第03讲 分式（3考点+13题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第一章 数与式 第03讲 分式（3~6分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 考点二 分式的基本性质 考点三 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 题型01 分式的判断 及其有无意义的条件 题型02 分式为0时的条件 题型03 分式求值 题型04 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 题型05 约分与最简分式 题型06 最简公分母 命题点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 命题点三 分式的运算 题型01 分式的加减法 题型02 分式的乘除法 题型03 分式的混合运算 题型04 负整数、零指数幂运算 题型05 分式的化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. 10年7考 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 10年10考 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 10年8考 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. ( 1 . 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母， 不能把原式化简后再判断 ，例如： 就是分式 . 2 . 分式的值为0，必须保证 分母≠0 ，否则分式无意义. 3 . 约分是对分子、分母同时进行的，即 分子的整体 和 分母的整体 都除以同一个因式， 约分要彻底，使分子、分母没有公因式 ， 而且 约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是 找出分子和分母的公因式 ，通分的关键是确定 几个分式的最简公分母 ． ) 考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. ( 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件： 同乘（或除以）一个不等于 0 的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于 0 . ) 考点三 分式的运算 ( 1. 异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2. 整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为 1 的分式． 3. 分式与分式相乘 , ① 若分子、分母是单项式 , 则先将分子、分母分别相乘 , 然后约去公因式 , 化为最简分式或整式 ; ② 若分子、分母是多项式 , 则先把分子、分母分解因式 , 看能否约分 , 再相乘 . 4. 当分式与整式相乘时 , 要把整式与分子相乘作为积的分子 , 分母不变 . 5. 乘方时 , 一定要把分式加上括号 , 并且一定要把分子、分母分别乘方 . 6. 分式乘方时 , 确定乘方结果的符号与有理数乘方相同 , 即： ① 正分式的任何次幂都为正 ; ② 负分式的偶次幂为正 , 奇次幂为负 . 7. 分式乘方时 , 分式的分子或分母是多项式时 , 应把分子、分母分别看作一个整体 . 如： 8. 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． ) 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 及其有无意义的条件 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ） A． B． C． D．≤-1 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． ►题型02 分式为0时的条件 5．（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（    ） A．0 B． C．2 D． 6．（2021·广东佛山·三模）使式子的值为零的x的值为（　　） A．3或1 B．﹣3或﹣1 C．1 D．3 7．（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ． 8．（2021·广东惠州·三模）若分式的值为0，则x的值为 ． ►题型03 分式求值 9．（2023·广东·模拟预测）若，其中a，b都不为零，则的值是（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．1 10．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 11．（2022·广东中山·一模）实数m满足，且，那么 ． 12．（2022·广东深圳·一模）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： (1)43xy·47xy＝； (2)求的值． ►题型04 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 13．（2021·四川南充·一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 14．（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． 15．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 16．（2022·广东佛山·三模）（1）化简： （2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由． ►题型05 约分与最简分式 17．（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 18．（22-23八年级上·山东德州·期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 19．（2022·广东珠海·三模）化简： ． 20．（2019·广东广州·一模）计算的结果为 ． ►题型06 最简公分母 21．（2021·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 22．（2021·河北唐山·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 23．（2018·广东中山·一模）分式与的最简公分母是 ． 24．（2020·江苏无锡·二模）分式与 的最简公分母是 ． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 25．（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 27．（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 28．（2023·河北唐山·二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 29．（2021·广东阳江·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 30．（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍故选：D． 31．（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 32．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如果把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的号 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的加减法 33．（2024·广东·模拟预测）化简： 的结果为（    ） A．1 B．a C． D． 34．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（     ） A． B． C．0 D．1 35．（2024·广东肇庆·一模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·河南南阳）分式可化简为（　　） A． B．1 C． D． ►题型02 分式的乘除法 37．（2017·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（2024·山东济南·二模）代数式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 39．（2024·河北唐山·二模）下列有关分式的运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（2023·河北沧州·模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ ►题型03 分式的混合运算 41．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 42．（2023·广东佛山·模拟预测）分式化简： ． 43．（2021·广东江门·一模）化简的结果是 ． 44．（2019·广东揭阳·一模）化简： ． ►题型04 负整数、零指数幂运算 45．（2021·广东肇庆·一模） ． 46．（2024·广东东莞·一模）计算： ． 47．（2023·广东佛山·三模）计算： ． 48．（2023·广东江门·二模）计算 ． ►题型05 分式的化简求值 49．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中． 50．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 51．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 52．（2024·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中； 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东珠海·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东阳江·一模）若，则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2023·广东佛山·一模）已知，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·广东珠海·三模）化简 ． 6．（2024·宁夏·一模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 三、解答题 7．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 8．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 9．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 10．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 能力提升 一：单选题 1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广东珠海·模拟预测）若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 3．（2021·广东广州·一模）若分式的值为0，则x的值为（   　） A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定 4．（2019·广东佛山·二模）计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2020·广东广州·二模）下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 二：填空题 6（2019·广东中山·一模）已知 ，则 ． 7．（2022·广东广州·三模）把代数式分解因式，结果正确的是 ；若分式的值为零，则x的值为 ；若代数式可化为，则的值是 ． 8．（2022·甘肃平凉·模拟预测）已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 三：解答题 9．（2024·广东广州·二模）已知)． (1)化简P； (2)如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于a，求P的值． 10．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 11．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值． 12．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 13．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第03讲 分式（3~6分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 考点二 分式的基本性质 考点三 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的相关概念 题型01 分式的判断 及其有无意义的条件 题型02 分式为0时的条件 题型03 分式求值 题型04 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 题型05 约分与最简分式 题型06 最简公分母 命题点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 命题点三 分式的运算 题型01 分式的加减法 题型02 分式的乘除法 题型03 分式的混合运算 题型04 负整数、零指数幂运算 题型05 分式的化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. 10年7考 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 10年10考 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 10年8考 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. ( 1 . 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母， 不能把原式化简后再判断 ，例如： 就是分式 . 2 . 分式的值为0，必须保证 分母≠0 ，否则分式无意义. 3 . 约分是对分子、分母同时进行的，即 分子的整体 和 分母的整体 都除以同一个因式， 约分要彻底，使分子、分母没有公因式 ， 而且 约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是 找出分子和分母的公因式 ，通分的关键是确定 几个分式的 最 简公分母 ． ) 考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. ( 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件： 同乘（或除以）一个不等于 0 的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于 0 . ) 考点三 分式的运算 ( 1. 异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的 最 简公分母． 2 . 整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为 1 的分式． 3. 分式与分式相乘 , ① 若分子、分母是单项式 , 则先将分子、分母分别相乘 , 然后约去公因式 , 化为最简分式或整式 ; ② 若分子、分母是多项式 , 则先把分子、分母分解因式 , 看能否约分 , 再相乘 . 4. 当分式与整式相乘时 , 要把整式与分子相乘作为积的分子 , 分母不变 . 5. 乘方时 , 一定要把分式加上括号 , 并且一定要把分子、分母分别乘方 . 6. 分式乘方时 , 确定乘方结果的符号与有理数乘方相同 , 即： ① 正分式的任何次 幂 都为正 ; ② 负分式的偶次 幂 为正 , 奇次 幂 为负 . 7. 分式乘方时 , 分式的分子或分母是多项式时 , 应把分子、分母分别看作一个整体 . 如： 8. 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． ) 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式的判断 及其有无意义的条件 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（   ） A． B． C． D．≤-1 【答案】B 【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． ►题型02 分式为0时的条件 5．（2024·广东佛山·三模）若分式的值为0，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据题意得出，且，进行求解即可． 【详解】解：， ，且， ， 故选：C． 6．（2021·广东佛山·三模）使式子的值为零的x的值为（　　） A．3或1 B．﹣3或﹣1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件必须同时具备． 【详解】由题意可得， 由，则， 或， 由，则， 综上，． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分母不为0这个条件是解题的关键． 7．（2024·广东惠州·二模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ∴且． 解得：． 故答案为：． 8．（2021·广东惠州·三模）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的值为0列出一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴2x﹣3＝0且x+1≠0， ∴x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为0.理解分式的值为0的条件是解答关键. ►题型03 分式求值 9．（2023·广东·模拟预测）若，其中a，b都不为零，则的值是（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可先将已知的式子变形为，，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∵a，b都不为零， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形和分式的求值，灵活应用整体思想是关键. 10．（2024·广东·二模）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子因式分解，再约分化简，代入数据即可求解． 【详解】解： ； 当，时，原式． 故答案为：1． 11．（2022·广东中山·一模）实数m满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】由题意易得且，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵实数m满足，且， ∴且， 当时，则有：， 当时，则有：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式的值，解题的关键是得到m的范围及分类讨论思想． 12．（2022·广东深圳·一模）若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则： (1)43xy·47xy＝； (2)求的值． 【答案】(1)2021 (2)的值为1 【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算； （2）由（1）知43xy•47xy=2021（x+y），43xy•47xy=（43×47）xy=2021xy，得出xy=x+y即可求． 【详解】（1）解：43xy•47xy=（43x）y•（47y）x=2021y×2021x=2021x+y， 故答案为：2021； （2）解：由（1）知，43xy·47xy＝2 021x＋y， ∵43xy·47xy＝(43×47)xy＝2 021xy， ∴xy＝x＋y， ∴ 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键． ►题型04 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围 13．（2021·四川南充·一模）若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立， ∴x＞， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数． 14．（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． 【答案】，1，2，4，5，7 【分析】根据因式分解，可得最简分式，根据分式的值是整数，可得分母能被分子整除，可得答案． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴或或， 解得：，，，，，， 故答案为，1，2，4，5，7． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，根据分式的值的情况求解参数等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 15．（2024·吉林·中考真题）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 16．（2022·广东佛山·三模）（1）化简： （2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数；理由见解析； 【分析】（1）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分； （2）由（1）化简结果，代入整数验证即可； 【详解】解：（1）原式= ==； （2）有，x=-3， 由的值为整数，可得分母是1或-1且x符合取值范围， 当x=-3时，=1， ∴当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键． ►题型05 约分与最简分式 17．（2024·广东深圳·三模）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的约分，根据平方差公式和完全平方公式，可得，即可求得答案． 【详解】 故选：A 18．（22-23八年级上·山东德州·期末）下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据最简分式的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意． B、是最简分式．该选项符合题意． C、，该选项不符合题意． D、，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式的识别，熟记定义：“一个分式的分子与分母，除1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式”是解本题的关键． 19．（2022·广东珠海·三模）化简： ． 【答案】/ 【分析】先将分子因式分解，再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式化简的方法． 20．（2019·广东广州·一模）计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】分子分母约去公因式即可． 【详解】 故答案为1 【点睛】本题考查了分式的约分，当分子、分母是多项式时，首先要把分子分母分解因式． ►题型06 最简公分母 21．（2021·广东广州·二模）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 22．（2021·河北唐山·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解． 【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数， ∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式， ∴公分母为： ． 故选择：A． 【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键． 23．（2018·广东中山·一模）分式与的最简公分母是 ． 【答案】3a2b 【分析】利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可． 【详解】分式与的最简公分母是3a2b．故答案为3a2b． 【点睛】本题考查最简公分母，解题的关键是掌握求最简公分母的方法. 24．（2020·江苏无锡·二模）分式与 的最简公分母是 ． 【答案】9a2b2c 【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】因为三个分式中的常数项系数的最小公倍数是9，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1, 所以三个分式的最简公分母是9a2b2c． 故答案为：9a2b2c． 【点睛】此题考查最简公分母的定义，解题关键在于掌握取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 利用分式的基本性质进行变形 25．（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答． 【详解】解：，故A正确； 与不一定相等，故B错误； 与不一定相等，故C错误； 当时，，故D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键． 26．（2024·贵州黔东南·二模）下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形正确，不符合题意； C、，原式变形错误，符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 27．（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选B． 28．（2023·河北唐山·二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质分别计算判断即可． 【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意． C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． ►题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 29．（2021·广东阳江·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得： 化简后的结果和原式相同， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 30．（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， ∴分式的值扩大1000倍， 故选：D． 31．（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键． 把分式中的换成换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：中的都扩大3倍，得出， 那么分式的值扩大3倍， 故选：B． 32．（2023·海南省直辖县级单位·三模）如果把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的号 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】C 【分析】此题考查了分式变形的判断，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】把分式中x和y的值都扩大为原来的3倍得， ∴分式的值扩大为原来的3倍． 故选：C． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的加减法 33．（2024·广东·模拟预测）化简： 的结果为（    ） A．1 B．a C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算．将原式转化为同分母分式相加，再利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，然后约分即可． 【详解】解： ． 故选：C． 34．（2024·广东肇庆·二模）计算的结果为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．根据题意，分母相同，分子直接运算再约分即可． 【详解】解： 故选：D． 35．（2024·广东肇庆·一模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握同分母分式加减法的运算法则是解题关键．根据同分母分式加减法，分母不变，分子相加减即可． 【详解】解：， 故选：A 36．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）分式可化简为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简，根据分式性质变形，加减即可得到答案； 【详解】解：原式， 故选：B． ►题型02 分式的乘除法 37．（2017·广东广州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 38．（2024·山东济南·二模）代数式化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把分子、分母分解因式，然后约分即可解答．本题考查了分式方程的乘除法，公式法分解因式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：． 39．（2024·河北唐山·二模）下列有关分式的运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的运算，根据分式的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 40．（2023·河北沧州·模拟预测）分式运算的结果是，则□处的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据分式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键． ►题型03 分式的混合运算 41．（2024·湖北武汉·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，先通分括号，再运算除法，然后化简即可作答． 【详解】解： 故答案为： 42．（2023·广东佛山·模拟预测）分式化简： ． 【答案】 【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 43．（2021·广东江门·一模）化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】解：原式= = =b－2a 故答案为：b－2a． 【点睛】本题考查分式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 44．（2019·广东揭阳·一模）化简： ． 【答案】x 【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题． 【详解】解： ＝x， 故答案为x． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． ►题型04 负整数、零指数幂运算 45．（2021·广东肇庆·一模） ． 【答案】-1； 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 46．（2024·广东东莞·一模）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂和零指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 47．（2023·广东佛山·三模）计算： ． 【答案】 【分析】根据负整指数幂和零指数幂求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂，正确的计算是解决本题的关键． 48．（2023·广东江门·二模）计算 ． 【答案】 【分析】任何非零实数的零指数幂都等于1，结合负整数指数幂和特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题型，牢记特殊角的三角函数值，熟练掌握基本知识是解题关键． ►题型05 分式的化简求值 49．（2024·广东肇庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的基本性质和减法法则． 根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ． 当时，原式． 50．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 当 时， 51．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 52．（2024·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中； 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将除法化为乘法，然后计算乘法，最后再通分计算减法，最后代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式 基础巩固 一、单选题 1．（2024·广东珠海·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·广东阳江·一模）若，则的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的乘法法则，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 先把分子用平方差公式因式分解，再约分相乘，最后把已知条件变形为，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 故选：D． 3．（2023·广东佛山·一模）已知，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法和不等式的性质逐项求解判断即可． 【详解】解：A、， ∵，∴， 当即时，，则，故A选项计算错误，不符合题意； B、， ∵，∴，， ∴，则，故B选项正确，符合题意； C、当时，和无意义，故C选项错误，不符合题意； D、当时，同选项A不一定成立，故选项D错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质、分式的加减运算，解答的关键是利用作差法比较式子的大小关系． 4．（2022·广东深圳·二模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先因式分解，再把除法转化为乘法计算即可． 【详解】解： = =， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除计算，解题的关键是除法转化为乘法． 二、填空题 5．（2024·广东珠海·三模）化简 ． 【答案】1 【分析】根据同分母分式的加减法法则计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】， 故答案为：1． 6．（2024·宁夏·一模）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到且，进行求解即可． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 故答案为：且． 三、解答题 7．（2024·广东揭阳·模拟预测）计算与化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先算括号内的减法，再算除法即可． 【详解】解：， = 8．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 【答案】(1)，当时， (2)画图见详解；是 【分析】本题考查了分式的化简求值，画一次函数的图象以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和一次函数的性质． （1）根据分式加减法和乘法化简，再根据分式有意义和选值代入求解即可； （2）画出一次函数图象，根据图象判断即可 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，； （2）解：令，则，令，则，令，则，令，则， 令，则，故图象经过和， ∵且， ∴点不在图象上， 故的图象如图： 根据图象可得，的图象经过第二象限． 10．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值： 其中． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解： 原式 …… 乙同学 ¹ 解： 原式 …… (1)甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)， 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的基本性质，以及乘法分配律，即可解答； （2）若选择甲同学的解法，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法，利用乘法分配律进行计算，即可解答，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； 当时，原式． 能力提升 一：单选题 1．（2022·广东深圳·模拟预测）如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出m和的差，根据m的取值范围确定m和的大小关系和正负，再根据不等式的性质确定和的大小关系和正负，即可得出这四个数的大小关系． 【详解】解：． ∵是一个不等于的负整数， ∴m<0，m+1<0，，． ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 2．（2022·广东珠海·模拟预测）若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分母不为的原则可知为奇数，即可求得、、的值，分别代入即可求得其值． 【详解】解：根据分母不为的原则可知为奇数，， 、互为相反数，、互为倒数， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的定义，有理数的乘方运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的关系是解决本题的关键． 3．（2021·广东广州·一模）若分式的值为0，则x的值为（   　） A．-5 B．5 C．-5和5 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0列方程或不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴=0且≠0， 解方程得，； 解不等式得，； 故， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为0和解一元二次方程，解题关键是根据已知列出方程和不等式，准确求解． 4．（2019·广东佛山·二模）计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据0指数幂、同底数幂除法、乘法、积的乘方及幂的乘方的运算法则逐一计算即可得答案. 【详解】A.(-2019)0=1，故该选项计算错误，不符合题意， B.x4，故该选项计算错误，不符合题意， C.a8b12，故该选项计算错误，不符合题意， D.，计算正确，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查0指数幂、同底数幂除法、乘法、积的乘方、幂的乘方，任何非0实数的0次幂都等于1；同底数幂相乘底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，把各个因式分别乘方；熟练掌握运算法则是解题关键. 5．（2020·广东广州·二模）下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负整数指数幂的运算逐一化简计算即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意； B. ，计算错误，不合题意； C. ，计算错误，不合题意； D. ，计算错误，不合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了正数负指数幂的意义，牢记“（p为正整数）”是解题关键． 二：填空题 6（2019·广东中山·一模）已知 ，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查分式的运算，根据完全平方公式的变形运用，即可求得值． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2022·广东广州·三模）把代数式分解因式，结果正确的是 ；若分式的值为零，则x的值为 ；若代数式可化为，则的值是 ． 【答案】 无解 5 【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可； （2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可； （3）根据求出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴的值不可能等于0， ∴没有x的值能使分式的值为零； （3）∵， 又∵代数式可化为， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：（1）；（2）无解；（3）5． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式值为零的条件，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，使分式的值为零的条件，是解题的关键． 8．（2022·甘肃平凉·模拟预测）已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 【答案】 【分析】化简前几个数，得到an以三个数为一组，不断循环，因为2022÷3=674，所以a2021=a3，再代数求值即可． 【详解】解：a1=a1， ， ， ， ∴an以三个数为一组，不断循环， ∵2022÷3=674， ∴a2021=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键． 三：解答题 9．（2024·广东广州·二模）已知)． (1)化简P； (2)如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长等于a，求P的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的化简求值及线段垂直平分线的性质，熟练掌握运算法则及线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）先计算括号，再计算乘除即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再求出的周长为12得出，代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长为：， ∴， ∴． 10．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 11．（2024·广东广州·一模）已知．化简；若点是抛物线上的一点，求的值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键．先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A；再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 【详解】解： ； ∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 12．（2024·广东广州·二模）已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简即可； （）由，得，，然后代入求值即可； 本题考查了利用公式法进行因式分解，分式的化简求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）∵， ∴， ∴，， ∴原式． 13．（2024·广东江门·三模）下面是小明进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通分，通分的依据是（    ） A．分式的基本性质    B．等式的性质    C．乘法分配律 ②第 步开始出现错误，错误的原因是： 任务二：直接写出该分式化简后的正确结果： 【答案】任务一：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变；任务二： 【分析】本题考查了分式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． （1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号规则即可作出判断； （2）根据分式的混合运算法则解答即可 【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是：分式的基本性质； ②第三步开始出现错误，错误的原因是：去括号时运算符号未改变； 故答案为：①一，A； ②三，去括号时运算符号未改变 任务二： 故答案为： $$