数学（新高考Ⅰ卷02）-学易金卷：2025年高考第一次模拟考试

2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，故； 由，故. 所以. 故选：C 2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由，得，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数 A 1012 B. 1350 C.1348 D. 1352 【答案】B 【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数， 又，故该数列前2024项有个奇数. 故选：B 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】因为随机变量，且，可得， . 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 5.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在R上为增函数， 因为， 所以在R上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得， 综上，. 故选：D 6.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在最大值为9 D. 【答案】B 【解析】在边长为3的正中，，为的中点，则， 对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得， 即， 因此，则， 而，则当时，取得最大值，B错误. 对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上， 设， 则， ， 由，得，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，， 则 ，D正确； 故选：B 7.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：C. 8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，∴， 中，由余弦定理得：， ∴，化简得， ∴，， 中，， 由余弦定理得，解得， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数是8 C. 75%分位数是9 D. 方差为4 【答案】ABC 【解析】将这组数据从小到大排序，得，这组数据的极差为，故A正确； 平均数为，故B正确； 因为，所以第75%分位数为，故C正确； 方差为，故D错误. 故选：ABC 10.已知三次函数，则（ ） A. 当时，函数为单调递增函数 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 存在，使得函数图象关于直线对称 D. 函数有三个零点的一个充分条件是 【答案】BD 【解析】对于A，由于当时，有，但此时由可知并不单调递增，故A错误； 对于B，当时，有，故 . 所以. 这表明的图象关于对称，故B正确； 对于C，假设存在使得的图象关于对称，则恒成立. 此即. 整理得，即，此即. 故对任意实数均有. 从而对任意均有，但当时，该式显然不成立，矛盾. 所以不存在使得的图象关于对称，故C错误； 对于D，当时，直接计算可得，，，. 而，故根据零点存在定理，可知存在零点，且在和上分别有一个零点. 所以一定有三个零点，故D正确. 故选：BD. 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于32 【答案】BC 【解析】由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A选项错误； 由得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B正确； 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以， 在第一象限部分满足，设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同， 所以可以先求部分面积的近似值， 如图，在取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以，由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 【答案】## 【解析】由于六件货物的质量之和不是3的倍数，因而不可能出现三个箱子的总重量都相同的情况. 设事件表示存在两个箱子，它们的总质量相同且同时最小，事件表示第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量. 由对称性，可得. 当发生时，这两个箱子的货物组合只能是和和和三种可能，故. 当不发生时，表示仅有一个箱子的总质量最小，于是由对称性，得. 故. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 14. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【解析】（1）在中，由正弦定理及， 得 ，------------------------------------------2分 即，而，，-------------------------------------------3分 解得，又，所以. -------------------------------------------5分 （2）由及，余弦定理得，-----------------------------------6分 又，解得，------------------------------------------7分 由得， 即，则， 所以.------------------------------------------8分 （3）因为是的中点，所以，-------------------------------------------9分 则， 由正弦定理得， 即，-------------------------------------------10分 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以，-------------------------------------------12分 所以，即边上的中线的取值范围为．-------------------------13分 16．（15分）如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. （1）证明：； （2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 【解析】 【小问1详解】 取的中点，连接、，因为，---------------------------------1分 所以，又，所以， 所以，即，所以，----------------------------------------3分 又，平面，所以平面，------------------------------------------5分 又平面，所以；-------------------------------------------6分 【小问2详解】 因为，，又，所以，所以四边形为矩形， 如图以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系， 则，，，；------------------------------------------9分 若选条件①：，显然平面，设，-------------------------------11分 则，，-------------------------12分 所以，与矛盾，-------------------------14分 故条件①不符合题意；-------------------------------------------15分 若选条件②：，显然平面，设， 则，解得，则，-------------------------------------------11分 所以，，-------------------------------------------12分 设， 则， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成的角为，则，-------------------------------------------14分 解得或（舍去），所以的值为；-------------------------------------------15分 若选条件③：二面角的大小为. 由（1）可知即为二面角的平面角，即，又， 所以，-------------------------------------------11分 则，， 设， 则， 设平面的法向量为，则，取，-------------------------------------------12分 设直线与平面所成的角为，则，-------------------------------------------14分 解得或（舍去），所以的值为.-------------------------------------------15分 17．（15分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 【解析】 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ，-------------------------------------------3分 故第60百分位数落在内，设其为， 则， 解得，故第60百分位数为125；-------------------------------------------5分 【小问2详解】 一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个，------------------------------------------6分 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2， ，，，--------------------------------7分 故的分布列如下： 0 1 2 数学期望为，-------------------------------------------8分 方差为-------------------------------------------9分 【小问3详解】 的可能取值为， ，-------------------------------------------10分 ，-------------------------------------------11分 ，-------------------------------------------12分 故， 令，设，则， 因为，-------------------------------------------13分 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，-------------------------------------------14分 当，即时，取最大值-------------------------------------------15分 18．（17分） 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； （3）已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 【解析】 【小问1详解】 ，令，解得或，------------------------------2分 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的单调递增区间是和， 单调递减区间是.-------------------------------------------5分 【小问2详解】 设切线分别与和交于， 的导数为，的导数为，------------------------------------------6分 所以处切线方程为，处切线方程为， 由公切线可知，，------------------------------------------7分 所以，化简可得， 因为公切线有两条，所以有两个根； 设，所以，------------------------------------------8分 因为均在上单调递增，所以在上单调递增，------------------------------------------9分 且，所以存在唯一使得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以且， 所以，-------------------------------------------10分 由对勾函数性质可知在时单调递增， 所以，所以， 且时，，时，， 所以若有两个根，则，故整数的最小值为.-------------------------------------------10分 【小问3详解】 的定义域为，-------------------------------------------11分 由题意可知，是方程的三个根； 当时，令，所以， 令，所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递增，且；-------------------------------------------12分 当时，令，所以，由解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且，， 作出的简图如下图所示， 由图象可知，，-------------------------------------------13分 要证，只需证，即证， 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以只需证，且，-------------------------------------------14分 所以只需证，即证（*）； 设， 所以， 所以， 因为，对称轴且开口向下， 所以在上单调递增，-------------------------------------------15分 所以，所以在上单调递减， 所以，所以对恒成立，-------------------------------------------16分 所以（*）成立，即成立.-------------------------------------------17分 19．（17分）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 【解析】（1）一次操作后可能的复数为：1，i，，，，，-------------------------------3分 （2）一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2--------------------------------4分 由，故X的取值为1，，2，3，，4 ，，.------------------------------------------6分 ，，，-------------------------------------------8分 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P -------------------------------------------10分 （3）若为实数，则或.-------------------------------------------11分 而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，， 设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为， 于是， 从而，即 因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系. （ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）；-------------------------------------------13分 （ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）；-------------------------------------------14分 （ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）；-------------------------------------------15分 因此由全概率公式可以得到：-------------------------------------------16分 变形得，其中，故-------------------------------------------17分 11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 6 8 0 B D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABC BD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2子 13.-25 11π 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【解析】(1)在ABC中，由正弦定理及csin B+√3 bcosC=√3a, sinBsin C+3sinB cosC=3sin A =3sin(B+C)=3sin BcosC+3 cos Bsin C, -2分 即sinBsin C=v3 cos Bsin C,而C∈(0，元)，sinC≠0， --3分 解得anB=V5,又Be(0,),所以B= 3 -5分 （2)由B=及b=5,余弦定理得3=c2+a2-ac=c+a2-3ac,6分 3 又a+c=2,解得ac=号 7分 由S.c=Soo+Saxe符esin= B.1 2e-BD.sin B a·BD.sin 22 甲ac号De+o0sn爱为x5-Dx2 1 32 2 1/10 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以BD= -8分 6 (3)因为E是AC的中点，所以BE=)(BA+BC), 9分 则BE-(B+2B-Bc+BC）e2+d2+ad= 3+2ac 4 b 由正弦定理得，aC= sinA.b -sinC =4sinAsinC =4sinAsin sinB sinB 即ac=23sin4cosA+2sin2A=√5sin2A-cos2A+1=2sin2A-6+l，- --10分 0<A< 2 ABC为锐角三角形， 2-A< 所以A∈ 所以24-∈5 66'6 0 3 2 所以n24-引小，所aec=22a-引1e2。 所以-3+2c(? 44 -12分 73 所以BE∈ 73 22 即边AC上的中线BE的取值范围为 22 ----13分 16.(15分) 【解析】 【小问1详解】 取AD的中点O,连接OC、OP,因为PA=PD=AD=CD=2,-- -1分 所以P0⊥AD,又∠ADC=60°，所以0C=V1P+22-2x1×2cos60°=√5， 所以0D2+0C2=DC2，即∠COD=90°，所以0C14D， 3分 又OC∩OP=O,OC,OPc平面POC,所以AD⊥平面POC,- -5分 又PCc平面POC,所以PC⊥AD; -6分 2/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【小问2详解】 C B 因为AD∥BC,∠DAB=90°，又OC⊥AD,所以OC∥AB,所以四边形ABCO为矩形， 如图以O为坐标原点，Oz⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0),D(-1,0,0),C0,5,0,B1,V5,0: --9分 若选条件O:PB1AD,显然P∈平面O2,设P(0,b,c)(b>0,c>0): -11 分 则8P=(-1,b-5,cDA=(20,0) -12分 所以BP.DA=-2≠0，与PB上AD矛盾， --14分 故条件①不符合题意；- -15分 若选条件②：PC=V5,显然Pe平面Oz,设P(0,b,c)(b>0,c>0): V0-12+b2+c2=2 。33 11分 b-5+2=5 c=2 a9副9引两- -12分 设PG=1PB(0<1<1, 则CG=CP+PG=CF+APB= 99引 元，AD=-2x=0 设平面PAD的法向量为i=(x,y,z),则 -x+5-0=5.-小 2P+ 3/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 CG. 3-31 21 设直线CG与平面PAD所成的角为O,则sin0 cG-同2√2+32-1 7， --14分 解得元=或入=3（舍去），所以PG 3 3 的值为 -15分 PB 5 若选条件③：二面角P-AD-B的大小为60 由(1)可知∠POC即为二面角P-AD-B的平面角，即∠P0C=60°，又P0=√22-1P=√5， -11分 5引引m9岛 设PG=1PB(0<2<1), 则CG=CP+PG=CP+PB= i,AD=-2x=0 设平面PAD的法向量为i=（x,y,z,则 -12分 CG.n 3-31 √2i 设直线CG与平面PAD所成的角为O,则sin6= cG同22+32-1 7， --14分 PG的值为 解得入=2或元=3（舍去），所以PB -15分 5 17.(15分) 4/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】 【小问1详解】 该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 (105×0.005+115×0.040+125×0.030+135×0.020+145×0.005)×10=123: 0.005+0.040×10=0.45<0.6,(0.005+0.040+0.03×10=0.75>0.6,- 3分 故第60百分位数落在[120,130)内，设其为x, 则(0.005+0.040×10+(x-120)×0.030=0.6, 解得x=125,故第60百分位数为125： -5分 【小问2详解】 0.02+0.0051 一级口罩与二级口罩的个数比为 .005+0.04+0.033 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口聚有8×，，=2个，二级口罩有8×3 =6个， -6分 1+3 1+3 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为1，”的可能取值为0,1,2， C28 -7分 故门的分布列如下： n 0 1 2 1 3 14 28 28 数学期望为E)=0× 5+1x5+2x3= ×284 8分 14 28 方为m=0八-5--品 -9分 【小问3详解】 X的可能取值为0，n,2n, 2cos 2cos ，--10分 5/10 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2cosπ 2cos- 4πc0s 2cos P(X=n)= π n1- nn,. n -11分 2c0sπ2mc0sT P(X=2n)=- n= -12分 n2 n 3 4πcos 2cosπ 2xcos 故E(X)=0+n π +2n 1=+2cos n 设f(t)=2cosπt+f,则E(X)=ft), 因为f=x-2xsin1=2m -sin xt -----13分 当og>0当6，<0， 上单调递减， -14分 当1=，即m=6时，EX)=f4取最大值 -15分 6 18.(17分) 【解析】 【小问1详解】 f'(x=2xe+x2e=x(x+2)e,令f'(x=0,解得x=0或x=-2,-----2分 当x∈(-o,-2)时，f'(x>0,f(x)单调递增， 当x∈(-2,0)时，∫(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(0，+o）时，f'(x)>0,f（x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-0，-2)和(0，+∞)， 单调递减区间是(-2,0) --5分 【小问2详解】 设切线分别与y=e"和y=ln(x+l)交于Ax,e+),B(x,ln(x+1), 6/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 y=em的导数为y'=e+m,y=n(x+)的导数为y= -6分 x+1 以A处切线方程为y=ek-+e,B处切线方程为y十x-+n(长+切 e+m三1 +1 台x+m=-ln(x+l 由公切线可知， 7分 cm-xetm=In(+1)- x5+1 所以 h5+-mm(飞+)，化简可得m=,n(x+二本卫 x+1 x+1 因为公切线有两条，所以m=x,l(x,+-x,-1x,>-有两个根： 设(=血(x+小--1(x>-,所以'x)=n(x+1+天-1=n(x+1)-1 x+1 -8分 因为y=n(x+1,y=-均在(-1，+o)上单调递增，所以1x)=n(x+1)-在(-1+∞)上单调 x+1 x+I 递增， ……9分 r0=-10,r=n2-》nc-)0,所以存在唯-x∈(0,1使得x)=0, 当x∈(-l,x)时，t(x<0,x)单调递减，当x∈(x,+o)时，t(x>0,tx单调递增， 所以==h(,+1小-x-1且(+-=0， x+1 、 -10分 由对勾函数性质可知y=x+1+ 无+1在无∈(0，刂时单调递增。 所以1+引所a-小月 且x→-1时，1(x)→+0，x→+0时，1(x→+0， 所以若m=tx有两个根，则m>t(x,),故整数m的最小值为-1 -10分 【小问3详解】 (x=(x-1g-1-“的定义域为-o,-1U(1,+∞)， -11分 7/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 由题意可知，x,x,3是方程(x-1)g-1=口的三个根； 当xe(-0,-l时，令p(=(x-ln(-x-l,所以p(x)=ln-x-+ x+l hx-上陈以r四+任+t23 x+1(x+2(x+2 当x∈-o,-3)时，r'(x<0,r(x单调递减，当x∈-3，-1)时，r（x>0,rx单调递增， 所以r(x)mm=r(-3列=ln2+2>0,所以p'(xm=p'(-3)=lh2+2>0, 所以p(x在(-o,-上单调递增，且p(-2)=0； -12分 当x∈1，+o)时，令qx)=(x-ln(x-1,所以g(x)=n(x-+1,由g(x)=0解得x=1+, 当x1+日时、9到<0,9单消递该。当（+日切时9>0，g国单递塔。 e 作出y=(x-1)n(x-,y=“的简图如下图所示， y=(x-1)ln(x-1) V= 由图象可知，-2<x<-1,1<x2<1+ <x<2, -13分 e 要证5++5>足.只需证+>2+2，即证无>2+2-飞， 2 e 因为1<5<1+占，所以1+<2+2-5<2+1<2， 2 ee 又因为9国=(-(x-刂在〔+2小上调递路。 所以只需证>后+2-小且9=g, -14分 8/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以只装证>任+2-小即-(-小-+1-)+1小0 段----民-[1-u》 a-小后层1， 断=h-+n1-a=x-21小2 因为y=-任1--+引-（民小对x=1+且和向 所以=红-后+1-u+上 -15分 所u<:片小任1-12=0，所u+日 上单调递减， ee --16分 所以（四成立，即馬+5+无>2成立一 -17分 e 19.(17分) 【解析】(1)一次操作后可能的复数为：1，i,,√i,1+√5i,3+i, 我 (2)一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1,1，√5，√3,2,2 .4分 由z=,故X的取值为1,5,2,3,25,4 PX==gPX=-gP叫x=2-8 -6分 9 PX==gPX=2=gPX=列=g -8分 所以X的分布列为 X 1 3 2 3 2V5 1 1 P 2 29 1-9 29 9 9/10 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -10分 (3)若云为实数，则argz)=0或π -11分 而1，i,5,√5i,1+√5i,√5+i的辅角主值分别是0， ,0,,π.π」 2'3'6 设在n次操作中，得到i,√i的次数为a。,得到1+√Bi的次数为bn,得到√3+i的次数为Cn, 于是=a+6+6石- 2b+cm-ko 3 从而a 2b+C-k,=,e0,1,即2b+c.=36+k。-a, 3 因此，所有的概率Q即为2b.+C。是3的倍数的概率，下面研究Q与2之间的关系 C1)26,+c,是3的倍数，且第n+1次操作得到的复数是1，i,5,5(概率为)，· 3 -13分 (i)2b,+C,被3除余1，且第+1次操作得到的复数是1+5（概率为），· 6 -14分 ()2b,+c,被3除余2，且第m+1次操作得到的复数是√3+i(概率为二)；- 6 -15分 因此由全幸公式可以有Q一号0+-Q)-0+号 1 ,1 -16分 6 6 -17分 10/10 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第一次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数 A 1012 B. 1350 C.1348 D. 1352 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 5.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在最大值为9 D. 7.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数是8 C. 75%分位数是9 D. 方差为4 10.已知三次函数，则（ ） A. 当时，函数为单调递增函数 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 存在，使得函数图象关于直线对称 D. 函数有三个零点的一个充分条件是 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于32 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 13.的展开式中的系数为______． 14.已知函数在区间上的值域为，且，则的值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 16．（15分）如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. （1）证明：； （2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 17．（15分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 18．（17分） 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； （3）已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 19．（17分）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第一次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数 A 1012 B. 1350 C.1348 D. 1352 4. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 5.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在最大值为9 D. 7.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6，6，7，8，9，9，9，10（位：环），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数是8 C. 75%分位数是9 D. 方差为4 10.已知三次函数，则（ ） A. 当时，函数为单调递增函数 B. 当时，函数的图象关于对称 C. 存在，使得函数图象关于直线对称 D. 函数有三个零点的一个充分条件是 11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积不大于32 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________. 13. 的展开式中的系数为______． 14. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 16．（15分）如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，. （1）证明：； （2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：； 条件②：； 条件③：二面角的大小为. 在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. （注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.） 17．（15分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩. （1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； （2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； （3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值. 18．（17分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值； （3）已知，函数有3个零点为：，且，证明：. 19．（17分）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$