精品解析：安徽省安庆市外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学 一．选择题 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 2. 把抛物线，向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 5. 如图所示是一水库大坝梯形的横截面的一部分，坝高，迎水坡，则该斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　 A. B. C. D. 8. 如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（ ） A. 5 B. C. D. 二．填空题 11. 已知，若与的周长比为，则_____． 12. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 13. 已知：中，，，，则的值为_____． 14. 如图，是的角平分线，过点作的垂线交边于点，垂足为点，当为边上的中线，则_____，当时，则_____． 三．解答题 15. 计算：． 16. 如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 17. 已知二次函数y=x2+mx+m-1（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点不在x轴的下方？ 18. 如图，在中，，． （1）求的值； （2）延长至点，使得，求的长． 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 20. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． （1）连结，求线段的长． （2）求点到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 21. 如图1，在正方形中，是上异于的点， （1）当时，求证： （2）若是的中点，且，求的值． （3）在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 10 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的关系式，直接将点的坐标代入关系式，计算求值即可． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得． 故选：A． 2. 把抛物线，向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为； 即， 故选：A． 3. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 4. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 5. 如图所示是一水库大坝梯形的横截面的一部分，坝高，迎水坡，则该斜坡的坡度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坡度、勾股定理，熟练掌握斜坡的坡度实际上是坡角的正切值是解题关键．过点作于点，则，先利用勾股定理可得，再求出坡角的正切值即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵迎水坡， ∴， ∴该斜坡的坡度是， 故选：D． 6. 在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 7. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题； 【详解】在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 8. 如图，矩形的边长，，为的中点，在边上，且，分别与、相交于点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全都三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质可得，进而得到，即得，再由和求出即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延迟相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：． 9. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 10. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理得证明及正方形得性质、相似的判定和性质等知识点，由可想到构造两个相似三角形，再利用比例线段求解即可． 【详解】解：如图，过A作交延长线于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵, ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 二．填空题 11. 已知，若与的周长比为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 12. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为_____米． 【答案】6 【解析】 【分析】先判定三角形相似，然后根据相似三角形的性质列出等式，即可求出树的高度． 【详解】如图： ∵△ACD∽△ABE ∴ ∴EB=4DC=1.5×4=6米 故答案为：6 【点睛】本题考查相似三角形在求树木高度的应用，找到比例列出等式是本题关键． 13. 已知：中，，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，过点作的垂线交边于点，垂足为点，当为边上的中线，则_____，当时，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取中点F，连接，则，；由角平分线与垂直可证明，从而得O是的中点，由相似三角形得，从而得，即可求得；作于点H，设，则得，由勾股定理求出，在中用等面积法求出，从而得出． 【详解】解：如图，取中点F，连接， ∵为边上的中线， ∴为的中位线， ∴，； ∵是的角平分线， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴O是的中点； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，作于点H，设， ∴，； 在中，由勾股定理， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，正弦函数等知识，涉及较多的知识点，构造辅助线，熟练掌握这些知识是解题的关键． 三．解答题 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 16. 如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】略 17. 已知二次函数y=x2+mx+m-1（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点不在x轴的下方？ 【答案】 （1）令y=0，则 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）m≥1 【解析】 【分析】（1）令y=0，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵二次函数函数的图象与y轴的交点不在x轴的下方， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． 18. 如图，在中，，． （1）求的值； （2）延长至点，使得，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角函数求值，等腰三角形性质． （1）根据题意过点作，利用等腰三角形性质即可求得本题答案； （2）根据题意利用即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：作，垂足为， ， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20. 小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知，，，，． （1）连结，求线段的长． （2）求点到对称轴的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）线段的长约为； （2）点到对称轴的距离． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，． ， ， ， 线段的长约为； 【小问2详解】 解：横截面是一个轴对称图形， 延长交、延长线于点， 连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 点到对称轴的距离为． 21. 如图1，在正方形中，是上异于的点， （1）当时，求证： （2）若是的中点，且，求的值． （3）在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 又， ∴； （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与解直角三角形，第（1）题运用正方形的性质，根据题目中角的关系，得到两个三角形相似，第（2）小题用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值；第（3）题关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用利用三角函数的定义解答． （1）证明，结合，可证明； （2）根据，延长相交于T，得到等腰，连接点T和的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出的正切． （3）根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得的值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于T，设的中点为E，连，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，① 令则，，， 代入①中得：， 解方程得：（舍去），． ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 则， ∴， 设每个小正方形的边长为a， 则， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， 即， 故答案为：3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $