精品解析：山东省德州市武城县三校联考2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

初三月考数学试题 2024.12 一、选择题（每小题4分共48分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 2. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠±1 B. m≥-1且m≠1 C. m≥-1 D. m＞-1且m≠1 3. 半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　） A 1：： B. ：：1 C. 3：2：1 D. 1：2：3 4. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是关于一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A. B. 且 C. D. 且 9. 绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度(米)与前行距离(米)之间的关系为：，那么当足球落地时距离原来的位置有（   　） A. 25米 B. 35米 C. 45米 D. 50米 10. 如图,△ABC内接于圆O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于（ ） A. 70° B. 110° C. 90° D. 120° 11. 一个布袋中有个除颜色外其余都相同的小球，其中个白球，个红球．从袋中任意摸出个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 一次函数与反比例函数()的图象的形状大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分共24分） 13. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 14. 在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是__________． 15. 如果一个扇形的圆心角为，半径为8，那么该扇形的弧长是________． 16. 已知一个三角形的两边长为 3和4，若第三边长是方程x2-12x+35=0的一个根，则这个三角形周长为____________，面积为____________． 17. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 18. 已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 三、解答题 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． （1）将向轴正方向平移个单位得， （2）将再以为旋转中心，旋转得． 20. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与降价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 21. 已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF． 求证：∠OCF=∠ECB． 22. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字和；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有数字、和；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字和．现从这三个口袋中各随机地取出个小球，根据画树状图或列表的方法解答下列问题： （1）求取出的个小球上恰好有两个偶数的概率； （2）求取出的个小球上全是奇数的概率． 23. 如图，平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 24. 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三月考数学试题 2024.12 一、选择题（每小题4分共48分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转后能与原图形完全重合的图形，依次分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠±1 B. m≥-1且m≠1 C. m≥-1 D. m＞-1且m≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 由有意义得， 解得：， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　） A. 1：： B. ：：1 C. 3：2：1 D. 1：2：3 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可． 【详解】设圆的半径为R， 如图(一)， 连接OB，过O作OD⊥BC于D， 则∠OBC=30°，BD=OB⋅cos30°=R， 故BC=2BD=R； 如图(二)， 连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E， 则△OBE是等腰直角三角形， 2BE2=OB2，即BE=R， 故BC=R； 如图(三)， 连接OA、OB，过O作OG⊥AB， 则△OAB是等边三角形， 故AG=OA⋅cos60°=R，AB=2AG=R， 故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R∶R∶R=∶∶1． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 4. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即，解得：， ∴另一个根是， 故选：． 6. 如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可明显地看出阴影部分的面积为△OAB和扇形OCD的面积差．连接OP，可根据两圆的半径长求出AP的长和扇形OCD的圆心角．然后分别计算出△OAB和扇形OCD的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： 连接OP，则OP⊥AB； Rt△OBP中，BP=3，∠BOP=60°， ∴AB=6，∠AOB=120°； ∴S△OAB=6×3÷2=9 ，S扇形OCD==3π， 所以S阴影=9-3π． 故选C． 【点睛】本题的关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，然后分别计算求值即可． 7. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可求出抛物线与轴的另一个交点为，再根据抛物线的图象性质即可得出时， x的取值范围． 【详解】解：由图可知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线的开口向下， 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线与轴的交点知识，熟练掌握二次函数的图象与性质及利用数形结合的方法是解题关键． 8. 若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 9. 绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度(米)与前行距离(米)之间的关系为：，那么当足球落地时距离原来的位置有（   　） A. 25米 B. 35米 C. 45米 D. 50米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，令，求出此时s的值，即可计算出足球落地时距离原来的位置的距离． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 故选：D． 10. 如图,△ABC内接于圆O,∠A=50°,∠ABC=60°,BD是圆O的直径,BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于（ ） A. 70° B. 110° C. 90° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，∠A=∠D=50°，∠DCB=90°, ∠DBC=40°, ∠ABC=60°, ∠ABD=20°, ∠AEB=180°- ∠ABD - ∠A= 110°, 故选B． 11. 一个布袋中有个除颜色外其余都相同的小球，其中个白球，个红球．从袋中任意摸出个球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用白球的个数除以球的总个数即为所求的概率. 【详解】解：因为一共4个球，其中3个白球，所以从袋中任意摸出1个球是白球的概率是， 故选：A. 【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解决本题的关键. 12. 一次函数与反比例函数()的图象的形状大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据A，B，C，D的图像逐一分析即可． 【详解】解：A中根据的图像知：，且与轴交于正半轴，不合题意，中的，故本选项错误， B中根据的图像知：，中的，故本选项错误， C中根据的图像知：，且与轴交于负半轴，中的，，故本选项正确， D中根据的图像知：，中的，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像与性质，掌握一次函数与反比例函数的图像的性质是解题关键． 二、填空题（每小题4分共24分） 13. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=4，b=-3，从而得出a+b． 【详解】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴a=4且b=-3， ∴a+b=1． 故答案为1 14. 在函数（a为常数）的图像上三点，，，则函数值、、的大小关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数增减性，反比例函数图象所在象限，掌握相关性质是解题关键．根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点和的纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为， ∴图象的两个分支在第二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点和在第二象限，点在第四象限， ∴最小， ，y随x的增大而增大， ， ． 故答案为：． 15. 如果一个扇形的圆心角为，半径为8，那么该扇形的弧长是________． 【答案】 【解析】 【分析】弧长公式是l=，代入就可以求出弧长． 【详解】解：弧长是：=6π． 故答案为. 【点睛】本题考查弧长计算，正确记忆弧长公式是解题关键． 16. 已知一个三角形的两边长为 3和4，若第三边长是方程x2-12x+35=0的一个根，则这个三角形周长为____________，面积为____________． 【答案】 ①. 12 ②. 6 【解析】 【详解】解方程-12x+35=0，得=5，=7， 即第三边的边长为5或7． ∵1＜第三边的边长＜7， ∴第三边的边长为5． ∴这个三角形的周长是3+4+5=12． 又， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积=×3×4=6． 故答案为12，6． 17. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 18. 已知抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），且．下列四个结论：与交点为；；；，两点关于对称．其中正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，根据可以判断；令求出，，由可以判断；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断，利用两点间的距离可以判断． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴与交点为，故正确， 当时，，解得， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则有：， ∵， ∴，故正确； ∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧）， ∴，， 解得：或，或， 由得， ∴， 当时，，或当时，， ∴，故错误； 由得：，解得， ∵在的左侧，在的左侧， ∴，，，， ∵， ∴，整理得：， ∴， ∴由对称性可知：，两点关于对称，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题 19. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度；画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母． （1）将向轴正方向平移个单位得， （2）将再以为旋转中心，旋转得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转． 根据平移的方向和距离作出对应点，再连接对应点得到平移后的图形； 根据旋转中心、旋转方向、旋转角作出旋转后的对应点，再连接对应点得到旋转后的图形． 【小问1详解】 解：如下图所示，分别画出点、、沿轴正方向平移个单位长度后对应的点、、， 连接点、、，得到即为所求； 【小问2详解】 解：如下图所示， 以为旋转中心，旋转得， 与关于原点中心对称， 分别画出点、、关于原点中心对称的点、、， 连接点、、，得到即为所求． 20. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． （1）求出每天的销售利润y（元）与降价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）（） （2）销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】（1）根据“利润=(售价-成本)×销售量”列出方程； （2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答． 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴（）； 【小问2详解】 解：由（1）知： ∵， ∴抛物线开口朝下， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，， 此时，元； 即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键． 21. 已知：如图， AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF． 求证：∠OCF=∠ECB． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长CE交⊙O于点G，连接BG，由垂径定理可得BC=BG，从而可得∠G=∠2，再根据BF∥OC，可得∠1=∠F，再根据圆周角定理可得∠G=∠F，从而得证. 【详解】延长CE交⊙O于点G，连接BG， ∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E， ∴BC=BG， ∴∠G=∠2， ∵BF∥OC， ∴∠1=∠F 又∵∠G=∠F， ∴∠1=∠2． 即∠OCF＝∠ECB． 22. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字和；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有数字、和；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有数字和．现从这三个口袋中各随机地取出个小球，根据画树状图或列表的方法解答下列问题： （1）求取出的个小球上恰好有两个偶数的概率； （2）求取出的个小球上全是奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）画出树状图，根据图示可知所有等可能出现的结果共有个，其中恰好有两个偶数的结果有4个，根据概率计算公式即可求解； （2）所有等可能出现的结果共有个，全是奇数的结果有2个，根据概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，画出如下的“树状图”： 从树状图看出，所有等可能出现的结果共有个， 取出的个小球上恰好有两个偶数的结果有个，即；；；， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）的树状图可知，取出的个小球上全是奇数的结果有个，即；， ∴． 【点睛】本题主要考查根据画树状图或列表求概率，理解并掌握画树状图或列表求概率的方法，画树状图表示所有等可能出现的结果，再根据需要求解的结果，通过概率计算公式求解是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点，． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图像和性质，熟记函数的图像和性质，熟练运用数形结合思想是解决本题的关键． （1）由点A可求得反比例函数的解析式，进而得到B的坐标，由A、B的坐标可求得一次函数的解析式； （2）观察图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点在函数上， ∴， ∴． 又∵点在函数上， ∴， ∴． ∵直线过点，， ∴ ， 解得：， ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知：不等式的解集是或． 24. 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案：， 【小问2详解】 解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． （1）当时，求该抛物线顶点的坐标； （2）当时，求的值； （3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为 （2）10 （3）1 【解析】 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； 【小问3详解】 解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $