第06讲 一元二次方程及其应用（讲练）（思维导图+5考点+2命题点10种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程及其应用（6~15分） （思维导图+5考点+2命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的定义 考点二 一元二次方程的解 考点三 一元二次方程的解法 考点四 根的判别式 考点五 一元二次方程实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 配方法 ►题型02 因式分解法 ►题型03 整体代入 ►题型04 根与系数关系 ►题型05 一元二次方程定义新运算 命题点二 一元二次方程的应用题 ►题型01 传播问题 ►题型02 增长率播问题 ►题型03 销售利润 ►题型04 几何图形（篱笆） ►题型05 几何图形（道路） 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一元二次方程的相关概念 · 理解一元二次方程的相关概念. 2024省卷13题， 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解法 · 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； · 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根与系数的关系 · 了解一元二次方程的根与系数的关系. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 考点一 一元二次方程的定义 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 【例1】．（2023·山东青岛·一模）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．（2023·山东淄博·二模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2022·山东德州·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2023·山东青岛·二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 考点二 一元二次方程的解 【例2】．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【变式2-1】．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【变式2-2】．（2024·山东济南·模拟预测）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 【变式2-3】．（2024·山东济南·模拟预测）已知是方程的一个根，则 ． 考点三 一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 【例3】．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【变式3-2】．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【变式3-3】．（2022·山东青岛·二模）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 考点四 根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 【例4】．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式4-2】（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式4-3】（2021·山东淄博·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 考点五 一元二次方程实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 【例5】．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【变式5-1】（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 【变式5-2】（2021·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 米． 【变式5-3】（2024·山东济南·模拟预测）随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．如果第二批、第三批受益学生人次的增长率相同，则这个增长率为 ． 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 配方法 【例1】．（2024·山东临沂·三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 【变式1-1】（2023·山东青岛·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【变式1-2】（2023·山东聊城·一模）将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ． 【变式1-3】（2021·山东聊城·一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则 ． ►题型02 因式分解法 【例2】．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ． 【变式2-1】（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为 ． 【变式2-2】（2023·山东济宁·三模）方程 的根是 ． 【变式2-3】（2022·山东淄博·一模）方程的解是 ． ►题型03 整体代入 【例3】．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【变式3-1】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【变式3-2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【变式3-3】（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ． ►题型04 根与系数的关系 【例4】．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ． 【变式4-1】（2023·山东德州·一模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式4-2】（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ． 【变式4-3】（2024·山东日照·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ； ►题型05 一元二次方程定义新运算 【例5】．（2024·山东临沂·一模）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ． 【变式5-1】（2021·山东临沂·二模）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 【变式5-2】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【变式5-3】（2023·山东淄博·二模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是 ． 命题点二 一元二次方程的应用题 ►题型01 传播问题 【例1】．（2022·山东济宁·一模）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人． 【变式1-1】（2021·山东日照·二模）有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为 ． 【变式1-2】（2022·山东淄博·一模）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【变式1-3】（2023·山东临沂·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ． ►题型02 增长率问题 【例2】．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【变式2-1】（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【变式2-2】（2021·山东东营·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【变式2-3】（2023·山东菏泽·二模）为进一步发展基础教育，自2020年以来，我市加大了教育经费的投入．某县2020年投入教育经费万元，2022年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． ►题型03 销售利润 【例3】．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【变式3-1】（2021·山东烟台·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【变式3-2】（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【变式3-3】（2023·山东济南·模拟预测）康乃馨被称做母亲之花，它代表着爱与尊敬，象征着母爱，“母亲节”来临，某鲜花店以元购进了一批康乃馨，起先出售时，按每束进价增加作为售价，售出束后，又以每束低于进价元作为售价，售完余下的康乃馨，全部售完后共盈利元． (1)求销售的总利润率； (2)求康乃馨每束进价是多少元？ ►题型04 几何图形（篱笆） 【例4】．（2024·山东滨州·一模）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门． (1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ (2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？ 【变式4-1】（2023·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米． (1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽． (2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少? (3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润． 【变式4-2】（2022·山东德州·二模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． (1)写出关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)当该矩形菜园的面积为．求边的长； (3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式4-3】（2022·山东日照·二模）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． ►题型05 几何图形（道路） 【例5】．（2022·山东淄博·一模）如图，某小区规划在长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽？    【变式5-1】（2022·山东济南·二模）列方程解应用题：如图，某花园小区，准备在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的人行小路（两条小路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，求要修建的小路宽为多少米？ 【变式5-2】（2023·山东临沂·二模）如图①，某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000，施工队在绿化了11000后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ （2）该项绿化工程中有一块长为20、宽为8的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图②所示），则人行通道的宽度是多少米？    【变式5-3】（2021·山东德州·二模）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 3．若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个 4．今年是新中国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英雄铁军，燃不尽的奋勇志气，第一天当日票房约为1亿元，如果每天票房按相同的增长率增长，第三天当日票房约为2亿元，方程可以列为（   ） A． B． C． D． 5．已知，分别是方程的两根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 二、填空题 7．一元二次方程的根是 ． 8．已知关于的方程的两根为和，则 ； 9．若是关于x的一元二次方程，则a 10．一元二次方程的两根分别是，则 ． 三、解答题 11．解方程：． 12．解方程：． 13．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 14．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 15．某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出辆汽车，则该辆汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返还万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为____万元； (2)如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润返利） 能力提升 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 3．若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个 4．今年是新中国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英雄铁军，燃不尽的奋勇志气，第一天当日票房约为1亿元，如果每天票房按相同的增长率增长，第三天当日票房约为2亿元，方程可以列为（   ） A． B． C． D． 5．已知，分别是方程的两根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 二、填空题 7．一元二次方程的根是 ． 8．已知关于的方程的两根为和，则 ； 9．若是关于x的一元二次方程，则a 10．一元二次方程的两根分别是，则 ． 三、解答题 11．解方程：． 12．解方程：． 13．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 14．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 15．某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出辆汽车，则该辆汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返还万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为____万元； (2)如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润返利） $$第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 一元二次方程及其应用（6~15分） （思维导图+5考点+2命题点15种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 一元二次方程的定义 考点二 一元二次方程的解 考点三 一元二次方程的解法 考点四 根的判别式 考点五 一元二次方程实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 配方法 ►题型02 因式分解法 ►题型03 整体代入 ►题型04 根与系数关系 ►题型05 一元二次方程定义新运算 命题点二 一元二次方程的应用题 ►题型01 传播问题 ►题型02 增长率播问题 ►题型03 销售利润 ►题型04 几何图形（篱笆） ►题型05 几何图形（道路） 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 一元二次方程的相关概念 · 理解一元二次方程的相关概念. 2024省卷13题， 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右. 预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解法 · 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； · 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根与系数的关系 · 了解一元二次方程的根与系数的关系. 一元二次方程的应用 · 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 如果明确了是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件（当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）. 2. 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2. 3. 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断. 4. 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的.所以在确定一元二次方程各项的系数时,应先将方程化为一般形式. 5. 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 考点一 一元二次方程的定义 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 【例1】．（2023·山东青岛·一模）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：、是分式方程，故不合题意； 、时，是一元一次方程，故不合题意； 、，整理得：，是一元二次方程，故正确； 、是二元二次方程，故不合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【变式1-1】．（2023·山东淄博·二模）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得，， 故选：A． 【变式1-2】．（2022·山东德州·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的三个要素：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是．据此判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故此选项符合题意； B．该方程未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】．（2023·山东青岛·二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得出，再求出即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 考点二 一元二次方程的解 【例2】．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 【变式2-1】．（2021·山东济南·中考真题）关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】-3 【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根． 【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得： ，解得：， ∴原方程为， 解方程得：， ∴方程的另一个根为-3； 故答案为-3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键． 【变式2-2】．（2024·山东济南·模拟预测）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，以及因式分解法解一元二次方程，把代入求出m的值，然后再用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：把代入 得： 解得：， ∴方程为， 即， ∴，， 故它的另一个根是6， 故答案为：6． 【变式2-3】．（2024·山东济南·模拟预测）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得，解得． 故答案为：． 考点三 一元二次方程的解法 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择： 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 【例3】．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 【变式3-1】．（2023·山东临沂·模拟预测）一元二次方程 的根是（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式3-2】．（2024·山东德州·二模）方程配方后可化成的形式，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式3-3】．（2022·山东青岛·二模）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得 ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴，． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 分别利用解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙的解法错误，移项时未变号解法错误， 丙就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以的值错误；； 丁利用解一元二次方程-配方法，计算正确； 故选：D． 考点四 根的判别式 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 【例4】．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意． 【详解】解：由题意得， 解得：且， 故选：D． 【变式4-2】（2021·山东泰安·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 【变式4-3】（2021·山东淄博·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则应满足（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，根据题意得到，即可求出答案，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ ∴且 故选：B． 考点五 一元二次方程实际应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 【例5】．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 【变式5-1】（2022·山东济南·中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是 ． 【答案】16 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键． 【变式5-2】（2021·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为 米． 【答案】1 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得： （10﹣x）（15﹣x）＝126， 解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去）， 则道路的宽应为1米； 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【变式5-3】（2024·山东济南·模拟预测）随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．如果第二批、第三批受益学生人次的增长率相同，则这个增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率模型是解题关键．设增长率为x，根据“第一批受益学生10人次，第三批受益学生14.4人次”可列方程求解． 【详解】解：设增长率为x， 根据题意，得， 解得（舍去），． ∴增长率为． 故答案为：． 1. 如果方程x2+px+q＝0的两个根为x1,x2，+＝， ＝. 2. 以两个数x1,x2x2 -（+）x+＝0. 3. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定 a、b、c的值. 4. 一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 一元二次方程的解法 ►题型01 配方法 【例1】．（2024·山东临沂·三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 【答案】48 【分析】本题考查配方法、代数式求值，根据题意得，即，进而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程经过配方，变形为的形式， ∴， ∴， ∴，配方得，， ∴， ∴， 故答案为：48． 【变式1-1】（2023·山东青岛·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】对用配方法处理化为的形式即可． 【详解】解：进行移项得， 二次项系数化为1得， 配成完全平方式得，即， 因为用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式， 所以，，则； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的配方法等知识，灵活掌握一元二次方程的配方法过程是解题的关键． 【变式1-2】（2023·山东聊城·一模）将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝ ． 【答案】 【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 则， 故， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式1-3】（2021·山东聊城·一模）用配方法解方程，将方程变为的形式，则 ． 【答案】1 【分析】先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：3x2-6x+2=0， ，即 m=1． 故填1． ►题型02 因式分解法 【例2】．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 【变式2-1】（2020·山东威海·中考真题）一元二次方程的解为 ． 【答案】x=或x=2 【分析】根据一元二次方程的解法解出答案即可． 【详解】 当x－2=0时,x=2, 当x－2≠0时,4x=1,x=, 故答案为:x=或x=2． 【点睛】本题考查解一元二次方程,本题关键在于分情况讨论． 【变式2-2】（2023·山东济宁·三模）方程 的根是 ． 【答案】， 【分析】才用因式分解法即可求解． 【详解】解： ∴或 , ∴，． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可． 【变式2-3】（2022·山东淄博·一模）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． ►题型03 整体代入 【例3】．（2023·山东枣庄·中考真题）若是关x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 【变式3-1】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 【变式3-2】（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 【变式3-3】（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型04 根与系数的关系 【例4】．（2022·山东日照·中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m= ． 【答案】/-0.125 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可． 【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=， ∵x12+x22=， ∴（x1+x2）2-2x1x2=， ∴4m2-m=， ∴m1=-，m2=， ∵Δ=16m2-8m＞0， ∴m＞或m＜0时， ∴m=不合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 【变式4-1】（2023·山东德州·一模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4049 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得 ． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 【变式4-2】（2024·山东日照·一模）已知关于的一元二次方程 ，若该方程的两个实数根分别为 ，且 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先利用根与系数的关系得到，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：由根与系数的关系得到， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（2024·山东日照·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ； 【答案】9 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，，根据计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 且， ， ， 故原式， 故答案为：． ►题型05 一元二次方程定义新运算 【例5】．（2024·山东临沂·一模）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ． 【答案】1或0 【分析】此题主要考查了实数的比较大小，以及解一元二次方程-直接开平方法，关键是正确理解题意． 首先理解题意，进而可得时分情况讨论，当时，时和时，进而可得答案． 【详解】解：∵， 当时，不可能得出最大值为1， 当时，则， 当时，则， 解得：(不合题意，舍去)，， 则综上所述：的值为1或0． 故答案为：1或0． 【变式5-1】（2021·山东临沂·二模）定义一种新运算：对于任意非零实数，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题关键． 【变式5-2】（2024·山东聊城·二模）对于实数，，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】根据新定义，分类计算即可． 本题考查了新定义运算，正确理解运算是解题的关键． 【详解】当时， 变形得， 整理，得， 解得（舍去）． 当时， 变形得， 解得（舍去）． 故答案为：3． 【变式5-3】（2023·山东淄博·二模）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且，即且，解出k的解集即可． 【详解】由新定义的运算法则可得出：． ∵， ∴． ∵该方程有两个实数根， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 命题点二 一元二次方程的应用题 ►题型01 传播问题 【例1】．（2022·山东济宁·一模）2021年3月25日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了 人． 【答案】12 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染后有x人被传染，第二轮传染后有x（1+x）人被传染， 依题意得：1+x+x（1+x）=169， 解得：x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均每个人传染了12人． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式1-1】（2021·山东日照·二模）有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了x个人，经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为192人，依此列出二次方程即可. 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题可得： ， 故答案为：． 【变式1-2】（2022·山东淄博·一模）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】10 【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意，得：， 解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法． 【变式1-3】（2023·山东临沂·一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ． 【答案】9 【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程． 【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）． ∴． 故答案为：9． ►题型02 增长率问题 【例2】．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【变式2-1】（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【答案】（1）10%；（2）6件 【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价． 【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x， 60（1-x）2=48.6， 解得x1=0.1，x2=1.9（舍去）， 答：该商品每次降价的百分率是10%； （2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件， 由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200， 解得a≥， ∵a为整数， ∴a的最小值是6， 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型． 【变式2-2】（2021·山东东营·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们的目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 【变式2-3】（2023·山东菏泽·二模）为进一步发展基础教育，自2020年以来，我市加大了教育经费的投入．某县2020年投入教育经费万元，2022年投入教育经费万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】该县投入教育经费的年平均增长率为． 【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设该县投入教育经费的年平均增长率为，根据题意得： 解得： 经检验，符合题意，不符合题意，舍去 答： 该县投入教育经费的年平均增长率为． ►题型03 销售利润 【例3】．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【变式3-1】（2021·山东烟台·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 【变式3-2】（2021·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-3】（2023·山东济南·模拟预测）康乃馨被称做母亲之花，它代表着爱与尊敬，象征着母爱，“母亲节”来临，某鲜花店以元购进了一批康乃馨，起先出售时，按每束进价增加作为售价，售出束后，又以每束低于进价元作为售价，售完余下的康乃馨，全部售完后共盈利元． (1)求销售的总利润率； (2)求康乃馨每束进价是多少元？ 【答案】(1) (2)康乃馨每束进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由利润率利润成本，列式计算即可； （2）设康乃馨每束进价是元，根据某鲜花店以元购进了一批康乃馨，全部售完后共盈利元．列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， 答：销售的总利润率为； （2）解：设康乃馨每束进价是元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：康乃馨每束进价是元． ►题型04 几何图形（篱笆） 【例4】．（2024·山东滨州·一模）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门． (1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ (2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？ 【答案】(1)所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 (2)长为，宽为，面积最大， 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用、矩形的面积公式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为，则平行于墙的边长为，由矩形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由矩形面积公式列出二次函数，再由二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 所围矩形猪舍的长为、宽为， 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为； （2）解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，面积为 由题意得： ， ∵ ∴开口向下，越靠近对称轴的数所对应的函数值越大， 当，此时 ∴不符合题意，则 解得 ∴把代入 得出 即长为，宽为，面积最大，且为 【变式4-1】（2023·山东德州·模拟预测）用一段长为的50米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长25米． (1)如图1，当菜园面积为300平方米时，求矩形菜园的长和宽． (2)如图2，若菜园中间用一道篱笆隔开，这个菜园的长和宽各为多少时，面积最大，最大面积是多少? (3)在（2）的条件下，农户准备种植A，B两种蔬菜，每平方米分别投入6元，8元．经计算，种植A种蔬菜每平方米可获利8元，种植B种蔬菜每平方米可获利12元，农户拿出1000元用来种植这两种蔬菜，设种植A种蔬菜x平方米，总获利y元．若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，当种植A种蔬菜多少平方米时，获得的利润最大?并求出最大利润． 【答案】(1)矩形的长为，宽为 (2)矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为 (3)种植A种蔬菜平方米时，获得的利润最大，最大利润为元 【分析】此题考查了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关键． （）设平行于墙的矩形边长为，则邻边为，列出方程即可求解； （）设菜园面积为，得出关于的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解； （3）先列出函数表达式，根据题意列不等式组，并解方程组求出最大值即可． 【详解】（1） 解：设平行于墙的矩形边长为， 则 ， ， 解得，不合题意，舍去， ， 答：矩形的长为，宽为； （2） 设菜园的面积为，平行于墙的矩形边长为， 则， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大  ，                                 又∵， ∴时，有最大值， ， 答：矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大，最大面积为． （3）由题意得：， 又， 解得：， ， 随x的增大而减小， 当时，y最大， 故种植A种蔬菜平方米时，获得的利润最大，最大利润为元． 【变式4-2】（2022·山东德州·二模）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． (1)写出关于的函数解析式，并求出的取值范围； (2)当该矩形菜园的面积为．求边的长； (3)当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)的长为； (3)当时，面积最大，最大面积为． 【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用． （1）设菜园的宽为，则为，由面积公式写出与的函数关系式，进而求出的取值范围； （2）令求得的值即可； （3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积． 【详解】（1）解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为． 则，① 则， 由， 解②得：， 解③得：， 所以的取值范围为：， 所以； （2）解：由题意得：， 整理得：，解得：， ∵，所以不符合题意，取， 即的长为； （3）解：， ∵，抛物线开口向下，S有最大值， 又∵， ∴当时，面积最大，最大面积为． 【变式4-3】（2022·山东日照·二模）如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） ►题型05 几何图形（道路） 【例5】．（2022·山东淄博·一模）如图，某小区规划在长米，宽米的矩形场地上修建三条同样宽的条小路，使某中两条与平行，一条与平行，其余部分种草，若使草坪的面积为，问小路应为多宽？    【答案】米 【分析】设小路应为米宽，根据使草坪的面积为，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：设小路应为米宽，根据题得， 解得：舍，． 答：小路应为米宽． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键． 【变式5-1】（2022·山东济南·二模）列方程解应用题：如图，某花园小区，准备在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的人行小路（两条小路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，求要修建的小路宽为多少米？ 【答案】修建的路宽为2米． 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有 （22-x）（17-x）=300， 解得：x=37（舍去）或x=2． 答：修建的路宽为2米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【变式5-2】（2023·山东临沂·二模）如图①，某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000，施工队在绿化了11000后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？ （2）该项绿化工程中有一块长为20、宽为8的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图②所示），则人行通道的宽度是多少米？    【答案】（1）2000；（2）2 【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程； （2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程． 【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成平方米，则 解得： 经检验是原分式方程的解， 答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行通道的宽为m，根据题意得 ， 解得，＞（不合题意，舍去）， 答：人行道的宽为2米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用——几何问题和分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题关键． 【变式5-3】（2021·山东德州·二模）为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得： ， 解得：（不合题意，舍去)， 答：小路的宽为2米． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程”，进行求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、的最高次数为，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 则 ∴， 故选：B． 3．若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．今年是新中国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英雄铁军，燃不尽的奋勇志气，第一天当日票房约为1亿元，如果每天票房按相同的增长率增长，第三天当日票房约为2亿元，方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为1亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为2亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：C． 5．已知，分别是方程的两根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两根， ∴． 故选D． 6．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题利用因式分解法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 8．已知关于的方程的两根为和，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】解：两根为和， ， 解得：； 故答案：． 9．若是关于x的一元二次方程，则a 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 10．一元二次方程的两根分别是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根与系数的关系，掌握相关公式是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是， ∴根据根据一元二次方程根与系数的关系代入： ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得， 12．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．利用因式分解来解方程即可． 【详解】解：整理得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 13．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2） ，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 14．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 【答案】的值为 【分析】根据各边之间的关系，可得出的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为． 根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出辆汽车，则该辆汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返还万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为____万元； (2)如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润返利） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，该公司当月售出辆汽车，由此即可求解； （2）设需要售出辆汽车，则每天车的进价为，根据盈利销售利润返利即可列出方程，解一元二次方程，根据实际情况确定取值即可求解． 【详解】（1）解：（万元）， 故答案为：． （2）解：设需要售出辆汽车， ∴， 整理得，， 解方程得，（不符合题意，舍去），， ∴需要售出 辆汽车． 能力提升 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程”，进行求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、的最高次数为，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2．一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 则 ∴， 故选：B． 3．若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．今年是新中国成立75周年，国庆档电影《志愿军：存亡之战》展现了打不垮的英雄铁军，燃不尽的奋勇志气，第一天当日票房约为1亿元，如果每天票房按相同的增长率增长，第三天当日票房约为2亿元，方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为1亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为2亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：C． 5．已知，分别是方程的两根，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵，分别是方程的两根， ∴． 故选D． 6．若，则的值为（   ） A．或1 B． C．1 D．3或1 【答案】C 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题利用因式分解法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：． 8．已知关于的方程的两根为和，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；由根与系数的关系得，即可求解；掌握根与系数的关系： 是解题的关键． 【详解】解：两根为和， ， 解得：； 故答案：． 9．若是关于x的一元二次方程，则a 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 10．一元二次方程的两根分别是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根与系数的关系，掌握相关公式是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是， ∴根据根据一元二次方程根与系数的关系代入： ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得， 12．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．利用因式分解来解方程即可． 【详解】解：整理得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 13．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2） ，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 14．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，设矩形垂直于墙的一边，即的长为．若矩形养殖场的面积为，求此时的的值． 【答案】的值为 【分析】根据各边之间的关系，可得出的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：∵栅栏总长度为，的长为， ∴的长为． 根据题意得：，整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车．在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出辆汽车，则该辆汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返还万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为____万元； (2)如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润返利） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，该公司当月售出辆汽车，由此即可求解； （2）设需要售出辆汽车，则每天车的进价为，根据盈利销售利润返利即可列出方程，解一元二次方程，根据实际情况确定取值即可求解． 【详解】（1）解：（万元）， 故答案为：． （2）解：设需要售出辆汽车， ∴， 整理得，， 解方程得，（不符合题意，舍去），， ∴需要售出 辆汽车． $$