精品解析： 安徽省芜湖市无为市 2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 上册第十一～十四章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 计算：（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 5. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知多项式是完全平方式，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 9或 D. 5或 8. 如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若实数满足方程组，则的值为______． 12. 如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为______． 13. 若计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是． （1）的长是______． （2）若P是直线上一点，则周长的最小值是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）． （2）分解因式：． 16. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的的小正方形组成的网格中，请完成下列作图： （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线l对称的． （2）在直线l上求作点P，使． 18. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 计算 （1）若，求的值． （2）若，求x的值． 20. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）； ②请比较该正方形草地的面积与乙草地的面积的大小． 六、（本题满分12分） 21. 在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． （1）如图1，若点D在边上，求证：． （2）如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： （1）若x满足，求的值． （2）若x满足，求的值． （3）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可求得中线的取值范围______． （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，，求证：平分． （3）如图3，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 上册第十一～十四章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 计算：（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整数指数幂，熟练掌握零指数幂的性质是解题的关键，根据任何非零数的零次幂都等于1，即可得到答案． 【详解】解：∵任何非零数的零次幂都等于1， ∴， 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形全等 B. 完全重合的两个图形全等 C. 面积相等的两个图形全等 D. 所有的等边三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键． 根据全等形的概念以及全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意． 故选：B． 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算．利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 4. 若点A（m，n）和点B（5，﹣7）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】∵点A（m，n）和点B（5，-7）关于x轴对称， ∴m=5，n=7， 则m+n的值是：12． 故选C． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，熟记横纵坐标的符号是解题的关键． 5. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，根据平方差公式即可判断． 【详解】解：A.，故A能用平方差公式，不符合题意； B. ，故B能用平方差公式，不符合题意； C. ，故C能用平方差公式，不符合题意； D. ，故D不能用平方差公式，符合题意； 故选：D． 6. 如图，这是某自动扶梯的示意图，已知大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为，若自动扶梯的运行速度为，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含度角的直角三角形的性质可以计算出自动扶梯的长度，然后根据“”即可得出答案． 【详解】解：大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为， 自动扶梯的长度， 顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为：， 故选：． 7. 已知多项式是完全平方式，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 9或 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．由于是完全平方式，而，然后根据完全平方公式即可得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据完全平方公式可得：， 解得：或， 故选：D． 8. 如图，在长为，宽为的长方形空地上规划一块长方形花园（阴影部分），花园的北面和东、西面都留有宽度为的小路（空白部分），则花园的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，列代数式等知识点，熟练掌握利用多项式乘多项式表示图形面积是解题的关键：将题中涉及的面积用未知量表示出来，应用整式的乘法公式等运算法则进行化简，并代值求解，有时还会用到整体代入的方法． 根据题意可得，该花园的长为，宽为，然后根据“该花园的面积长宽”即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该花园的长为，宽为， 该花园的面积为： ， 故选：． 9. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， 在中，．   故选：C ． 10. 如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题，根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若实数满足方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，平方差公式，将原式进行适当的变形是解答关键． 将方程组中的第二个方程整理后求出的值，再利用平方差公式进行变形，将各自的值代入求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，为等边三角形，为延长线上一点，作交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，先根据等边三角形性质得，则，再根据得，，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 【详解】解：为等边三角形，且， ，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ． 故答案为：． 13. 若计算的结果中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，计算多项式乘多项式，合并同类项，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知多项式乘积不含某项求字母的值的方法是解题的关键：不含的某一项的题型，需要将含参数的式子，化简成关于的降幂或者升幂的形式，并使得不含的某项的系数为，建立方程（组）求解即可．先计算多项式乘多项式，然后合并同类项，并将结果写成关于的降幂的形式，根据“的结果中不含x的一次项”可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 的结果中不含x的一次项， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接，若，的周长是． （1）的长是______． （2）若P是直线上一点，则周长的最小值是______． 【答案】 ①. 7 ②. 17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称——最短路线问题．解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质． （1）根据垂直平分线的性质得，的周长是，，即可求的长度； （2）当点P与点M重合时，周长的最小，即为的周长． 【详解】解：（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． ∵，的周长是， ∴． 故答案为：7； （2）当点P与点M重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当点P与点M重合时，， 此时的最小值等于的长， ∴周长的最小值． 故答案为：17． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）． （2）分解因式：． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用和因式分解； （1）利用平方差公式简便计算即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，代数式求值，零整数指数幂，根据平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项可得化简结果，最后通过零整数指数幂求出的值，然后求出的值，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的的小正方形组成的网格中，请完成下列作图： （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线l对称的． （2）在直线l上求作点P，使． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，取格点，则直线与直线的交点即为所求； 由格点正方形的性质可得：直线是线段的垂直平分线， ∴. 【解析】 【分析】本题考查的是画轴对称图形，画线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质； （1）分别确定关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）如图，取格点，则直线与直线的交点即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 观察下列关于正整数的等式： ；① ；② ；③ …… 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第个等式：____________． （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】（1）； （2） 解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得：第五个等式为， 故答案为：5，21； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 计算 （1）若，求的值． （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，积的乘方运算． （1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可； （2）把变形为，得到关于x的方程，解方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵． ∴， 解得 20. 有甲、乙两块草地，其长和宽的数据如图所示． （1）求甲草地的面积（用含m的代数式表示）． （2）若再开辟一块正方形草地，周长与乙草地的周长相等． ①求该正方形草地的边长（用含m的代数式表示）； ②请比较该正方形草地的面积与乙草地的面积的大小． 【答案】（1） （2）①；②正方形草地的面积＞乙草地的面积. 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积公式即可得到答案； （2）①乙草地的周长÷4即可求解；②利用作差法即可求解. 【小问1详解】 解：甲草地的面积=； 【小问2详解】 ①∵乙草地的周长=， ∴正方形草地的边长=； ②正方形草地的面积=，乙草地的面积=， ∵， ∴正方形草地的面积＞乙草地的面积. 【点睛】本题主要考查整式混合运算的应用，掌握整式混合运算法则和乘法公式是关键. 六、（本题满分12分） 21. 在等边三角形中，D为所在直线上的一个动点，E为延长线上一点，． （1）如图1，若点D在边上，求证：． （2）如图2，若点D在边的延长线上，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，交于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴； （2） 成立，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点． ∵是等边三角形，， ∴， ∴也是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论； （2）过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的判定也是等边三角形，然后利用即可证出，根据全等三角形的性质可得，从而证出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和平行线的性质是解决此题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： （1）若x满足，求的值． （2）若x满足，求的值． （3）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握通过对完全平方公式变形求值的方法和技巧是解题的关键：完全平方公式的变形在解题中的应用——首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了． （1）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （2）设，，则可得，，将原式进行变形可得：原式，然后将和的值代入即可求出原式的值； （3）由正方形的边长为x可得，进而可得，，设，，则可得，由长方形的面积是可得，由四边形与都是正方形可得：阴影部分的面积之和，然后将和的值代入即可求出阴影部分的面积之和． 【小问1详解】 解：设，， 则， ， ； 【小问2详解】 解：设，， 则， ， ； 【小问3详解】 解：正方形的边长为x， ， ，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， 四边形与都是正方形， 阴影部分的面积之和． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可求得中线的取值范围______． （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，，求证：平分． （3）如图3，在中，是边上的中线，是上一点，连接并延长交于点，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3） 证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【小问1详解】 解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $