14.1.1 直角三角形三边的关系 课件 2024--2025学年华东师大版八年级数学上册

第14章 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系 1 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标. 会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 新课导入 观察正方形瓷砖铺成的地面. (1) 正方形 P 的面积是 平方厘米； (2) 正方形 Q 的面积是 平方厘米； (3) 正方形 R 的面积是 平方厘米. 1 2 1 R Q P A C B SP + SQ = SR 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ [图中每一格代表一平方厘米] AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ 新课讲授 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 想一想 这说明在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方. P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 9 4 (每一小方格表示 1 平方厘米) 图 2 新课讲授 把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. S正方形R =4 =13 “割” 新课讲授 把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R = =13 “补” 新课讲授 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 (每一小方格表示 1 平方厘米) 图 2 新课讲授 Q P R 把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. S正方形R A B C =4 =13 “割” 新课讲授 Q P R 把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积. S正方形R A B C = =13 “补” 新课讲授 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 (每一小方格表示 1 平方厘米) 图 2 Q P R A B C 新课讲授 P Q R A B C (每一小方格表示 1 平方厘米) 图 3 P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度) 图 2 图 3 P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系 9 4 13 SP + SQ = SR BC2 + AC2 = AB2 试一试 9 16 25 BC2 + AC2 = AB2 课本109页图 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 做一做 A B C 5cm 12cm 13cm 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 猜想： a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： 提示：上述这种方法是用面积法 新课讲授 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就. 勾 股 a b c 股 勾 弦 读一读 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a2+b2=c2 概括 勾股定理： 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 新课讲授 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）. A B C BC2 + AC2 = AB2 a b c （c最大） 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理. a a a a b b b b c c c c 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . (a + b)2 即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 = c2. 做一做 c b a c2 b b a a ＝ c c c c c2 b2 a2 c2＝a2＋b2 新课讲授 求下列图形中未知边的长度或未知正方形的面积。 已知直角三角形两边，求第三边. 例1 例题讲解 12 利用勾股定理求正方形的面积. 9 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 . 16 cm 20 cm 144 cm² 当堂练习 20 2. 在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，CB = 8， 则△ABC 面积为_____， 斜边为上的高为______. 24 4.8 A B C D 当堂练习 例2 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC. 例题讲解 3. 填空题 （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=________； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=________； （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是5和12，则它的第三边长是________. 13 15 当堂练习 13或 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 作 业 1. 求下列图形中未知边的长度或未知正方形的面积。 （1） （2） （3） （4） 课本111页练习第1、2题。 $$