精品解析：江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷

2024年“三新”协同教研共同体高一联考 数 学 试 卷 命题：宜春中学 廖小鹏 吉安一中 李云 审题：赣州中学 赖小恬 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时﹐选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. 2或 B. 2 C. 3 D. 或3 4. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与为同一函数 B. 函数（，且）的图象恒过点 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数（，且）的图象恒过点 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 已知函数在上单调递减，且为奇函数．若实数t满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，则 C. D. 若集合中只有一个元素，则 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在一个不为的实数，使得对任意实数均成立 C. 存在，使得成立 D. 在的图象上存在三个不同的点，，，使得为等边三角形 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. ，，且， C. 规定，，其中，则 D. 若，则方程有两个不等实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则__________． 13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________． 14. 已知满足不等式每一个的值至少满足两个不等式和中的一个，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求值； （2）求值：. 16. 已知函数为上的偶函数，且当时，． （1）在所给的网格坐标系中作出的图象； （2）求的解析式； （3）若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数的图象过点，且． （1）求解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 18. 通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：由偶函数知“函数的图象关于y轴对称”的充要条件是“，”． 推广1：“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”； 由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”． 推广2：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”． 已知函数． （1）求的定义域及单调区间． （2）判断的图象是否具有对称性．若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明；若没有，说明理由． （3）求不等式的解集． 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年“三新”协同教研共同体高一联考 数 学 试 卷 命题：宜春中学 廖小鹏 吉安一中 李云 审题：赣州中学 赖小恬 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时﹐选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式得集合，根据函数性质得集合，再根据补集与交集运算即可. 【详解】集合，， 则或，所以． 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定得结论即可． 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 3. 若幂函数在上单调递增，则（ ） A. 2或 B. 2 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出值，利用函数的单调性验证确定值. 【详解】由，解得或3， 因为在上单调递增，所以． 故选：C. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与为同一函数 B. 函数（，且）图象恒过点 C. 函数的单调递减区间为 D. 函数（，且）的图象恒过点 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域及函数性质分别判断各选项. 【详解】对于A：函数定义域为，的定义域为，定义域不同，A选项错误； 对于B：函数（且）的图象恒过定点， 又函数（且）的图象由函数 向右平移个单位，再向下平移个单位， 所以函数恒过点，B选项正确； 对于C：函数的单调递减区间为和，C选项错误； 对于D：函数（且）的图象恒过点， 函数（，且）的图象由函数 向右平移个单位，再向下平移个单位， 所以函数恒过点，D选项错误. 故选：B. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数与对数函数的单调性，取中间值可比较大小. 【详解】由函数在上单调递增， 则， 又函数在上单调递减， 所以，， 即， 综上所述，， 故选：D. 6. 对于实数x，规定表示不大于x最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程可得或1，即得，再根据题意，需使选项中的范围是区间的真子集，结合选项即得. 【详解】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是． 故选：D. 7. 若对于任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法求解的最小值，即可将问题转化为，解一元二次不等式即可. 【详解】依题意有， 因为,故，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，得． 故选：B 8. 已知函数在上单调递减，且为奇函数．若实数t满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，从而判断在上的单调性与奇偶性，从而转化不等式从而列不等式求解的取值范围，结合函数性质可得的取值范围. 【详解】记，则在上为奇函数且单调递减， 则不等式可转化为， 即，等价于， 所以可得，解得， 因为函数在上单调递增，所以的取值范围是． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 若，，则 C. D. 若集合中只有一个元素，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例可判断A选项，结合不等式性质可判断BC选项，分情况讨论方程解的情况，可判断D选项. 【详解】A选项：当，时，，但不满足，即 “”不是“”的充分条件，A选项错误； B选项：由题意得，，则，B选项正确； C选项：由， 得， 所以，即，C选项正确； D选项：若集合中只有一个元素，则或，得或，D选项错误； 故选：BC. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数为狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 存在一个不为的实数，使得对任意实数均成立 C. 存在，使得成立 D. 在的图象上存在三个不同的点，，，使得为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的定义直接判断各选项. 【详解】若，则，得， 若，则，得，A选项正确； 因为，所以，B选项正确； 若，则，， 若，则，，C选项错误； 取，，，得到为等边三角形，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. ，，且， C. 规定，，其中，则 D. 若，则方程有两个不等实数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数性质确定的单调性与奇偶性，根据复合函数的单调性即可判断A；不妨设，作差，变形判断符号即可得判断B；根据复合函数的性质得，，从而可判断C；确定函数的取值范围和图象性质即可得的取值范围，从而判断D. 【详解】易得的定义域为，所以，所以为奇函数． 当时，是增函数， 因为，所以．故在上单调递增，且． 因为函数的单调递增区间为， 所以根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，A正确． 当时，，,，且，不妨取， 所以， 因为，,，且，所以， 故，所以，B正确． 当时，，所以，， ，，…， ，代入可得，C正确． 因为，则曲线如图所示： 当方程有两个不等实数根时，可得，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法可得函数值. 【详解】令，得， 所以， 故答案为：. 13. 若函数是上的增函数．则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数与一次函数单调性列不等式求解即可. 【详解】函数是上的增函数． 则可得解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知满足不等式的每一个的值至少满足两个不等式和中的一个，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式，可知集合间的关系，根据集合间的关系列不等式，解不等式即可. 【详解】由，得,故， 设集合， 又由，得，故 设集合， 所以． 设函数，易知的解集不是空集， 设的解集，则，即， 所以解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的值； （2）求值：. 【答案】（1）7（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数运算结合完全平方公式求解即可； （2）根据指数运算法则、对数运算性质、换底公式化简运算即可. 【详解】（1）因为， 两边平方得，则， 将两边平方，得， 所以； （2）原式 . 16. 已知函数为上的偶函数，且当时，． （1）在所给的网格坐标系中作出的图象； （2）求的解析式； （3）若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出当时函数图象，再结合偶函数可得当的图象； （2）根据偶函数的定义直接求解析式； （3）根据函数单调性与图象可知整数解，进而列不等式即可. 【小问1详解】 函数图象如图所示； 【小问2详解】 由已知函数为偶函数，且当时，， 当时，，， 所以， 综上所述； 【小问3详解】 由图象可知函数在上单调递增，在上单调递减， 可知这三个整数解分别为，，， 因为，， 所以． 17. 已知二次函数的图象过点，且． （1）求的解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出，再利用其过点即可求出解析式； （2）求出，令，根据其单调性求出其值域，再根据得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由可知图象的对称轴为直线， 则，得． 由，得． 故． 【小问2详解】 由题意得为增函数． 当时，． 令， 根据在上单调递减， 则上单调递减， 所以． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 18. 通过对函数奇偶性的学习，我们可分别做两个推广：由偶函数知“函数的图象关于y轴对称”的充要条件是“，”． 推广1：“函数的图象关于直线对称”的充要条件是“，”； 由奇函数知“函数的图象关于原点对称”的充要条件是“，”． 推广2：“函数的图象关于点对称”的充要条件是“，”． 已知函数． （1）求的定义域及单调区间． （2）判断的图象是否具有对称性．若有，请写出它关于什么对称，并参考上述推广加以证明；若没有，说明理由． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）定义域为，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）的图象具有对称性，且的图象关于直线对称，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质列不等式组可得函数定义域，再根据复合函数的单调性得单调区间即可； （2）根据推广性质即可得函数具有对称性，并且可得函数的对称轴； （3）根据函数的对称性与单调性列不等式即可得解集. 【小问1详解】 函数的定义域满足，解得， 所以的定义域为． 由题意得， 由于函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又函数为增函数， 由复合函数的单调性可得，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 的图象具有对称性，且的图象关于直线对称． 因为， 根据推广可知的图象关于直线对称． 【小问3详解】 由（1）和（2）可得，解得， 故不等式的解集为． 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的对称可知，再由奇函数的定义列方程解方程； （2）代入函数解析式，分离常数构造新函数，利用换元法结合对勾函数的单调性可得最值，进而确定参数范围； （3）根据指数与对数运算化简可得，构造函数，利用定义法可确定函数单调递增，则可得，即，进而可得解. 【小问1详解】 由已知函数与的图象关于直线对称， 则， 则， 又函数是奇函数， 所以， 整理可得， 又不恒为，所以， 此时或， 均满足奇函数， 所以； 【小问2详解】 由，即， 由（1）得， 则可转化为， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 即在上的最大值为， 即， 所以，即； 【小问3详解】 由实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，， 令，，则 设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因方程等价于， 所以，即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$