精品解析：重庆市第八中学校2024—2025学年九年级上学期第三学月月考数学试题

重庆八中2024—2025学年（上）第三学月九年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 3. 点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，半径为5的，直径垂直于与，点为弧上一点，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 11. 计算：_______． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 13. 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为400元。因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为384元，则_______． 14. 小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是_______． 15. 如图，在中，，点，点是线段上的点，连接．若为等边三角形，，则_______． 16. 如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为_______． 17. 如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为_____，圆O的半径为_____． 18. 一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是_______；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 某校在七、八年级中开展了安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组： A．；B．，现在给出了部分信息如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：93，94，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 众数 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） （3）若该校七、八年级共600名学生参加了此次竞赛，试估计这600名学生中此次竞赛成绩为优秀的学生总人数． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过顶角顶点作底边的垂线，交于点；在的下方作，与交于点，连接． （2）小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空． 证明：，， ，①_______， ， ②_______， ， 又， ， ③_______ 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 小明进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是 ④_______， 22. 重庆火锅深受全国游客的的喜爱，其中毛肚和鸭肠是最畅销的两款菜品，某网红火锅店2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元． （1）求毛肚和鸭肠的单价； （2）元旦将至，火锅店的食材进价上涨了，其中某网红菜品的每份进价上涨了，涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，求该网红菜品涨价前的每份进价． 23. 如图，在四边形中，平分．动点从点出发，沿方向以每秒的速度运动，运动至点停止运动．设动点运动的时间为秒的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）若函数，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 24. 周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到景点的距离。（结果保留根号） （2）小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、C两点，其中点C为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线上方抛物线上一动点，点M为直线上一动点，轴于点N，连接、、，当的面积取得最大时，求的最小值； （3）如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交x轴于点O，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26. 已知，与均为直角三角形，． （1）如图1，若点共线，连接，且，求的长； （2）如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； （3）如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年（上）第三学月九年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 如图，是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 圆柱 D. 圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据有两个视图是长方形，一个视图是圆，可知该几何体是圆柱． 【详解】解：主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，则该几何体是一个圆柱， 故选：C． 3. 点和点都在直线上，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先根据判断函数的增减性，再比较横坐标的大小即可． 【详解】解：∵， ∴在第一象限y随x的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴． 故选：A． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查必然事件，关键是理解必然事件就是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．必然事件就是一定会发生的事件，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，正确； B、守株待兔是随机事件，不符合题意； C、大海捞针是随机事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 5. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减：合并同类项，熟记整式的运算法则是解题关键．根据整式的加减：合并同类项逐项计算即可． 【详解】A．3与不是同类项，不可合并，则此选项错误； B．与不是同类项，不可合并，则此选项错误； C．，则此选项正确； D．与不是同类项，不可合并，则此选项错误； 故选：C． 6. 如图，点都在格点上，点是线段与网格的交点，每个小格是长度为1的正方形，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7. 如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用各选项的数分别除以，根据商结合数轴上AO、OB间的距离进行判断即可. 【详解】A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意； B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意； C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意； D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键． 8. 如图，半径为5的，直径垂直于与，点为弧上一点，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，扇形面积公式等；由垂径定理得，矩形的判定及性质，，由平行四边形的判定及性质得，由扇形的面积公式即可求解；掌握垂径定理及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：直径垂直于与， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 为边的中点， ， 沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， 中，， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知，从中随机取两个字母作差后取绝对值，记为；将剩下两个字母中任意一个与作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称为“调整和差操作”．例如：如果且，则为一次“调整和差操作”，为“调整和差操作”的一种运算结果．下列说法： ①存在“调整和差操作”运算结果的和为； ②不存在“调整和差操作”运算结果的差为； ③所有的“调整和差操作”共有11种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，化简绝对值，列举出所有可能结果，逐项判断即可． 【详解】解：根据题意，所有的“调整和差操作”共有12种形式，运算A时，需考虑6种情况；运算B时，需考虑12种情况．得出： （1）当，时，； （2）当，时，； （3）当，时，； （4）当，时，； （5）当，时，； （6）当，时，； （7）当，时，； （8）当，时，； （9）当，时，； （10）当，时，； （11）当，时，； （12）当，时，； 综上，得8种不同运算结果，因此题目的说法③不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的和为，因此题目的说法①不正确； 不存在“调整和差操作”运算结果的差为，因此题目的说法②正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂进行计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 13. 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为400元。因销量持续攀升，商家在3月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率连续降价．已知5月份礼盒的售价为384元，则_______． 【答案】0.2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为，根据“5月份礼盒的售价为384元”作为相等关系得到方程，解方程即可求解．注意解的合理性，从而确定取舍． 【详解】解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为0.2，即． 故答案为：0.2． 14. 小明和小华所在的班级需要到校大礼堂统一听讲座，该校大礼堂共有4个入口，每个学生可以选择其中任意一个入口进入大礼堂．则小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． 设该校大礼堂个入口分别为，，，，根据题意画出树状图，由树状图可以得出小明和小华进入校大礼堂的情况总数及小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况数，然后代入概率公式求概率即可． 【详解】解：设该校大礼堂个入口分别为，，，， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可以看出，小明和小华进入校大礼堂的情况共有种，其中小明和小华从不同入口进入校大礼堂的情况共有种， 小明和小华从不同入口进入校大礼堂的概率是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点，点是线段上的点，连接．若为等边三角形，，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，根据题意得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ 解得:， 故答案为：． 16. 如果关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．不等式组整理后，由已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由方程的解为整数确定出的值，进而确定出满足题意的所有的值，求出它们的和即可． 【详解】解：解不等式组，得：， 不等式组至少有三个整数解， ∴，至少有，0，1三个整数解 ， 解得：， 解关于的分式方程， 得：，且， ∴， 分式方程解为非负整数，且， 符合条件的所有整数的值为，，，， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：8． 17. 如图，四边形内接于圆O，连结，为圆O的直径，E是的中点．过点E作圆O的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为_____，圆O的半径为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接，， ∵E是的中点， ∴ ∴由勾股定理得： 为直径， ∴， ∴半径为 故答案为： 18. 一个正整数能够写成两个正整数与的差与它们的乘积之和，即，那么叫做“成长数”．例如，所以与都是“成长数”．若，则满足条件的“成长数”中最大的数是_______；若，取、中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．记，，若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“成长数”的值为_______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，列代数式、整除、有理数的混合运算等知识点，解决本题的关键是利用分类讨论的思想分情况计算． 首先根据，所以可得，然后根据“成长数”的定义进行计算即可； 首先根据为完全平方数，可得或，再根据能被整除，可得，分两种情况求出满足条件的、的值，根据“成长数”的定义计算出结果即可． 【详解】解：，则， 这个“成长数”为：， 整理得：， 当时，这个“成长数”有最大值，最大值是； 由题意可得：，， 则，， ， 、都为整数且， ，且为整数， 又是完全平方数， 或， 或， 能被整除， 则(为整数)， 整理得：， 、都为整数且， 为正整数， 当时，， 整理得：， 当时，， 则此时，则， ，故符合题意， 当时，， 整理得：， 不存在的值使为到之间的整数， 符合题意的只有、， 此时的“成长数”为． 故答案为：， ． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）把括号里通分，并把除法转化为乘法，再把分子分母分解因式约分化简． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 20. 某校在七、八年级中开展了安全知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组： A．；B．，现在给出了部分信息如下： 七年级10名学生的竞赛成绩：81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：93，94，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 92.5 众数 100 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出的值． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好？请判断并说明理由．（写出一条即可） （3）若该校七、八年级共600名学生参加了此次竞赛，试估计这600名学生中此次竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1），， （2） 解：八年级抽取的学生对安全知识的掌握程度更好， 理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于七年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）； （3）240人 【解析】 【分析】（1）用1减去其它组的百分比即可求出的值，根据中位数、众数的计算方法进行计算即可求出和的值； （2）比较中位数、众数的大小得出答案； （3）根据样本中七、八年级优秀人数所占的百分比即可求解． 本题考查中位数、众数以及样本估计总体，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，， ， 八年级组的有2人，组的有1人，组有3人， 将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95， 因此中位数， 七年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计这600名学生中此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数是240名． 21. 如图，在中，． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过顶角顶点作底边的垂线，交于点；在的下方作，与交于点，连接． （2）小明想要研究四边形的形状，请根据他的思路完成以下填空． 证明：，， ，①_______， ， ②_______， ， 又， ， ③_______ 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 小明进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是 ④_______， 【答案】（1）图见解析 （2），，，正方形 【解析】 【分析】（1）用直尺和圆规按要求完成作图即可； （2）由等边对等角及三线合一可得，，进而可得，由内错角相等两直线平行可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形和菱形；进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则可判定四边形相应的形状． 【详解】解：（1）按照要求作图如下： （2），， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 进一步思考，若在等腰直角三角形中进行以上操作，则四边形的形状是正方形， 故答案为：，，，正方形． 【点睛】本题主要考查了作垂线（尺规作图），作角（尺规作图），等边对等角，三线合一，内错角相等两直线平行，对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法及（特殊）平行四边形的判定是解题的关键． 22. 重庆火锅深受全国游客的的喜爱，其中毛肚和鸭肠是最畅销的两款菜品，某网红火锅店2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元． （1）求毛肚和鸭肠的单价； （2）元旦将至，火锅店的食材进价上涨了，其中某网红菜品的每份进价上涨了，涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，求该网红菜品涨价前的每份进价． 【答案】（1）38元，30元 （2）25元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设毛肚和鸭肠的单价分别为元，元，根据2份毛肚和3份鸭肠共166元：4份毛肚和5份鸭肠共302元，列出方程组，解方程组即可； （2）设该网红菜品涨价前的每份进价为m元，根据涨价后花1500元进货该菜品的份数比涨价前花同样的钱进货的该菜品份数少了10份，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设毛肚和鸭肠的单价分别为元，元，由题意得： ， 解得：， 答：毛肚和鸭肠的单价分别为38元，30元． 【小问2详解】 解：设该网红菜品涨价前的每份进价为m元，由题意得： ， 解得：， 经检验：为原分式方程的解，且符合题意， 答：设该网红菜品涨价前的每份进价为25元． 23. 如图，在四边形中，平分．动点从点出发，沿方向以每秒的速度运动，运动至点停止运动．设动点运动的时间为秒的面积为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）若函数，在给定的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）图象见详解；当时，随的增大而增大；当时，的值恒为9． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一次函数和反比例函数交点的意义、解直角三角形以及一次函数的性质， 根据运动的时间求得，则为等边三角形，结合平行得，过点P作交于点E，过点D作交的延长线于点F，分点P在线段上运动、点P在线段上运动和点P在线段上运动，列关系式求解； 利用描点法画出图象即可；再结合图像写出对应的性质即可； 结合图象的位置关系即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，每秒的速度运动， ∴整个路径长度为， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， 过点P作交于点E，过点D作交的延长线于点F，如图， 则， 当点P在线段上运动时，，则， 当点P在线段上运动时，，此时，，则， 当点P在线段上运动时，，此时，，则， 则 【小问2详解】 解：如图， 由图可得：当时，随的增大而增大；当时，． 【小问3详解】 解：由图像可知，当或时，满足． 24. 周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点钓鱼．如图，为同一平面内的四个景点．已知景点位于景点的正东方向，景点位于景点的正东方向，景点位于景点的西南方向3000米处，景点位于景点的南偏西方向，景点位于景点的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点到景点的距离。（结果保留根号） （2）小宏选择路线以米/秒前往景点处，小帆选择路线以米/秒前往景点，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点．（结果保留1位小数） 【答案】（1）米 （2）小宏 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，方位角的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过作于，过作于，根据，求出结果即可； （2）分别求出小宏所用时间（秒），小帆所用时间（秒），然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：过作于，过作于，如图所示： 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 答：景点D到景点的距离为米． 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为矩形 ， 在中，， ， ， ∴， 在中，， ， ∴， ， 小宏：（秒）， 小帆：（秒）， ， 小宏先到达景点． 答：小宏先到达景点． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、C两点，其中点C为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线上方抛物线上一动点，点M为直线上一动点，轴于点N，连接、、，当的面积取得最大时，求的最小值； （3）如图3，将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点，交x轴于点O，点Q为平移后新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标，将A，C两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点C作轴于K，连接，设，根据，构建二次函数的最值确定点P的坐标，设直线交x轴于G，则，连接，再根据两点之间线段最短的性质即可求解； （3）先求出点B的坐标，得出的长，利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线为，设点的坐标为，连接，分两种情况：①点Q在的上方；②点Q在的下方，分别利用相似三角形的性质列出方程解出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， ， 代入和到，得， 解得：， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，过点C作轴于K，连接， 由（1）得，，， ， ，， 设， ， ， 当时，的面积取得最大值8，此时点的坐标为， 如图2，设直线交x轴于G，则，连接， 轴，轴， ， 又， 四边形是矩形， ，， ， ， 当点与点重合时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 的最小值为． 【小问3详解】 解：令，解得， ， ， 抛物线， 将抛物线沿着水平方向平移， 设平移后的抛物线为， 代入和得，， 解得：， 平移后的抛物线为， 设点的坐标为，连接， 分两种情况： ①当点Q在的上方时，如图3，过点E作轴于L，过点B作于H，过点Q作于， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，即， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； ②当点Q在AE的下方时，如图4，过点Q作于， 由①得，，， ，， ， ，即， 解得：，（舍去）， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 26. 已知，与均为直角三角形，． （1）如图1，若点共线，连接，且，求的长； （2）如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； （3）如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故； （3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解． 【小问1详解】 解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $