N=； （2）解：不能为负数，理由为： ∵，， ∴2M－N=2(3x2－4x+2)－()=4 x2－4x+1=(2x－1)2≥0， ∴的结果不能是负数． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则，读懂题意，是解题的关键． 39．（2024·广东汕头·一模）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） 请解答下列问题： (1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______； (2)比较与的大小； (3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值． 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则以及方法是解此题的关键． （1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案； （2）计算出，结合为正整数得出，即可得解； （3）由题意得出正方形的边长为，结合正方形的面积为即可得出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，， 故答案为：，； （2）解：， 由于为正整数， 所以， 所以， 即； （3）解：因为图1中长方形的周长为， 所以正方形的边长为； 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：的值为1． 40．（2024·广东东莞·一模）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． ►题型05 幂的混合计算 41．（2024·广东·模拟预测）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 42．（2024·广东深圳·三模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式、去括号的方法、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【详解】解：、原式，故不符合题意； 、原式，故不符合题意； 、原式，故不符合题意； 、原式，故不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查的是同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方运算、去括号、合并同类法则，掌握其运算法则是解决此题的关键． 43．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式的法则，完全平方公式、同底数幂的除法，解题的关键是掌握相关运算的法则． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算错误； D. ，计算正确； 故选D． 44．（2024·广东·模拟预测）下列式子中运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原选项不正确； B．，故原选项不正确； C．，原选项正确； D．，故原选项不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． ►题型06 整式的乘法 45．（2024·广东梅州·模拟预测）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方运算，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握单项式乘以单项式的法则，，，是解题的关键． 【详解】解：A、，结论错误，不符合题意； B、，结论错误，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，结论错误，不符合题意； 故选：C． 46．（2024·广东广州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C．     D． 【答案】D 【分析】根据有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式对各选项进行判断作答即可． 【详解】A中，故不符合要求； B中，故不符合要求； C中，故不符合要求； D中，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式等知识．熟练掌握有理数的减法运算，单项式乘以多项式，积的乘方，平方差公式是解题的关键． 47．（2024·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，利用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简得到原式为，进而把代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 48．（2023·广东广州·一模）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得； （2）由得，代入可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由（1）知， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则． ►题型07整式的除法 49．（2024·广东·模拟预测）若则括号内应填的单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：， 括号内应填的单项式为， 故选：A． 50．（2023·浙江·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 51．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、，原式计算错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 52．（2020·广东江门·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A．（a3）2＝a5 B．a3+a2＝a5 C．（a3﹣a）÷a＝a2 D．a3÷a3＝1 【答案】D 【分析】A、利用幂的乘方法则即可判定；B、利用同类项的定义即可判定；C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定；D、利用同底数的幂的除法法则计算即可． 【详解】解：A、（a3）2＝a6，故错误； B、∵a3和a2不是同类项，∴a3+a2≠a5，故错误； C、（a3﹣a）÷a＝a2-1，故错误； D、a3÷a3＝a0＝1，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、合并同类项、多项式除以单项式、同底数幂的除法等知识，解答是注意按照先关法则进行计算即可. ►题型08 乘法公式的应用 53．（2024·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 54．（2024·广东中山·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，先将原式变形为，再将，代入原式，计算即可． 【详解】解：原式 将，代入原式， 原式， 故答案为：． 55．（2024·广东惠州·三模）先化简再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式等知识．熟练掌握整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式，平方差公式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 56．（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以将，化简； （2）根据（1）中的结果，求出的值，然后与0比较大小，即可得到与的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ； （2）由（1）知：，， ∴ ， ∴． ►题型09 乘法公式的几何验证 57．（2023·广东汕尾·一模）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形如图②，上述操作所能验证的数学恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积 故． 故选：D． 58．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，根据正方形和梯形的面积公式得到这两个图形阴影部分的面积相等，即可得到结论，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：左侧图形阴影部分的面积为：， 右侧图形阴影部分的面积为：． 根据两个图形面积相等得： ， 故验证的等式是， 故选：D． 59．（2023·广东肇庆·二模）装饰公司为小明家设计电视背景墙时需用A、B型板材若干块，A型板材规格是，B型板材规格是．现只能购得规格是的标准板材．（单位：cm） (1)若设．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图．    裁法一 裁法二 裁法三 A型板材块数 1 2 0 B型板材块数 3 m n 则表中， ， ； (2)为了装修的需要，小明家又购买了若干C型板材，其规格是，并做成如图2的背景墙．请写出图中所表示的等式： ； (3)若给定一个二次三项式，试用拼图的方式将其因式分解．（请仿照（2）在几何图形中标上有关数量） 【答案】(1)1；5 (2) (3)图详见解析； 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和几何图形的应用： （1）根据题意，结合图形，即可求解； （2）用正方形的面积公式表示出图形的面积，用各部分面积和表示出图形的面积，进而用等式表示出相等关系便可； （3）仿样例画出长方形，其长为，宽为，结合图形便可得出结果． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，2块A型板材块的长为，， 所以可以裁出B型板1块； 全部裁出B型板材块，， 所以可以裁出B型板5块． 故答案为：1；5； （2）解：根据题意得：大正方形的面积为，也可以表示为 如图2可得等式． 故答案为：； （3）解：按题意画图如下：    ∵构成的长方形面积等于所给图片的面积之和， ∴． 60．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 命题点四 整式化简求值（高频考点） ►题型01 整式加减中的化简求值 61．（2024·广东湛江·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 62．（2024·广东揭阳·一模）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【分析】利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答； 本题考查了整式的混合运算，化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 当时，原式． 63．（2024·广东广州·一模）已知． (1)化简； (2)若，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系； （1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴ ∴ 64．（2023·广东河源·二模）先化简再求值：，其中，． 【答案】，； 【分析】根据多形式乘以多项式的法则及平方差公式即可解答． 【详解】解： ， 当，时 原式； 【点睛】本题考查了多形式乘以多项式的法则，平方差公式，掌握多形式乘以多项式的法则是解题的关键． 命题点五 因式分解 （高频考点） ►题型01 判断因式分解 65．（2024·广东中山·一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，分解不彻底，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 66．（2023·广东佛山·三模）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义依次分析各项即可． 【详解】解：A.     ，是多项式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C. 是因式分解，故该选项正确，符合题意；     D. ，等式的右边不是多项式的积的系数，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 67．（2023·湖南邵阳·一模）下列因式分解正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、符合因式分解的定义，且因式分解正确，故本选项符合题意； C、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； D、，原因式分解错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义及因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义，提公因式法、平方差公式和完全平方公式． 68．（2018·广东佛山·一模）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可． 【详解】解：A、，无法直接分解因式，故此选项错误； B、，无法直接分解因式，故此选项错误； C、，无法直接分解因式，故此选项错误； D、，正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． ►题型02 适当的方法因式分解 69．（2024·广东·模拟预测）在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，根据提公因式法和平方差公式进行因式分解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 70．（2024·广东惠州·模拟预测）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 71．（2023·广东佛山·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 72．（2024·广东揭阳·三模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式与公式法综合因式分解，先提取公因式再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． ►题型03 因式分解的应用 73．（2024·广东阳江·一模）若，则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的乘法法则，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 先把分子用平方差公式因式分解，再约分相乘，最后把已知条件变形为，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故选：D． 74．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简即可； （）由，得，，然后代入求值即可； 本题考查了利用公式法进行因式分解，分式的化简求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）∵， ∴， ∴，， ∴原式． 75．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 76．（22-23八年级上·湖北十堰·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：把代数式因式分解得______；当______时，代数式． 【答案】(1) (2)；1或 【分析】（1）根据题目中给出的方法分解因式即可； （2）先将分解因式得出，根据得出或，求出的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴当或时，， ∴或时，， ∴或时，． 故答案为：；1或． 【点睛】本题主要考查了因式分解，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． 基础巩固 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（       ） A． B．1 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称的坐标特征，代数式求值，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，进而可得的值，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（2024·广东汕头·二模）已知方程，则整式的值为（  ） A．5 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，由，得出，再将变形为，然后整体代入即可求将． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·广东·模拟预测）下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方直接求解即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，选项不符合题意； B、，选项不符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意； 故选：C． 4．（2023·河北邢台·一模）墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减计算， 根据加法与减法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴覆盖的多项式为， 故选D． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 6．（2024·广东江门·一模）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，先利用提公因式法把原式转化为，再把代入计算即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．（2022·安徽淮南·二模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握多项式因式分解的方法是解本题的关键． 8．（2024·广东东莞·三模）干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8 2024年对应的天干为甲，地支为辰， 故2024年为甲辰年， 故选：D． 二：填空题 9．（2023·广东佛山·三模）整式的次数是 ． 【答案】2 【分析】根据多项式次数的定义即可求解． 【详解】解：多项式的次数是5， 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式的次数，多项式中最高次项的次数是多项式的次数，掌握多项式次数的定义是解题的关键． 10．（2023·广东梅州·一模）的展开式中的系数为 ． 【答案】3 【分析】先根据同底数幂相乘法则把变换成，再根据完全平方公式和多项式乘多项式化简即可得出的系数． 【详解】解： ， ∴的系数为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了整式的化简，熟练掌握完全平方公式，同底数幂相乘法则和多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 11．（2024·广东·模拟预测）因式分解∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）已知实数a、b满足，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值． 首先因式分解得到； 然后将已知整体代入化简后的待求式，就能求出结果． 【详解】解： 将代入得： 原式 三：解答题 13．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. （1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据整式的混合运算求解即可. 【详解】解：（1） . （2） . 14．（2024·广东广州·二模）已知 (1)化简T； (2)若a满足，求T的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值： （1）根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，进行计算，再合并同类项即可； （2）根据，求出的值，代入（1）中的结果，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∵， ∴当时，． 15．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a，b互为相反数，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简以及求值，熟练掌握平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的规则是解题的关键． （1）利用平方差公式，单项式乘以多项式规则展开后，合并同类项即可； （2）根据a，b互为相反数，得，代入第（1）问化简的式子即可求解． 【详解】（1） （2） a，b互为相反数， ， ． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A、 与不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意；     B、，故该选项计算错误，不符合题意；     C、 ，故该选项计算错误，不符合题意；             D、，故该选项计算错误，不符合题意．     故选D． 2．（2022·广东梅州·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式右边部分展开，再根据等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式以及等式的性质，注意掌握对应项系数相等是解答本题的关键． 3．（2021·广东深圳·一模）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵（k＋1）2−k2＝（k＋1＋k）（k＋1−k）＝2k＋1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意； ∵（k＋1）2−（k−1）2＝（k＋1＋k−1）（k＋1−k＋1）＝4k， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意， C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a2−b2＝（a＋b）（a−b）是解题的关键． 4．（2018·浙江宁波·中考真题）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为　　    A．2a B．2b C． D． 【答案】B 【详解】【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来. 5．（2014·广东广州·一模）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选D. 6．（2023·安徽滁州·一模）定义一种新运算“积方差”，运算符号用“※”表示，规定：任意两个数，的积方差记为，并且；在混合运算中，括号的作用和四则混合运算相同．现有如下四个结论：①当时，或，②当时，，③方程有两个相等的实数根，④，其中正确的结论为（    ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据新定义得出，然后求解即可判断①；根据新定义得出，然后求解即可判断②；根据新定义得出，然后解方程即可判断③；根据新定义分别计算出，，即可判断④． 【详解】解∶ 当时，， ∴， ∴或， ∴或， 故①正确； 当时，， ∴， ∴， 故②错误； 方程变形为， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故③正确； ∵ ， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，整式的混合运算等知识，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 二、填空题 7．（2024·广东中山·模拟预测） ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（2024·广东梅州·模拟预测）如果那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式乘以多项式的法则把等式右边展开即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴, 故答案为： 9．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：6． 10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． 11．（2023·广东云浮·一模）已知（），则代数式 ． 【答案】6 【分析】先将变形为，再根据得出即，最后对进行因式分解即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式及因式分解，掌握完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键． 三、解答题 12．（2021·广东广州·中考真题）已知 （1）化简A； （2）若，求A的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可； （2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键． 12．（2021·广东江门·一模）小慧在课外阅读时遇到了一个与勾股定理有关的故事：古希腊哲学家柏拉图对勾股定理很有研究，曾得到勾股数的一个结论：如果m表示大于1的整数，则，，构成勾股数，你能证明柏拉图这个结论吗？并利用这个结论写出两组勾股数．（勾股数定义：若三角形三边长a、b、c都是正整数，且满足，那么a、b、c称为一组勾股数） 【答案】证明见解析；，答案不唯一． 【分析】根据题设条件，证明即可得到答案． 【详解】证明： ∴2m，，构成勾股数． 答案不唯一，符合条件的两组数都行，如，，特别要留意数字较大的答案． 【点睛】本题属于数学文化类的题目，解题的关键是正确理解题意． 14．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 15．（23-24七年级上·四川成都·期末）（1）若关于的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：∵， 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： i）如图，点是线段上的一点，分别以为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为40，则的面积为______； ii）若，求的值． 【答案】（1）6；（2）（i）6（ii）5 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景： （1）将原多项式去括号、合并同类项，令项的系数为0，求出m的值即可； （2）（i）分别设正方形和的边长分别为未知数，得到二者之和、二者平方之和，从而得到二者之积，进而可求得的面积；（ii）分别用字母表示和，从而得到二者之和、二者之积，计算二者平方之和即可． 【详解】解：（1） ， ∵不含有项， ∴， ∴， 故答案为：6． （2）（i）设正方形和的边长分别为a和b，则的面积为； 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． （ii）令，，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． $$