专题04 函数及其性质（6大考点）（江苏专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题04 函数及其性质 6大考点概览 考点01函数图像与变换 考点02函数单调性 考点03函数奇偶性与对称性 考点04函数周期性 考点05指对幂函数 考点06函数实际应用 ( 函数图像与变换 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得. 【详解】由题设，函数的定义域为，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，，故，排除C. 故选：A 2．（2026·江苏·一模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 3．（2026·江苏·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A ( 函数单调性 考点 2 ) 4．（2026江苏·一模）（多选）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB ( 函数奇偶性与对称性 考点 3 ) 5．（2026·江苏南通·一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据选项构造函数，利用判断A、B、D，根据奇函数的定义判断C. 【详解】对于A：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，A错误； 对于B：令，则定义域为，因为， 所以不是奇函数，B错误； 对于C：令，则定义域为， 因为 ，即所以是奇函数，C正确； 对于D：令，则定义域为， 因为，所以不是奇函数，D错误； 故选：C. 6．（2026·江苏·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 7．（2026·江苏南京·一模）（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对AB由简单的幂函数的性质可判断，对C由对勾函数的性质可判断，对D由函数的图象的平移及复合函数的单调性可得. 【详解】对于A：由 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于B： 是奇函数，在 上单调递增，正确. 对于C：是奇函数，但在 上单调递减，错误. 对于D：由函数的定义域为，且是奇函数， 又因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，图象如下， 所以在上单调递增，也是增函数，由复合函数的单调性可得在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 8．（2026·江苏·一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先根据奇偶性求得，，再结合指数函数和对数函数的大单调性，利用复合函数单调性法则分析函数的单调性，结合奇偶性分类讨论解不等式即可． 【详解】为奇函数，定义域需关于原点对称， ，即， 的解集关于原点对称，即， 为奇函数， ， ，则，解得， ，定义域， 当时，，则， 当时，，则， 又在和单调递增， 在和单调递减， 在和单调递减， 即， 即， 或或 解得或或， 故不等式的解集为． 故答案为：． ( 函数周期性 考点 4 )9．（2026·江苏·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周期为6 C． D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令，可得的范围，可判断C；举反例可判断D. 【详解】由 得，代入得，A 错误； 令 得， 用换 得， 两式相加得，即， 用换得，即， 用换得，所以 周期为 6，B 正确； 令 得 ，即 ， 由于，所以，因此，故 C 正确； 已知，，对赋值得： 令得， 令得， 令 ，若关于 对称，则 ， 但 ，，不相等，故 D 错误. 故选：BC ( 指对幂函数 考点 5 )10．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为正数可得，根据为正数及为上的增函数可得，从而可得正确的选项. 【详解】因为为正数，故. 由题设有， 而，故，故， 故，且， 故 设，因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. 11．（2026·江苏·一模）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 12．（2026·江苏南京·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，因此，即， 所以. 故选：B. 13．（2026·江苏·一模）有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（   ） A．1.28cm B．2.56cm C．12.8cm D．6.4cm 【答案】D 【分析】先利用对数运算求出最大对折次数，再根据指数增长计算对折后的最大厚度. 【详解】因为对折次数，所以这张纸最多能对折7次． 因为对折次后，纸张的厚度为，所以对折7次后纸张的厚度为. 故选： D. 14．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 15．（2026·江苏南京·一模）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． 【答案】(1)选择模型为，理由见解析， (2)（i）不能，理由见解析（ii）9km 【分析】（1）先根据定义域和单调性要求筛选出函数模型③，把已知点代入模型求出、的值，检验其余点是否在所得函数图象上确定解析式. （2）（i）计算载重9时飞行20km能耗并与300比较判断能否完成任务. （ii）先算出载重25时总能耗表达式，再根据能耗限制列不等式求解的最大值. 【详解】（1）选择函数模型③． 理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为； 二是“每千米能耗”随着“载重”的增多而增大． 因为模型①的定义域不可能为，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合； 因为模型③在有意义，且当时，单调递增，符合题意， 故应选择模型为． 将点（0，2），（1，7）代入得，解得， 所以． 经检验，点（4，12），（9，17），（16，22）都在函数的图象上， 所以所求的函数解析式为， 且当时，表示空载能耗. （2）由（1）得． （i）依题意，得， 所以该无人机不能完成本次配送任务． （ii）依题意，得， 所以，解得， 所以的最大值为9km． ( 函数实际应用 考点 6 )16．（2026·江苏·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 【答案】(1)分布列见解析，80.8 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 【分析】（1）依题意确定X的可能取值，并利用独立事件的概率乘法公式计算出对应的概率，列出分布列并计算出数学期望； （2）（ⅰ）分别求出支付金额的期望与优惠券成本的期望，代入期望利润的公式，计算即得；（ⅱ）利用求导判断的单调性，即可证明在内存在唯一极大值点，进而求得期望利润的最大值. 【详解】（1）由题可知，X的可能取值为100，90，80，70，60， ，， ，， ． 分布列为： X 100 90 80 70 60 P 0.2 0.24 0.16 0.24 0.16 数学期望为：． （2）（ⅰ）∵期望利润＝购买概率×（支付金额的期望－商品成本）－优惠券成本的期望， 则支付金额的期望为： ； 优惠券成本的期望为 ． ∴ ． （ⅱ） 令．解得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ∴在内存在唯一极大值点， 又， ∴当时，商家期望利润最大，最大期望利润约为6.7元． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数及其性质 6大考点概览 考点01函数图像与变换 考点02函数单调性 考点03函数奇偶性与对称性 考点04函数周期性 考点05指对幂函数 考点06函数实际应用 ( 函数图像与变换 考点1 ) 1．（2026·江苏·一模）已知函数，则它的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·一模）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． ( 函数单调性 考点 2 ) 4．（2026江苏·一模）（多选）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上单调递减，在上单调递增 D．不等式的解集为 ( 函数奇偶性与对称性 考点 3 ) 5．（2026·江苏南通·一模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏·一模）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏南京·一模）（多选）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·江苏·一模）已知函数（，且）为奇函数，则不等式的解集为______. ( 函数周期性 考点 4 )9．（2026·江苏·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的周期为6 C． D．的图象关于直线对称 ( 指对幂函数 考点 5 )10．（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江苏·一模）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏南京·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 13．（2026·江苏·一模）有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（   ） A．1.28cm B．2.56cm C．12.8cm D．6.4cm 14．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏南京·一模）在“M型无人机”物流配送场景中，无人机的载重（单位：kg，）会直接影响其每千米能耗（单位：Wh/km，Wh为电能单位）．某技术团队对该无人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重（kg） 0 1 4 9 16 每千米能耗（Wh/km） 2 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①，②，③． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300Wh，飞行环境、飞行参数控制不变．根据（1）中所得的函数模型， （i）某单程配送任务要求该无人机飞行20km，且载重9kg，判断该无人机是否能完成本次配送任务，并说明理由； （ii）若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行（单位：km），去程载重25kg，返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的，求的最大值． ( 函数实际应用 考点 6 )16．（2026·江苏·一模）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品．已知消费者闯过第一关的概率为p₀，闯过第二关的概率为p．某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的50%． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润=购买概率×（支付金额的期望-商品成本）-优惠券成本的期望） （ⅰ）求关于p的函数表达式； （ⅱ）证明：在内存在唯一极大值点，并求当p为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少？（结果保留1位小数） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $