第01讲 图形的平移（5个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（北师大版）

第01讲 图形的平移（5个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 利用平移解决实际问题 题型五 平移(作图) 题型六 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型七 由平移方式确定点的坐标 题型八 己知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型九 己知图形的平移，求点的坐标 题型十 己知平移后的坐标求原坐标 题型十一 平移综合题(几何变换) 知识点一 平移的定义： 把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动，简称平移。平移式图形变换的一种形式。 知识点二 平移的两个要素： （1)平移方向；（2）平移距离。 知识点三 对应点、对应线段、对应角 一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。 知识点四 平移方向和距离的确定 （1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？ A. .若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。 B. 若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。 C. 具体给出从某点P到另一点P'的方向为平移方向，线段PP'的长度为平移距离。 D. 给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10CM）。 （2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。 图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。 知识点五 平移性质 图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。 平移后的图形与原图形： （1）对应线段平行（或在同条一直线上）且相等； （2）对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等； （3）图形的形状与大小都不变（全等）； （4）图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。 如果两个图形的位置给定，怎样判别其中一个图形能否经另一个图形平移得到呢？除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具备以下三条： （1）这两个图形必须是全等形； （2）这两个全等形的对应线段必须互相平行（或者在同一条直线上）； （3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 以上为判别方法一，又判别方法一还可以演变推出如下判别方法二: （1）这两个图形必须是全等形； （2）这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）； （3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 【核心考点一 生活中的平移现象】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕．此次冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是熊猫形象与冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代以及面向未来的无限可能．在下面的四个冰墩墩图片中，能由左图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，结合图形能清楚观察平移的方向、距离及其对应点，关键明确平移的两个性质：①连接对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等，②平移前后图形的形状、大小完全相同．根据图形的性质对各选项逐一判断． 【详解】解：A、此图形不是通过平移得到的，故A不符合题意； B、此图形不是通过平移得到的，故B不符合题意； C、此图形是通过平移得到的，故C符合题意； D、此图形不是通过平移得到的，故D不符合题意； 故答案为：C． 【例2】（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移后得一个矩形，一边长为，另一边长为，再根据面积相减即可，解题的关键是将图形平移得到一个新的矩形，用原矩形的面积减去平移后的面积即可． 【详解】解：将阴影部分的右边平移至右边可构成一个矩形，用原来矩形的面积减去平移后得到矩形的面积， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案． 【详解】解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：， 故． 故答案为：． 【例5】（21-22八年级下·全国·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 【核心考点二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平移）如图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，“口”字能变成的象形汉字是图中的 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查平移，根据平移的性质求解． 【详解】解：②③④号需要旋转才能得到，只有①只需要平移就能得到， 故答案为：①． 【例4】（22-23八年级上·浙江舟山·期末）如图，图②可看作由图①先左平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 【答案】 【分析】本题考查了平移变换，根据前后图形的位置变化即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图②可看作由图①先左平移个单位，再向上平移个单位得到， 故答案为：，． 【例5】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 【答案】可以看作是由自身的一部分平移得到的，理由见解析 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．此题主要考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变． 【详解】解：可以看作是由自身的一部分平移得到的， 结合图形和平移性质，得出可以看作是由中间的一个小五角星分别向左上方、左下方、右上方、右下方平移得到的． 【核心考点三 利用平移的性质求解】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至处．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据平移的性质得到，再用得到的长，从而得到的长； 【详解】解：沿方向平移至处， ， ， ， ， ， 故选：C 【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 【例3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得出，，根据，结合平行线的性质得出，，即可得出． 【详解】解：∵三角形沿直线向右平移得到三角形， ，，，故①④正确， ∵， ∴，， ∴，故③正确； 无法证明，故②错误； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．根据题意分类讨论，画出图形即可直观解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． （1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由平移得，； （2）解：由平移得，， ，， ， ． 【核心考点四 利用平移解决实际问题】 【例1】（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据图形可得所走路线长为，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，横向距离等于的长，纵向距离等于的2倍， ∴入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故选B． 【例2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象．根据平移，可得路的宽度，根据矩形的面积，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， 路的宽度是， 这块草地的绿地面积是平方米， 故选：D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某公园形如长方形，长为a、宽为b，该公园中有3条宽均为c的小路，其余部分均种上小草，则该公园种植小草的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移，多项式乘多项式，利用平移法得出种小草部分的长和宽，相乘即可． 【详解】解：由图可知，种草部分可平移组成一个长为，宽为的长方形， 则种植小草的面积为． 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·福建龙岩·期中）学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质和求多边形的周长，直接利用平移的性质将原图形平移为矩形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，这个多边形的周长为， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【核心考点五 平移(作图)】 【例1】（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 【详解】解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 【例2】（22-23七年级下·广东珠海·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； B．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意； C．可以由一个“基本图形”平移得到，故此选项符合题意； D．可以由一个“基本图形”旋转得到，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键． 【例3】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【例4】（22-23七年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形可以看作是三角形经过平移得到的，写出一种由三角形得到三角形的过程： ． 【答案】向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE． 【分析】根据平移变换的性质解决问题即可． 【详解】解：将△ABO向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE； 故答案为：向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到△CDE． 【点睛】本题考查平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例5】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】本题主要考查图形的平移及坐标的平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可； （2）根据平移方式确定各个点的坐标，然后作图即可． 【详解】（1）解：所作四边形如图所示： ∴； （2）解：所作四边形如图所示： ∴． 【核心考点六 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【例3】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移规律：左减右加，上加下减． 根据点的平移规律左减右加，上加下减直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点向右平移6个单位后， ∴平移后的点坐标是， 故答案为：． 【例4】（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移点的变化规律求解即可． 【详解】解：根据点的平移规律可知：将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为，即． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 【核心考点七 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的平移，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． 根据坐标点平移的特征解答即可． 【详解】解：∵把点向左平移个单位长度得到点，即 ， ∴， 故选：A． 【例2】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，则平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题． 【详解】解：点向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，可得点的坐标，即， 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为： ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为：，即， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）将平面直角坐标系平移，使原点O移至点的位置，则在新坐标系中原来点O的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标特征是解题的关键；由原点O移至点的位置，可知坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，然后根据逆向思维可进行求解． 【详解】解：由原点O移至点的位置，可知坐标系向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，所以在新坐标系中原来点O的坐标为； 故答案为． 【例5】（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移个单位长度得到，请画出； (2)请直接写出的坐标； 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了平移作图以及由平移方式确定点的坐标，掌握相关结论即可． （1）确定各顶点向上平移个单位长度的对应点即可完成作图； （2）根据图形即可求解. 【详解】（1）解：向上平移个单位长度， ∴根据图形平移的规律，如图所示， ∴即为所求图形． （2）解：由（1）中的图形的位置可得，，，． 【核心考点八 己知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键；因此此题可根据点的坐标平移“左减右加，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由点经过平移后到达点处，可知平移方式为向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度；所以点经过这样的平移后到达的点的坐标是； 故选A． 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、的坐标确定出平移规律，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向上平移4个单位， ∵， ∴点的坐标为， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．向左平移个长度单位，即点的横坐标减，纵坐标不变，表示出平移后点的坐标，再结合题意可得关于的方程，解之可得． 【详解】解：将点向左平移个单位得到的点的坐标为， 由题意知， 解得：， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律先判断出平移方式，再根据平移方式确定点D的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，点的对应点， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：． 【例5】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【答案】(1)原来图案向右平移4个单位得到新图案，作图见解析 (2)原来图案向下平移3个单位得到新图案，作图见解析 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，纵坐标上加下减． （1）将原来，，，四个点的横坐标都加上4，得到，，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得 （2）将，，，四个点的纵坐标都减 ，得到，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得． 【详解】（1）解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的； （2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的． 【核心考点九 己知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于线段是由线段平移得到的，而点的对应点D的坐标为，比较它们的坐标发现横坐标减少3，纵坐标减少5，利用此规律即可求出点A的对应点C的坐标． 本题考查点坐标的平移变换，要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， 而点的对应点D的坐标为， ∴由B平移到D点的横坐标减少3，纵坐标减少5， 则点的对应点C的坐标为． 故选：A． 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键． 首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∵ ∴， 故答案为： 【例4】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，解题的关键是理解题中定义，灵活运用平移性质，利用图象解决问题． 作出图形，根据平行线间的距离处处相等得到点在上时满足条件，即可解答． 【详解】解：如图，，当点在上时，根据平行线间的距离处处相等可得的最小值保持不变， ∵，， ∴． 故答案为： 【例5】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，； (2)． 【分析】（）根据平移的性质作图，然后写出点的坐标即可； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查作图——平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：的面积为． 【核心考点十 己知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点向下平移个单位长度后即可得到点的坐标．解题的关键是掌握点平移的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．据此解答即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，把点向下平移个单位长度后的坐标为，即， ∴点的坐标为． 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 【例3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 【例4】（21-22八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 【例5】（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【答案】(1)0，4，6 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由点A（2，4）到（a，1）可知，点由A向下平移3个单位得到，得； （2）直接画图即可； （3）将四边形BB'C'C放在长方形中利用面积之差即可求出结果． 由B（5，b）到B'（3，1）可知，点由B向左平移2个单位得到，得,，． 【详解】（1）解：由题意，△A'B'C'是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到； ∴，，； 故答案为：0，4，6 （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标平移、面积的求法，根据点坐标确定平移的规律和利用割补法求面积是解题的关键． 【核心考点十一 平移综合题(几何变换)】 【例1】（22-23七年级下·福建厦门·期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可． 【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是， 如图，   ， 当线段在线段的下方时，此时， 点，，， ，，， ， 点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移个单位长度， 沿轴正方向平移， ， ， 当线段在线段的上方时，此时， 同理可得：点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移，即， 综上所述，的取值范围为：或， 的值可以是0.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键． 【例2】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设AC与DE的交点为H，根据平移的性质可得，然后可得，过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，然后利用等积法可进行求解． 【详解】解：设AC与DE的交点为H，如图所示： ∵，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接， ∴根据平移的性质知，，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴四边形的周长为 ，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 过点A作AG⊥BC于点G，则AG即为点A到BC的距离，如图， ∵， ∴，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选A． 【点睛】本题主要考查平移的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【例3】（21-22七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】57 【分析】根据平移的性质易证：S阴影=S梯形ABEH，再利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：∵将沿点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴． 故答案是：57． 【点睛】本题考查了平移的性质，能够结合图形得到阴影部分的面积等于梯形的面积是解题关键． 【例4】（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ． 【答案】1 【分析】连接、根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解： 如图：连接AA1， ∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1， ∴＝4， ∵M是AB的中点， ∴AM＝AB＝3， ∴4-3≤MA1≤4+3， 即1≤MA1≤7， ∴MA1的最小值为1, 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②，且 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：，且． 【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 【变式训练1 生活中的平移现象】 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； B、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； C、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； D、图案能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 4．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 【答案】林（答案不唯一） 【分析】根据平移的基本性质，写出的汉字只需由两或三个完全相同的部分组成即可． 【详解】根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字即可： 则可以有：林，晶等，答案不唯一． 故答案为：林，晶等，答案不唯一． 【点睛】本题考查平移的基本性质的运用：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 5．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)不变 (2)不变，51 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据平移的性质，可得出平移后阴影部分面积不会改变； （2）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中给定的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）解：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不会改变． 故答案为：不变． （2）设小长方形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：图中阴影部分面积为51． 【变式训练2图形的平移】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：由图形可知，选项C与原图形完全相同． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面选项中哪幅图是由原图平移得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【详解】解：只有D选项的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是 （只填序号）． ①   ②    ③    ④ 【答案】② 【分析】本题考查了平移的定义，熟练掌握平移的定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形是解题关键，根据平移的定义结合图形进行判断． 【详解】解：根据平移的定义可知，只有②是由一个圆作为基本图形，经过平移得到． 故答案为：②． 4．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码，则最后输出口令为 ． 【答案】数学 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，平移． 根据题意得出平移方法为向上平移2格，向右平移1格，即可解答． 【详解】解：由图可知“相交”向上平移2格，向右平移1格得到“平行”， ∵数字密码对应的口令为“文化”， ∴最后数出密码为“数学”， 故答案为：数学． 5．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的平移以及梯形的面积计算公式，利用平移的性质可得出，又是和重合部分，可得出阴影部分的面积梯形的面积，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知：， 又∵是和重合部分， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∴阴影部分的面积 故阴影部分的面积为． 【变式训练3 利用平移的性质求解】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键． 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，故内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， ∵在中，，， ∴， 由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合， 内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长， 内部五个小直角三角形的周长为：． 故答案为：24． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．24 B．20 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，熟知以上知识点是解题的关键． 由的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：由平移可知：， ， ， ， ∴是等边三角形 ， ∴的周长为：， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）图①阴影部分的面积 图②阴影部分的面积（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，多项式的乘法，根据图形分别表示出两个图形的阴影部分面积即可求解． 【详解】解：图①阴影部分的面积为 图①阴影部分的面积为 ∴两个图形中阴影部分面积相等， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 5．（2022·河北石家庄·一模）如图1，与全等，且．如图2，将沿射线方向平移得到，连接． (1)求证：且； (2)沿射线方向平移的距离等于______时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； （2）解：当点于点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于， 故答案为：． 【变式训练4 利用平移解决实际问题】 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）在曲靖人民心中，麒麟水乡就是世外桃源，也是心之归处．盛夏的麒麟水乡秀丽端庄，千亩荷花在微风中飘曳，远远望去，青山如黛，绿水生烟．此时荷花竞相开放，有的才露尖尖角，微微探出头来；有的含苞待放，一抹嫣红染透了花瓣；有的已是亭亭玉立，花辫舒展明艳清丽．勾勒出一幅美丽的夏日荷塘画卷，叫人如痴如醉、心旷神怡．为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若长方形荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得小桥的总长恰为长方形周长的一半，由此问题可求解． 【详解】解：由平移的性质可知，小桥总长为：． 故选C． 2．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图所示，在一块长52米，宽10米的长方形草坪上修筑宽度均为2米的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草地面的面积是（    ） A．400米 B．416米 C．500米 D．520米 【答案】A 【分析】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．将小路两旁部分向中间平移，直到小路消失，发现草地是一个长为米、宽为米的长方形，根据长方形面积长宽列式计算即可． 【详解】解：由题意，得草地的实际面积为： ． 故选：A． 3．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 故答案为：． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平移的概念，如图， 将平移得，将平移得，进而得到一个正六边形，因此可得x的值为． 【详解】如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，   ， 又六边形是正六边形， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平移的性质： （1）根据平移的性质确定点即可； （2）根据平移的性质确定点P即可； 【详解】（1）解：如图，点即为所作，    （2）解：如图，点P即为所作，    【变式训练5 平移(作图)】 1．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 【详解】如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 2．（22-23七年级下·广西百色·期末）如图，在方格纸上，向右平移（    ）格后得到    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意直接根据平移的基本性质可得对应点间线段长度即为平移距离进行分析即可． 【详解】解：从图中看出，点B1与点B的距离为4格， 所以向右平移4格后得到． 故选：C． 【点睛】本题考查图形平移，注意掌握平移的基本性质即对应点间线段长度即为平移距离． 3．（22-23八年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，△可以看作是由△经过若干次的图形变化(轴对称、平移)得到的，写出一种由△得到△的过程： ． 【答案】答案不唯一，如：将沿轴翻折，再将得到的三角形向下平移个单位长度 【分析】答案不唯一，如：将沿轴翻折，再将得到的三角形向下平移个单位长度. 【详解】将沿轴翻折，再将得到的三角形向下平移个单位长度. 故答案为将沿轴翻折，再将得到的三角形向下平移个单位长度. 【点睛】本题考查坐标与图形变化-对称，平移等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（22-23七年级下·全国·单元测试）如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 【答案】2 【分析】利用平移的性质，结合图形，得出答案． 【详解】BC在AD的右上方两格处，线段BC是线段AD经过向右平移3格，再向上平移2格得到的. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质，解题的关键是熟练的掌握平移的性质. 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系； (2)点经过平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，对应点分别是点，，画出平移后的三角形； (3)在（2）的条件下，点在轴上，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，． 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，建立平面直角坐标系即可； （2）先得出平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移个单位长度，再根据平移的性质画出图形即可； （3）画出图形，结合图形即可得解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：∵点经过平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移个单位长度， 画出三角形如图所示： （3）解：如图： 由图可得：，． 【变式训练6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 2．（2023·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的平移．根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减，计算即可得解． 【详解】解：∵向左平移3个单位长度后，再向下平移1个单位长度， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：C． 3．（22-23八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：右移横坐标加，左移减；上移纵坐标加，下移减．根据点的坐标的平移规律可得，即可得的值． 【详解】解：点向左平移1个单位长度得到点， ， 解得：， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·天津河东·期末）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移；根据点坐标“右加左减、上加下减”的平移规律可得答案． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的横坐标为，纵坐标为，即， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．    (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部(不包括边界)的整点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）根据平移的性质得出点C、D的坐标，再连线作图即可． （2）设的边上的高为，由题意得，解得，则满足条件的点在直线上，且在长方形内部(不包括边界)，即可得符合条件的所有点的坐标． 【详解】（1）解：∵点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，点A，B的坐标分别为，， ∴点的坐标为，点D的坐标为， 画出四边形如图所示．      （2）设的边上的高为， 由题意得， 解得， 满足条件的点在直线上，且在长方形内部(不包括边界)， 符合条件的所有点的坐标为或或． 【点睛】本题考查作图平移变换、熟练掌握平移的知识是解答本题的关键． 【变式训练7 由平移方式确定点的坐标】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）平面直角坐标系中，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移变换，掌握平移规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键． 直接利用平移中点的变化规律即可解答． 【详解】解：∵点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点， ∴点的横坐标是，纵坐标为，即． 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南文山·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移特征：向左平移则横坐标减，向右平移则横坐标加；向上平移则纵坐标加，向下平移则纵坐标减，掌握这规律特征是关键． 根据平面直角坐标系中点平移的规律即可求得平移后的坐标． 【详解】解：将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为； 故选：C 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将点向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，掌握点平移的规律是解题的关键． 点平移的规律“左减右加，上加下减”，由此即可求解． 【详解】解：点向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知点A的坐标为，A点向左平移两个单位到B的位置，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，根据平移规律(横坐标左移减)即可得答案，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 【详解】∵点向左平移两个单位到B的位置， ∴B的坐标为，即， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)画出将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的，并写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—平移变换，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据的坐标进行描点，再顺次连接即可； （2）根据平移的性质找出点、、，再顺次连接即可，写出、、的坐标即可； 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： ，， 【变式训练8 己知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断． 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·期中）已知四边形四个顶点的坐标分别为，，，，李轩把四边形 平移后得到了四边形 ，它的四个顶点的坐标分别为，，，，数学老师看后发现只有一个顶点的坐标写错了，则李轩写错的顶点为（    ） A．点E B．点F C．点G D．点 H 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是找到三个坐标变化一致的点，从而判断出平移方式． 根据坐标发现据A，B，D三点平移前后的坐标变化一致，继而判断结果． 【详解】解：根据A，B，D三点平移前后的坐标可知： 图形先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， 则点C平移后的对应点为，即， ∴错误的坐标为G， 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·期末）已知线段两个端点的坐标分别为，，将线段的一个端点平移到坐标原点处，则另一个端点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，分将点移至原点处，将点移至原点处，两种情况判断出平移方式，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将点移至原点处，则平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度， ∴平移后的对应点坐标为，即， 若将点移至原点处，则平移方式为向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴平移后的对应点坐标为，即； 综上所述，另一个端点的坐标是或， 故答案为：或． 4．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，现将平移后得到，且点与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先根据点的坐标确定出平移规律，再求解即可． 【详解】解：将平移后得到，且点与点重合， 将向右平移3个单位，向下平移3个单位到， 点的坐标为， 即． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内有一个． (1)将向上平移5个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)再将向左平移得到，此时，请在平面直角坐标系中画出． (3)若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)将沿方向平移个单位可得 【分析】本题考查了作图——平移及勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连线即可； （2）可知，将向左平移6个单位得到，然后根据平移的性质画图即可； （3）根据图形观察可得平移方向，利用勾股定理可求出平移的距离． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：∵， ∴将沿方向平移个单位可得． 【变式训练9 己知图形的平移，求点的坐标】 1．（2022·山东青岛·模拟预测）正方形在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形平移，使点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则上一点平移后的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的平移，找到平移规律即可得到答案. 【详解】解：点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则是向左平移1个单位，向下平移3个单位， ∴上一点平移后的对应点的坐标为， 故选：A． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移．利用点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，把点的横坐标加3，纵坐标减6即可得到点的坐标． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到点， 则点的坐标是，即． 故选：C． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得、的值． 【详解】解：、两点的坐标分别为、，平移后，， 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位， ，， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，线段组成的图形定义为图形G，将图形G向左平移m个单位，当图形G与y轴有且只有一个交点时，m的取值为 ． 【答案】或 【分析】该题主要考查了图形的平移以及坐标与图形，解题的关键是数形结合． 根据点的坐标，分情况讨论即可； 【详解】解：当时，图形G向左平移1个单位，点在y轴上，此时图形G与y轴只有一个交点； 当时，图形G与y轴有2个交点； 当时，图形G向左平移3个单位，点在y轴上，此时图形G与y轴有2个交点； 当时，图形G与y轴有1个交点； 当时，图形G向左平移4个单位时，点在y轴上，此时图形G与y轴只有一个交点； 当时，图形G与y轴有0个交点； 故当图形G与y轴有且只有一个交点时， 或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是（____，____）． 【答案】(1)图见详解， (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的规律解决问题即可． 本题考查作图平移变换，点的坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图所示： ∴； （2）解：∵把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点为内的一点， ∴点的坐标是， 故答案为：，． 【变式训练10 己知平移后的坐标求原坐标】 1．（22-23七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移4个单位后的坐标是，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据向下平移，纵坐标减，求出点的坐标，再根据各象限内点的特征解答． 【详解】解：设点P纵坐标为y， 点向下平移4个单位后的坐标是， ， ∴ 点的坐标为， 点在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求出点的坐标是解题的关键． 2．（22-23七年级下·广西玉林·期中）平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“点上下平移，横坐标不变”，由此可直接得到答案． 【详解】平面上的点（2，-1）通过上下平移不能与之重合的是（-2，-1）， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 3．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标． 【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3）， ∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′， 又∵点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应， ∴对应点P′的坐标为（﹣2，﹣＋3），即P'（，）， 故答案为：（，）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）将点P向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(3,-1)，则点P坐标为 ． 【答案】（5，2） 【分析】设点P的坐标为（x，y），然后根据向左平移，横坐标减，向下平移，纵坐标减，列式进行计算即可得解． 【详解】设点P的坐标为（x，y）， 根据题意，x-2=3，y-3=-1， 解得x=5，y=2， 则点P的坐标为（5，2）． 故答案是：（5，2）． 【点睛】考查了平移与坐标与图形的变化，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 【答案】（1）图详见解析，A′（1, 2），C′（6， 0）；（2）P（）；（3）8.5. 【分析】（1）根据平移规律，坐标的平移规律与图形的平移规律相同，将三个顶点坐标分别进行平移得到对应点的坐标，然后依次连线，写出点的坐标即可. （2）根据坐标的平移规律，用平移后的点按照相反的方向进行平移，即可找到平移前的对应点. （3）利用割补法，将三角形补成矩形，然后用矩形面积分别减去其它三角形的面积即可得到三角形ABC的面积. 【详解】解：(1)根据坐标平移规律，分别将A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度,，依次连线即可. 即 （2）△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，其平移规律为向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所以要求P点坐标，要按照相反的方向平移，即向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即P点坐标为（） (3)如图，将△ABC补成矩形BEGF, 【点睛】本题考查了坐标平移规律，平移作图，用割补法求图形面积，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规律，能够根据图形进行割补，将非规则图形割补成规则图形以便求解. 【变式训练11 平移综合题(几何变换)】 1．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定向左平移的距离为，确定点的坐标为（-8,6），将其代入y=kx中，得k==. 【详解】∵点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，且点的坐标为， ∴向左平移的距离为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为（-8,6）， ∵点落在直线， ∴6= -8k，解得k=， 故选：B. . 【点睛】本题考查了平移的基本规律，正比例函数解析式的确定，熟记平移的规律是解题的关键. 2．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线BC方向平移2.5个单位得到，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论： ①；②为等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四边形AEFD的面积为9．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由平移的性质得出AD∥BE，AD=BE=2.5，由勾股定理求出BC，得出CE=AD，由平行线得出∠DAG=∠ECG，根据AAS即可证明△AGD≌△CGE，得出①正确； 由直角三角形斜边上的中线性质得出AE=BC=CE，得出AE=AD，②正确； 由AE=CE，得出∠EAC=∠ECG，证出∠EAC=∠DAG，得出③正确； 作AH⊥BC于H，由三角形的面积关系求出AH，由梯形的面积公式即可求出四边形AEFD的面积，得出④正确． 【详解】解：由平移的性质得：AD∥BE，AD=BE=2.5， ∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4， ∴BC= ∴CE=2.5， ∴AD=CE， ∵AD∥BE， ∴∠DAG=∠ECG， 在△AGD和△CGE中， ∴△AGD≌△CGE（AAS）， ∴①正确； ∵∠BAC=90°，BE=CE， ∴AE=BC=CE=2.5， ∴AE=AD， ∴△ADE为等腰三角形， ∴②正确； ∵AE=CE， ∴∠EAC=∠ECG， ∵∠DAG=∠ECG， ∴∠EAC=∠DAG， ∴AC平分∠EAD， ∴③正确； 如图，过A作AH⊥BC于H， ∵△ABC的面积=BC•AH=AB•AC， ∴AH==， ∴四边形AEFD的面积=（AD+EF）×AH=（2.5+5）×=9， ∴④正确； 正确的个数有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平移的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、面积的计算；熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 3．（2022·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点C作直线， 作B关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于，则的最小值为DF的长度． 【详解】 如图：过点C作直线，作B点关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于 ∵平移后A点对应点为D点，B点对应点为G点，根据对称性： ∴ ∴的最小值为DF的长度 ∵点，，，根据对称性知 ∴ ∴ ∴的最小值为． 【点睛】掌握根据对称性转化线段长度解决问题．两点之间，线段最短使我们解决最值问题常用的思路． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则线段BB′＝ ．    【答案】1 【分析】根据平移的性质得出平移后坐标的特点，进而解答即可． 【详解】解：因为点A与点O对应，点A（﹣1，0），点O（0，0）， 所以图形向右平移1个单位长度， 所以线段BB′＝OC＝OA＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平移的性质得出平移后坐标的特点． 5．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 【答案】(1)； (2)图见解析； (3)使，满足条件的平移量有、、、、． 【分析】本题考查作图-平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据“平移量”的定义判断即可； （2）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （3）过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，取格点，使，即可得出点平移量． 【详解】（1）解：依题意可知，点在点的左侧个单位，上方个单位， ∴点可看作点按“平移量”平移得到， 故答案为：． （2）解：点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，点按“平移量”平移得到，依次连接、、，如图： ∴为所求的三角形． （3）解：要使，则点到的距离等于点到的距离，所以过点作的平行线，作点关于的对称点，再过点作的平行线，如图： 在网格上取格点，则， ∴由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， 由点按“平移量”平移得到， ∴使，满足条件的平移量有、、、、． 1．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 【答案】D 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】A. 人在楼梯上行走，不属于平移，故此选项错误 B. 行驶的自行车的后轮，不属于平移，故此选项错误 C. 在游乐场荡秋千，不属于平移，故此选项错误 D. 坐在直线行驶的列车上的乘客，符合平移定义，属于平移，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 2．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及平移，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意即可得到点向右平移2格即可围成平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的定义可知， 需将点向右平移2格即可围成平行四边形． 故选D． 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，表示出阴影部分的面积，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：A，C，D中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去以大长方形的宽为长，小路的宽为宽的长方形的面积，B中阴影部分的面积比其它三个小1个以小路的宽为边长的小正方形的面积； 故选B． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值即可． 【详解】解：由图可知：点平移后的对应点为：， ∴平移规则为：先向右平移2个单位，再向上平移2个单位， ∴， ∴； 故选A． 5．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，点是向右平移个单位，向上平移个单位得到的点，进而可得出答案． 【详解】解：由点的对应点为知平移方式为：向右平移个单位，向上平移个单位， 点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（22-23七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 7．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 8．（21-22七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点在B处，再直接求解即可． 【详解】解：∵轴，轴， 点C、B、H、G在x轴上，，，，，， ∴B点坐标为（-1，0），点H坐标为（1，0）， ∴AP=BH=2，AB=PH=2，CD=GF=2，BC=HG=2，DF=CG=6， ∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A缠绕一周的总长度为2+2+2+6+2+2+2+2=20， ∵2022÷20=， ∴细线另一端所在位置的点在B点处， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为（-1，0）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是确定缠绕一周的总长度为20． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，点坐标的平移，正比例函数解析式．分情况求解是解题的关键． 由勾股定理得，，则，，然后分①将沿轴向左平移两个单位长度，②将沿轴向右平移两个单位长度两种情况求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∴，， 由题意知，分①将沿轴向左平移两个单位长度，②将沿轴向右平移两个单位长度两种情况求解； ①当将沿轴向左平移两个单位长度时，， 设正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴； ②当将沿轴向右平移两个单位长度时，， 设正比例函数的解析式为， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，图象经过点的正比例函数的解析式为或， 故答案为：或． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在y轴上，点C坐标为(-1，0)．OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，OB=4．若将OAB向左平移，使点A落在直线BC上，则平移的距离是 ． 【答案】 【分析】分别求出A点坐标及直线BC解析式即可. 【详解】如图，过A作AD⊥OB于D， ∵OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，OB=4． ∴OD=AD=2 ∴A（2,2） ∵B（0,4），C(-1，0)． ∴直线BC解析式为 ∴在直线BC上当时， ∴A平移的距离为 故答案为 【点睛】本题考查一次函数与平移，左右平移纵坐标不变是解题的关键. 11．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点C的对应点为点． (1)请在图中画出三角形； (2)连接与，则这两条线段的关系是______； (3)请直接写出三角形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等； (3)3 【分析】本题主要考查网格中三角形的变换，平移的性质，掌握平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据平移的性质，找到点对应的点，然后画出即可； （2）连接两条线段，发现两条线段平行且相等， （3）利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图为所作图形； （2）解：如图，连接与，根据平移的性质可知，两条线段平行且相等； （3）解：的面积为， 故答案为：3． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          14．（22-23七年级下·广西贺州·期末）如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．    (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平移规则：向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度可得进而即可解答； （2）根据垂线段最短可知当轴时，线段最小进而即可解答； （3）根据数轴上两点之间的距离公式及网格中三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，且，，， ∴点，，， ∴如图所示即为所求，    （2）解：∵点在轴上运动时，当轴时，线段最小，且， ∴， 故答案为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，网格中三角形的面积，平移作图，掌握平移的定义是解题的关键． 15．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，将四边形先向右平移4个单位长度后，再向下平移3个单位长度，便得到四边形． (1)画出四边形． (2)四边形与四边形相比，对应顶点的横纵坐标分别有什么关系？ (3)如果将四边形看成是由四边形经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和平移距离． 【答案】(1)见解析 (2)四边形与四边形相比，对应顶点的横坐标增加4、纵坐标减少3 (3)平移的方向是由到的方向，平移的距离是5个单位长度 【分析】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）将四边形的四个顶点分别向右平移4个单位长度、向下平移3个单位长度，得到对应点，顺次连接可得； （2）根据对应点的坐标，仔细观察即可发现规律； （3）连接，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）如图所示，四边形即为所求； （2）四边形与四边形相比，对应顶点的横坐标增加4、纵坐标减少3； （3）连接，则， 平移的方向是由到的方向，平移的距离是5个单位长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 图形的平移（5个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 利用平移解决实际问题 题型五 平移(作图) 题型六 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型七 由平移方式确定点的坐标 题型八 己知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型九 己知图形的平移，求点的坐标 题型十 己知平移后的坐标求原坐标 题型十一 平移综合题(几何变换) 知识点一 平移的定义： 把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动，简称平移。平移式图形变换的一种形式。 知识点二 平移的两个要素： （1)平移方向；（2）平移距离。 知识点三 对应点、对应线段、对应角 一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。 知识点四 平移方向和距离的确定 （1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？ A. .若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。 B. 若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。 C. 具体给出从某点P到另一点P'的方向为平移方向，线段PP'的长度为平移距离。 D. 给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10CM）。 （2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。 图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。 知识点五 平移性质 图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。 平移后的图形与原图形： （1）对应线段平行（或在同条一直线上）且相等； （2）对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等； （3）图形的形状与大小都不变（全等）； （4）图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。 如果两个图形的位置给定，怎样判别其中一个图形能否经另一个图形平移得到呢？除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具备以下三条： （1）这两个图形必须是全等形； （2）这两个全等形的对应线段必须互相平行（或者在同一条直线上）； （3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 以上为判别方法一，又判别方法一还可以演变推出如下判别方法二: （1）这两个图形必须是全等形； （2）这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）； （3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。 【核心考点一 生活中的平移现象】 【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕．此次冬奥会的吉祥物“冰墩墩”是熊猫形象与冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代以及面向未来的无限可能．在下面的四个冰墩墩图片中，能由左图经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【例4】（23-24七年级下·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 【例5】（21-22八年级下·全国·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【核心考点二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【例3】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（平移）如图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，“口”字能变成的象形汉字是图中的 ．（填序号） 【例4】（22-23八年级上·浙江舟山·期末）如图，图②可看作由图①先左平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 【例5】（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 【核心考点三 利用平移的性质求解】 【例1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，将沿方向平移至处．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ． 【例4】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【例5】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在直角三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【核心考点四 利用平移解决实际问题】 【例1】（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米．为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，则小明沿着小路的中间，从入口A走到出口B所走的路线（图中虚线）长为（    ） A．140米 B．136米 C．124米 D．100米 【例2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，某公园形如长方形，长为a、宽为b，该公园中有3条宽均为c的小路，其余部分均种上小草，则该公园种植小草的面积为 ． 【例4】（23-24七年级上·福建龙岩·期中）学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为 ．    【例5】（23-24八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【核心考点五 平移(作图)】 【例1】（23-24八年级上·四川泸州·期中）如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·广东珠海·期末）下列图案中，可以通过其中一个基础图形平移得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例3】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【例4】（22-23七年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形可以看作是三角形经过平移得到的，写出一种由三角形得到三角形的过程： ． 【例5】（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各顶点坐标分别为，，，． (1)将四边形沿x轴负方向平移2个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． (2)将四边形沿y轴正方向平移3个单位长度，得到四边形，画出平移后的图形，并写出它各个顶点的坐标． 【核心考点六 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【例3】（21-22七年级下·云南玉溪·期末）在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【例4】（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 【例5】（24-25八年级上·浙江·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【核心考点七 由平移方式确定点的坐标】 【例1】（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，将点先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度，则平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·甘肃张掖·期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点，则点的坐标为： ． 【例4】（24-25八年级上·安徽六安·期中）将平面直角坐标系平移，使原点O移至点的位置，则在新坐标系中原来点O的坐标为 ． 【例5】（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移个单位长度得到，请画出； (2)请直接写出的坐标； 【核心考点八 己知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过，两点．现将直线l平移，使点M到达点处，则点N到达的点是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·期中）在平面直角坐标系中，线段的端点分别为，将线段平移到，且点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位得到的点的坐标为，则 ． 【例4】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点，则点的对应点的坐标是 ． 【例5】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【核心考点九 己知图形的平移，求点的坐标】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【例4】（24-25九年级上·福建福州·开学考试）对于平面直角坐标系中的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；已知点，点，，点M是线段上的一个动点，将点A进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【例5】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【核心考点十 己知平移后的坐标求原坐标】 【例1】（24-25九年级上·海南儋州·期中）在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【例4】（21-22八年级下·广西桂林·期中）平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【例5】（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【核心考点十一 平移综合题(几何变换)】 【例1】（22-23七年级下·福建厦门·期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【例2】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①，； ②； ③四边形的周长是18； ④； ⑤点到的距离为2.4． 其中正确结论的个数有（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例3】（21-22七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形ABC沿点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，已知AB=12，DH=5，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为 ． 【例4】（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ． 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接． (1)若，，求线段的长； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【变式训练1 生活中的平移现象】 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·期中）下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 3．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 4．（22-23七年级下·广东广州·阶段练习）中华文化，博大精深．在中国的一些文字里，可以看作是平移变换而得到的．如：“日”“朋”“森”等，请你额外再写一个具有平移变换现象的汉字 ． 5．（2024七年级下·天津·专题练习）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． (1)若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　　（填“变”或“不变”）； (2)若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． 【变式训练2图形的平移】 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标如图所示，平移会标可以得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面选项中哪幅图是由原图平移得到的（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列四幅名车标志设计中能用平移得到的是 （只填序号）． ①   ②    ③    ④ 4．（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）我们知道，在平面直角坐标系中，将点上下或左右平移，可以得到相应点的坐标．如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同的密码．若输入数字密码，对应中转口令是“相交”，最后输出口令为“平行”；按此方法，若输入数字密码，则最后输出口令为 ． 5．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移距离得到直角三角形．已知，，，求图中阴影部分的面积． 【变式训练3 利用平移的性质求解】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．24 B．20 C．36 D．16 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）图①阴影部分的面积 图②阴影部分的面积（填“”或“”或“”）． 4．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2022·河北石家庄·一模）如图1，与全等，且．如图2，将沿射线方向平移得到，连接． (1)求证：且； (2)沿射线方向平移的距离等于______时，点与点之间的距离最小． 【变式训练4 利用平移解决实际问题】 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）在曲靖人民心中，麒麟水乡就是世外桃源，也是心之归处．盛夏的麒麟水乡秀丽端庄，千亩荷花在微风中飘曳，远远望去，青山如黛，绿水生烟．此时荷花竞相开放，有的才露尖尖角，微微探出头来；有的含苞待放，一抹嫣红染透了花瓣；有的已是亭亭玉立，花辫舒展明艳清丽．勾勒出一幅美丽的夏日荷塘画卷，叫人如痴如醉、心旷神怡．为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若长方形荷塘周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山西大同·期末）如图所示，在一块长52米，宽10米的长方形草坪上修筑宽度均为2米的小路（图中阴影部分），其余部分种草，则种草地面的面积是（    ） A．400米 B．416米 C．500米 D．520米 3．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）在小正方形边长为1的的网格中，A，B，C三点为格点，请只用无刻度的直尺按下列要求分别作图（不写作法）：    (1)在图1中，点是格点，找一格点，使； (2)在图2中，找一格点P，使． 【变式训练5 平移(作图)】 1．（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广西百色·期末）如图，在方格纸上，向右平移（    ）格后得到    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·北京石景山·期末）如图，在平面直角坐标系中，△可以看作是由△经过若干次的图形变化(轴对称、平移)得到的，写出一种由△得到△的过程： ． 4．（22-23七年级下·全国·单元测试）如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 5．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系； (2)点经过平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，对应点分别是点，，画出平移后的三角形； (3)在（2）的条件下，点在轴上，若三角形的面积等于三角形的面积，直接写出点的坐标． 【变式训练6 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 1．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·重庆忠县·期中）已知点向左平移1个单位长度得到点，则的值为 ． 4．（23-24七年级下·天津河东·期末）点向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为 ． 5．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．    (1)将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形； (2)把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形内部(不包括边界)的整点M，使，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【变式训练7 由平移方式确定点的坐标】 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）平面直角坐标系中，将点向上平移个单位，再向左平移个单位得到点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南文山·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）将点向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）已知点A的坐标为，A点向左平移两个单位到B的位置，则点B的坐标为 ． 5．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的坐标分别为，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)画出将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的，并写出、、的坐标． 【变式训练8 己知点平移前后的坐标，判断平移方式】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 2．（23-24八年级下·全国·期中）已知四边形四个顶点的坐标分别为，，，，李轩把四边形 平移后得到了四边形 ，它的四个顶点的坐标分别为，，，，数学老师看后发现只有一个顶点的坐标写错了，则李轩写错的顶点为（    ） A．点E B．点F C．点G D．点 H 3．（23-24七年级下·全国·期末）已知线段两个端点的坐标分别为，，将线段的一个端点平移到坐标原点处，则另一个端点的坐标是 ． 4．（23-24九年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，现将平移后得到，且点与点重合，则点的坐标是 ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系内有一个． (1)将向上平移5个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)再将向左平移得到，此时，请在平面直角坐标系中画出． (3)若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【变式训练9 己知图形的平移，求点的坐标】 1．（2022·山东青岛·模拟预测）正方形在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形平移，使点B落在点D位置上（即平移后点B的对应点为点D），则上一点平移后的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则 ． 4．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，线段组成的图形定义为图形G，将图形G向左平移m个单位，当图形G与y轴有且只有一个交点时，m的取值为 ． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是（____，____）． 【变式训练10 己知平移后的坐标求原坐标】 1．（22-23七年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，点向下平移4个单位后的坐标是，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23七年级下·广西玉林·期中）平面上的点通过上下平移，不能与下面的点重合的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是 ． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）将点P向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(3,-1)，则点P坐标为 ． 5．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（1，﹣3），将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△ ,其中点 分别是点A,B,C的对应点. （1）请你在给出的坐标系中画出和写出点A′，C′的坐标； （2）若△ABC内的一点P经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示P点的坐标 ；（直接写出结果即可） （3）求△ABC的面积． 【变式训练11 平移综合题(几何变换)】 1．（22-23八年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，将沿x轴向左平移得到，若点的坐标为，点落在直线上，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，将沿直线BC方向平移2.5个单位得到，AC与DE相交于G点，连接AD，AE，则下列结论： ①；②为等腰三角形；③AC平分∠EAD；④四边形AEFD的面积为9．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是 ． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）．现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则线段BB′＝ ．    5．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量”可平移到点． (1)填空，点可看作点按“平移量” 平移得到； (2)若将依次按“平移量”平移得到，请在图（1）中画出； (3)将点按“平移量”平移得到点，使，写出所有满足条件的平移量． 1．（21-22七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列运动属于平移的是（   ） A．人在楼梯上行走 B．行驶的自行车的后轮 C．在游乐场荡秋千 D．坐在直线行驶的列车上的乘客 2．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 3．（23-24七年级下·广东广州·期中）现有一个长方形草地，需在其中修建一条路宽都相等的小路，下列四种设计方案中，修建小路后，有一个方案剩余的草坪（阴影部分）面积与其他三个方案的都不相等，则这个方案是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，将线段平移至的位置，则的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为 ． 7．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    8．（21-22七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ． 10．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在y轴上，点C坐标为(-1，0)．OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，OB=4．若将OAB向左平移，使点A落在直线BC上，则平移的距离是 ． 11．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点C的对应点为点． (1)请在图中画出三角形； (2)连接与，则这两条线段的关系是______； (3)请直接写出三角形的面积． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 14．（22-23七年级下·广西贺州·期末）如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．    (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 15．（23-24七年级下·全国·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，，，，将四边形先向右平移4个单位长度后，再向下平移3个单位长度，便得到四边形． (1)画出四边形． (2)四边形与四边形相比，对应顶点的横纵坐标分别有什么关系？ (3)如果将四边形看成是由四边形经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和平移距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$