7.1 为什么要证明 课件 2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明 1 思考：两图中的中间圆大小一样吗？ 问题引入 以前,我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个! 2 是静还是动？ 问题引入 3 思考：图中的横线平行吗？ 你觉得观察得到的结论正确吗？ 问题引入 图①中两条线段a,b的长度相等吗?图②中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论. 解:直接观察可能得出结论:题图①中线段a比线段b长,题图②中的四边形不是正方形.而实际上,线段a与b相等,四边形是正方形,可借助测量检验. 情境：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道 之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头. 探究新知 通过直观观察得到的结论,有可能是不正确的,别太相信自己的眼睛和直觉. 数学的结论必须经过严格的论证 一 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够； 必须经过一步一步、 有根有据的推理. 请举例说明，你用到过的推理. 探究新知 7 [实践探索] (1)代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有自然数n,n2-n+11的值都是质数? 解:代数式n2-n+11的值不一定是质数.当n=0时,n2-n+11=11;当n=1时,n2-n+11=11;当n=2时,n2-n+11=13;当n=3时,n2-n+11=17;当n=4时,n2-n+11=23;当n=5时,n2-n+11=31.所以当n=0,1,2,3,4,5时,n2-n+11的值都是质数.不能由此得到结论.因为当n=11时,n2-n+11= 121,121不是质数,所以并不是对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数. 费 马 对于所有自然数n， 的值都是质数. 当n=0，1，2，3，4时， = 3，5，17，257，65 537 都是质数 欧 拉 当n=5时， = 4 294 967 297= 641×6 700 417 举出反例是检验错误数学结论的有效方法. 大数学家也有失误 数学史 (2)如图7-1-2,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE. DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗? 图7-1-2 [概括新知] 实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确.因 此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、 归纳是不够的,必须进行　　　　　　　　.  有根有据的证明 1.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 2.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法. 归纳总结 12 应用一　实验验证结论 例1 先观察再验证: (1)图7-1-3①中的实线是直的还是弯曲的? (2)图②中两条线段a与b哪一条更长? 图7-1-3 解:观察可能得出的结论: (1)中的实线是弯曲的; (2)a更长一些. 用科学的方法验证可发现: (1)中的实线是直的; (2)a与b一样长. 学 方法 验证结论的常用方法 (1)实验验证法;(2)举反例法;(3)推理论证法.其中实验验证法 用于检验一些比较简单的结论;举反例用于说明结论不正 确;推理论证主要用于严格的推理证明. 应用二　举反例验证结论 例2 (教材典题)当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗? 解:不一定.当n=6时,n2+3n+1=55=5×11,是一个合数. 例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数； (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数； (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 分析：图中∠AOB、∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD. 【类型三】 推理证明 探究新知 16 例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数； 解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠AOC＝∠BOD＝90°. ∵∠BOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°. 【类型三】 推理证明 17 例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数； 【类型三】 推理证明 解：(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°， ∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°. 18 例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ 【类型三】 推理证明 解：(3)由(1)、(2)可发现： ∠AOB＝∠COD. 19 例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (4)你能肯定上述的发现吗？ 【类型三】 推理证明 解：(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°， ∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD. ∴∠AOB＝∠COD. 【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论． 20 如图，AB∥DE，BC∥EF，那么你能判断∠ABC与∠DEF的大小关系吗？小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗？与同伴进行交流． 练习 应用三　推理验证结论 解:不认同. 如图①,延长ED交AC于点G. 因为AB∥DE,所以∠A=∠CGD. 因为AC∥DF, 所以∠FDE=∠CGD,所以∠A=∠FDE. 如图②,因为AC∥DF,所以∠A=∠DGB. 因为AB∥DE,所以∠DGB+∠D=180°, 所以∠A+∠D=180°. 如图③,因为AC∥DF,所以∠A=∠DGB. 因为AB∥DE,所以∠DGB=∠D, 所以∠A=∠D. 综上所述,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 为什么要证明 数学结论必须经过严格的论证 实验验证 举出反例 推理证明 论证方法 课堂小结 1.下列问题用到推理的是（ ） A.根据a=10，b=10,得到a=b B.观察得到三角形有三个角 C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D.由经验可知过两点有且只有一条直线 A 课堂检测 2.在学习中,小明发现:当n=0,1,2时,n2-3n-2的值都是负数,于是小明猜想:当n为任意自然数时,n2-3n-2的值都是负数,小明的猜想正确吗?请说明理由. 解:小明的猜想不正确.理由:当n=4时,n2-3n-2=16-12-2=2>0,所以n2-3n-2的值也可能是正数,所以小明的猜想不正确. $$