四川省眉山、雅安、资阳、广安、广元市2024-2025学年高三上学期12月第一次诊断考试数学试题

书 数学答案 第 ! 页!共 !! 页" 数学试题参考答案及评分标准 一!选择题"本题共 " 小题#每小题 # 分#共 $% 分 & 在每小题给出的四个选项中#只有一个选项符 合题目要求 & !! #命题意图$考查复数的基本运算及复数模长的计算%考查数学运算素养%命题设计体现基 础性 ! #思路点拨$由条件化简得到 " 的表达式%再代入模长的计算公式求解 ! #答案$ ' #详细过程$因为 " ()" * ! ()+ %所以 ")( " *()+ %所以 ( " *!)+ %所以 "* ( !)+ *!,+ %所以 " " " * 槡(%故正确选项为'& (! #命题意图$考查集合的含义与表示以及集合的基本运算%考查绝对值不等式的解法和初等函 数的值域%考查表示集合的符号语言与图形语言间的转化%命题设计体现基础性 ! #思路点拨$由条件求出集合 # 和集合 $ %再结合图形%根据集合的交集&并集和补集运算求出 答案 ! #答案$ - #详细过程$由 " % "# ! 得 ,! # % # ! %所以 #* ' ,! % ! (%函数 & * %槡 ,!的值域为'%%)."%所 以 $* ' % % ) . " ! 图中阴影部分表示的集合为 $ ! ! # % $ "%因为 # % $* ' ,! % ) . "%所以 $ ! ! # % $ " * ! , . % ,! "%故正确选项为 -& /! #命题意图$考查根据椭圆的标准方程判断焦点的位置以及椭圆离心率的求解%考查分类讨论 思想的应用%命题设计体现基础性和创新性 ! #思路点拨$根据椭圆的方程分类讨论建立 ' 与 ( 的关系式%进而求得答案 ! #答案$ - #详细过程$由题意 ' & % % ( & % 且 ' ' (! 设椭圆的长半轴长为 ) %短半轴长为 * %半焦距为 + %离 心率为 ,! 当 ' & ( 时% ) ( *' % * ( *( % + ( *',( %则 , ( * / $ * ',( ' %解得 ( ' * ! $ )当 ' ( ( 时% ) ( *( % * ( *' % + ( *(,' %则 , ( * / $ * (,' ( %解得 ( ' *$! 所以 ( ' * ! $ 或 ( ' *$! 故正确选项为 -& $! #命题意图$考查条件概率和独立事件的概率乘法公式%考查数学运算和数据分析素养%命题设 计体现基础性和应用性 ! #思路点拨$根据条件概率的定义%可知小明只需答对 $ % - % . % / 四道试题中至少三道试题即 可通过测试%因此利用相互独立事件的概率乘法公式即可解答 ! #答案$ 0 #详细过程$因为小明已经答错了试题 # %要通过测试只需要答对 $ % - % . % / 四道试题中至少 数学答案 第 ( ! 页!共 !! 页" 三道试题 ! 所以小明通过测试的概率 0*/1 ( / 1 ( / 1 ! ( 1 ! ( )(1 ! / 1 ( / 1 ! ( 1 ! ( * $ 2 %故正 确选项为 0& #! #命题意图$考查函数极值点的概念%考查函数的奇偶性和单调性的综合%考查复合函数的求导 法则%考查直观想象和逻辑推理素养%命题体现基础性和创新性 ! #思路点拨$根据极小值点的概念%可知在 % % 左右两侧附近导数先负后正%再结合函数的奇偶 性可对选项逐一判断 ! #答案$ 0 #详细过程$由题知%存在 !& % 使得当 % ) ! % % , ! % % % "时% 1 2 ! % " ( % %当 % ) ! % % % % % ) ! "时% 1 2 ! % " & %! 对于 3 选项%因为 1 ! % "为奇函数%则 1 2 ! % "为偶函数 ! 则当 % ) ! ,% % % ,% % ) ! "时% 1 2 ! % " ( % %当 % ) ! ,% % , ! % ,% % "时% 1 2 ! % " & % %所以 ,% % 是 1 ! % "的极大值点%选项 3 正确)对 于 ' 选项%因为 & 2* 1 2 ! % " 4 1 ! % " %显然 % % 是函数 & *4 1 ! % "的极小值点%选项 ' 正确)对于 - 选项% 因为 & 2*, 1 2 ! ,% " 4 1 ! ,% " *, 1 2 ! % " 4 1 ! ,% " %由选项 3 知% ,% % 是函数 & *4 1 ! ,% "的极小值点% - 选项正确)对于 0 选项%因为 & 2*, 1 2 ! ,% " *, 1 2 ! % "%显然 % % 是函数 & * 1 ! ,% "的极大值 点% 0 选项错误%故正确选项为 0& 5! #命题意图$考查三角函数的图象与性质%考查三角函数图象的变换 ! 考查转化与化归思想和数 形结合思想的应用%考查直观想象&逻辑推理和数学运算素养%命题设计体现基础性和创新性 ! #思路点拨$思路 ! *整体思想%令 ! ( % % ) " * ! / )(3 ! % 3 ) " %可求得 % % %进而可求得结果) 思路 ( *将函数 1 ! % " *6+7% 的图象经过平移和伸缩变换得到 4 ! % " *6+7 ! ( %) ! " " " " "( ! ! " ( 的图象%从而点 # 逐步变换到 #2 ! % % % &% "%从中建立关系求解 ! #答案$ 3 #详细过程$解法 ! *令 ! ( % % ) " * ! / )(3 ! % 3 ) " %所以 % % * ( ! / ,( " )$3 ! ! 因为 6+7% % * 6+7 ( ! / ,( " )$3 ! " ! *6+7 ( ! / ,( ! " " * ! ( ! 因为 , ! ( ( " ( ! ( %所以 , ! / ( ( ! / ,( " ( # ! / %所以 ( ! / ,( " * ! 5 或 ( ! / ,( " * # ! 5 %解得 " * ! $ 或 " *, ! !( %所以 " 的所有可能值之和为! 5 %故正确选 项为 3& 解法 ( *将 1 ! % " *6+7% 的图象平移 " " " 个单位得到函数 & *6+7 ! %) " "的图象%则点 # 的横坐 标变为! / , " %再将函数 & *6+7 ! %) " "的图象保持纵坐标不变%横坐标伸长为原来的两倍得到 4 ! % " *6+7 ! ( %) ! " " " " "( ! ! " ( 的图象%则点 # 的横坐标变为 ( ! / ,( " %所以 % % * ( ! / ,( " %所以 6+7% % *6+7 ( ! / ,( ! " " * ! ( %因为 , ! ( ( " ( ! ( %所以 , ! / ( ( ! / ,( " ( # ! / %所以 ( ! / ,( " * ! 5 或 ( ! / ,( " * # ! 5 %解得 " * ! $ 或 " *, ! !( %所以 " 的所有可能值之和为! 5 %故正确选项为 3& 数学答案 第 / ! 页!共 !! 页" 8! #命题意图$考查分段函数最值的理解和求解%结合充分必要条件进行考查%考查直观想象和数 学运算素养%命题体现综合性和创新性 ! #思路点拨$对参数 ) 分类讨论%根据 ) 的不同范围判断 1 ! % "的最小值是否存在%再根据充分 必要条件的判断求解 ! #答案$ - #详细过程$若 ) ( % %当 % & ! 时% 1 ! % "单调递减% * ) . 时% 1 ! % " * , . %所以 1 ! % "无最小 值 ! 若 )*% %则 1 ! % "在! , . %"上单调递减%在! % % ! "上单调递增%此时 1 ! % " + 1 ! % " *,( %又 % & ! 时% 1 ! % " * ! % )( & ( %所以 1 ! % "存在最小值 ! 若 % ( ) ( ! % 1 ! % "在! , . % ) "上单调递减% ! ) % ! "上单调递增%在 ! % ! 槡 ") 上单调递减 %在 !槡) %).! "上单调递增 %所以 1 ! % "在 %*) 处%或 %* ! 槡)处取得最小值%即1!%"存在最小值!若)+!%则1!%"在!,.%!"上单调递减% 在!% ) . "上单调递增%要使 1 ! % "存在最小值%需! ,) " ( ,( # ))/ %解得 ,! # ) # $ %所以 ! # ) # $! 综上所述%+ % # ) # $ ,是+ 1 ! % "存在最小值,的充要条件 ! 故正确选项为 -& "! #命题意图$考查三角恒等变换%考查逻辑推理和数学运算素养%命题设计体现综合性和应 用性 ! #思路点拨$首先令 # * $ ) ! 5 %代入后化简得到 # 的三角函数值%进而求得结果 ! 当然也可以从 条件出发将条件逐项展开再逐步变换求解 ! #答案$ - #详细过程$令 # * $ ) ! 5 %即 $ * # , ! 5 %则 (9:7 ( $ , ! ! " 5 )9:7 $ ) ! ! " 5 *(9:7 ( # , ! ! " ( )9:7 # * ,(;<6( # 6+7( # ) 6+7 # ;<6 # * ,(;<6( # )(6+7 ( # 6+7( # * ( ! /6+7 ( # ,! " 6+7( # *% %所以 6+7 ( # * ! / %因为 % ($( ! ( %所 以! 5 ( # ( ( ! / %所以 6+7 # * 槡/ / ( 槡/ ( %所以! 5 ( # ( ! / %所以 ;<6 # * 槡5 / %所以 6+7 $ , ! ! " / *,;<6 # *, 槡5 / ! 故正确选项为 -& 二!选择题"本题共 / 小题#每小题 5 分#共 !" 分 ! 在每小题给出的四个选项中#有多项符合题目 要求 ! 全部选对的得 5 分#部分选对的得部分分#有选错的得 % 分 ! 2! #命题意图$考查成对数据的分析%考查利用最小二乘法求解经验回归直线方程%考查数据分析 素养%命题设计体现基础性 ! #思路点拨$首先根据经验回归直线经过样本的中心%求得5 * %再根据5 * 的正负判断 & 与 % 成正 相关%再运用经验回归直线方程作预测%最后判断样本相关系数和决定系数间的关系 ! #答案$ 3'0 #详 细 过 程$对 于 3 选 项%由 表 格 中 的 数 据 得 , % * !)()/)$)# # * / % - & * 数学答案 第 $ ! 页!共 !! 页" (=$)/=!)$)#)#=# # *$ %因为经验回归直线过样本的中心%所以 $*/ 5 *)!=#8 %解得5 ** %="! %所以 3 选项正确)对于 ' 选项%由选项 3 知% & 与 % 成正相关关系%所以 6 & % %所以 ' 选 项正确)对于 - 选项%由经验回归直线的含义%当 % 增加 ! 时% & 不一定增加 %="! %所以 - 选项 错误 & 对于 0 选项%因为 . # 7 8 ! ! % 7 9 , % "! &7 9 - & " 89 ( : ! 9 !=5 " ; ! 9 ! " : ! 9 %=2 " ; ! ; ( : !=# 8 "=! % . # 7 8 ! ! % 7 9 , % " ( 8 $ ; ! ; ! ; $ 8 !% % . # 7 8 ! ! &7 9 - & " ( 8 ! =5 " ( ; ! %=2 " ( ; ! ; ! =# " ( 8 5=5( %所以 6 8 . ( 7 8 ! ! % 7 9 , % "! &7 9 - & " . ( 7 8 ! ! % 7 9 , % " ( . ( 7 8 ! ! &7 9 - & " 槡 ( 8 "=! 槡55=( % 6 ( 8 5#5! 55(% % . # 7 8 ! ! &7 9 5 &7 " ( 8 ! %=%( " ( ; ! %=%2 " ( ; ! %=!2 " ( ; ! %=!( " ( 8 %=%#2 %则 < ( 8 ! 9 %=%#2 5=5( 8 5#5! 55(% %所以 6 ( *< ( !注*一般地% 在用最小二乘法求解的线性回归模型中均有 6 ( *< ( "%所以选项 0 正确 & 综上%正确选项 为 3'0& !%! #命题意图$考查立体几何中的点&线&面位置关系和几何体的体积&几何体的外接球等问题 ! 考查直观想象和逻辑推理素养%命题设计体现基础性和应用性 ! #思路点拨$首先由条件推得 / #$-*$#> %进而得到 #-*$- 槡* (%再根据-!.0平面/=-% 利用平面几何知识求得 -- ! 槡* (!由选项3知-! 到平面/=-的距离即为-!>%容易求得 - ! >* 槡(/ / %选项 ' 错误 ! 运用割补法容易判断选项 - 正确与否%根据球的几何性质可判断选 项 0 是否正确 ! #答案$ 3-0 #详细过程$如图%在直三棱柱 # ! $ ! - ! ,#$- 中%直线 #$ 与平面 $ ! $-- ! 所成角为 $#> %且 #-*$- %所以 / #$-* / $#-*$#> %又 #$*( %所以 #-*$- 槡* (!取/=的中点?%连接?-%?.%-.%因为 - ! . 0 平面 /=- %所以 - ! . 0 ?- %易知 ? % . % - % - ! 四点共面%则由平面 几何知识知% 1 ?.- "1 .-- ! %所以 ?. .- * .- -- ! %所以 -- ! 槡* (%故3选 项正确%设 - ! . 2 ?-*> %由题意%点 - ! 到平面 /=- 的距离为 - ! > %易 求得 - ! >* 槡(/ / %即点 - ! 到平面 /=- 的距离为 槡(/ / %所以 ' 选项错误%三棱柱 # ! $ ! - ! , #$- 的体积 @ ! * ! ( #- - $- - -- ! 槡* (%四棱锥-,#$=/的体积@(* ! / #$ - $= - -.* 槡( / %所以五面体 # ! /=$ ! - ! - 的体积为 @ ! ,@ ( * 槡(( / %故 - 选项正确%易知 ?# ! *?#*?$* 数学答案 第 # ! 页!共 !! 页" ?$ ! *?-*?- ! * 槡5 ( %所以三棱柱 # ! $ ! - ! ,#$- 的外接球的球心为 ? %半径为槡5 ( %故其表面 积为 5 ! %所以 0 选项正确%综上所述%正确选项为 3-0& !!! #命题意图$考查运用导数研究函数的单调性%考查导数的几何意义和运用数形结合思想解决 问题%考查直观想象素养和逻辑推理素养%命题设计体现综合性和创新性 ! #思路点拨$将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题%进一步采用数形结合思想解 决问题 ! 当 , * ) ( % 时%可由直线与曲线相切求得临界值%然后结合图形获得准确范围 ! #答案$ 30 #详细过程$由题意%函数 4 ! % " *,% / 的图象与函数 A ! % " * " )%)* " 的图象有三个不同交点% 所以 ) ' % %在同一平面直角坐标系中作出它们的图象如图所示% 由图象可知%当 , * ) & % %即 )* ( % 时% 4 ! % "的图象与 A ! % "的图象只有一个交点%不符合题意) 当 , * ) *% 时% 4 ! % "的图象与 A ! % "的图象只有两个交点%不符合题意)当 , * ) ( % %即 )* & % 时% 4 ! % "的图象与 A ! % "的图象在 , * ) % ) . ! " 上有一个交点%所以 4 ! % "的图象与 A ! % "的图 象在 , . % , * ! " ) 上有两个交点%现过点 , * ) % ! " 作 4 ! % "的切线%设切点为! % % % ,% / % "%则切 线方程为* & )% / % *,/% ( % ! %,% % "%即 & *,/% ( % )(% / % %所以 %* /* ) % ( % )(% / % %解得 % % *, /* () % 此时切线斜率为 , (8* ( $) ( %所以 , (8* ( $) ( & , " ) " %即 (8* ( $ (" ) " / %所以 " ) " / ,/* & (8* ( $ ,/* + , ! / %所以 " ) " / ,/* 不可以等于 ,! %可以等于 !! 故正确选项为 30& 三!填空题"本题共 / 小题#每小题 # 分#共 !# 分 ! !(! #命题意图$以三角形为载体%考查平面向量基础知识%考查两个向量平行的判断%考查数学运 算素养%命题设计体现基础性 ! #思路点拨$根据向量的线性运算以及两个向量平行的判断方法即可解题 ! #答案$ 数学答案 第 5 ! 页!共 !! 页" #详细过程$由题意% *3 -#* *3 -$) *3 $# % ( *3 .#) *3 '.$*( ! *3 .$) *3 $# " ) *3 '.$* ')( / *3 -$)( *3 $# % 因为 ( *3 .#) *3 '.$ 与 *3 #- 平行%所以 ')( / *( %解得 '*$! 故填 $! !/! #命题意图$考查抛物线的定义%考查三角形面积的求解%考查直观想象和数学运算素养%命题 设计体现基础性 ! #思路点拨$由抛物线的定义可求得 # % $ 两点的坐标%进而运用分割法表达三角形的面积%代 入相关数据求得答案 ! 当然%三角形面积也可以用弦长 " #$ " 和点 B 到直线 #$ 的距离求解 #答案$槡/( ( #详细过程$不妨设 # 在第一象限% $ 在第四象限%则有 " #= " *% # )!*/ % " $= " *% $ )!* / ( %解得 % # *( % $ * ! ( %又因为 # % $ 两点在 - 上%所以 &# 槡*((%&$ 槡*, (%易证直线#$经 过 = %所以 1 B#$ 的面积 C* ! ( " B= "" &# , &$ " * 槡/( ( %故填 槡/( ( ! !$! #命题意图$考查数列与二项式定理综合问题%考查逻辑推理和数学运算等素养%命题设计体 现综合性和创新性 ! #思路点拨$由条件运用累加法结合二项式定理求得 ) 3)! * ! ,! " 3 3 %进一步可得到 ( ! ) ! ) ) ( ) . )) 3)! " *( 3 ) ! ,! " 3 3)3 %从而求得 ) ! )) ( ) . )) 3)! *( 3,! ) 3 ( ' !) ! ,! " 3 ( ! #答案$第一空为! ,! " 3 3 %第二空为 ( 3,! ) 3 ( ' !) ! ,! " 3 ( #详细过程$由题意%! ,! " ( ) ( , ! ,! " ! ) ! *, ! ,! " ! - ! 3 %! ,! " / ) / , ! ,! " ( ) ( *, ! ,! " ( - ( 3 % ! ,! " $ ) $ , ! ,! " / ) / *, ! ,! " / - / 3 %.%! ,! " 3)! ) 3)! , ! ,! " 3 ) 3 *, ! ,! " 3 - 3 3 %将这 3 个等式 两边分别相加得% ! ,! " 3)! ) 3)! , ! ,! " ! ) ! *, '! ,! " ! - ! 3 ) ! ,! " ( - ( 3 ) ! ,! " / - / 3 ) . ) ! ,! " 3 - 3 3 ( *, '! ,! " 3 ,! ( *! %所以! ,! " 3)! ) 3)! * ! ,! " ! ) ! )!*,3 %所以 ) 3)! * ! ,! " 3 3 %所以 ( ! ) ! )) ( ) . )) 3)! " *- ! 3 )- ( 3 )- / 3 ) . )- 3 3 )) ! )) 3)! *( 3 ) ! ,! " 3 3)3 % 所以 ) ! )) ( ) . )) 3)! *( 3,! ) 3 ( ' !) ! ,! " 3 ( ! 故第一空填! ,! " 3 3 %第二空填 ( 3,! ) 3 ( ' !) ! ,! " 3 ( ! 四!解答题"本题共 # 小题#共 88 分 ! 解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤 ! !#! #命题意图$考查立体几何中垂直关系的证明%考查运用空间向量解决几何问题的能力%考查 逻辑推理和数学运算素养%命题设计体现基础性和应用性 ! #思路点拨$第!"问运用直线与平面垂直的判定定理证得 -. 0 平面 C#$ %从而证明 #$ 0 -.! 第! ( "问以 B 为坐标原点%建立空间直角坐标系%接着求得两个平面的法向量%然后运用 向量的夹角公式求得结果 ! 数学答案 第 8 ! 页!共 !! 页" #详细过程$ !"证明*因为 -/*./ % B 为 -. 的中点% 所以 -. 0 B/ % 又 CB 0 -. %且 B/ 2 CB*B % 所以 -. 0 平面 C#$! 又 #$ 4 平面 C#$ %所以 #$ 0 -.! ! # 分"……………………………………………………… ! ( "由题意%在 1 -./ 中% -. ( *-/ ( )./ ( %所以 -/ 0 ./ %所以 B/* ! ( -. % 又 B/* ! ( C$ %所以 C$*-. 设 #$*$ %建立如图所示空间直角坐标系 B,% & " %则 B ! % %%"% # ! % % ,( %"% - ! ( %%"% / ! % % ! %槡/"%所以 *3 B-* ! ( %%"% *3 B/* ! % % ! %槡/"% *3 #-* ! ( % ( %"% *3 #/* ! % % / %槡/"% !8分"…… 设平面 #-/ 的一个法向量为 !* ! % ! % &! % " ! "%则 ! - *3 #-*% ! - *3 #/ 5 6 7 *% %即 % ! ) &! *% 槡/&!)"! 5 6 7 *% %取 &! *,! %则 !* !% ,! %槡/" 设平面 -/. 的一个法向量为 "* ! % ( % &( % " ( "%则 " - *3 B-*% " - *3 B/ 5 6 7 *% %即 % ( *% &( 槡) /"( 5 6 7 *% %取 " ( *,! %则 "* ! % %槡/%,!"! !!分"……………………… 因此 ;<6 / ! % " 0 * ! - " " ! "" " " *, 槡!# # % 由图可知%二面角 #,-/,. 为锐角%所以二面角 #,-/,. 的余弦值为槡!# # ! ! / 分"… !5! #命题意图$考查运用正余弦定理解决三角形问题%考查边角转化思想%考查逻辑推理和数学 运算素养%命题设计体现基础性和应用性 ! #思路点拨$第!"问%运用面积公式和正弦定理即可解决 ! 第! ( "问%在 1 #$. 和 1 #-. 中运 用余弦定理%再在 1 #-. 运用正弦定理%联立即可解决问题 ! #详细过程$ !"证明*记角 # % $ % - 的对边分别为 ) % * % + % 数学答案 第 " ! 页!共 !! 页" 由题意% ! ( )*6+7-* ! # + ( % 由正弦定理得% ! ( 6+7#6+7$6+7-* ! # 6+7 ( - ! / 分"……………………………………………… 因为 6+7- ' % % 所以 6+7-* # ( 6+7#6+7$! ! # 分"………………………………………………………………… ! ( "在 1 #$. 中%由余弦定理得% + ( *#. ( ) ) ( $ ) 槡( ( )#. # 同理%在 1 #-. 中% * ( *#. ( ) ) ( $ , 槡( ( )#. $ # , $ 得% + ( ,* ( 槡* ()#.! !!分"……………………………………………………………… 在 1 #-. 中%由正弦定理得% #.* 6+7- 6+7 / #.- #- 槡* (*6+7-% 所以 + ( ,* ( *()*6+7-* $ # + ( %即 + * 槡* #% 所以 #$ #- * + * 槡* #! !#分"……………………………………………………………………… !8! #命题意图$考查运用导数研究函数单调性和最值的能力%考查分类讨论思想%考查数学运算 等素养%命题设计体现基础性和应用性 ! #思路点拨$第!"问%构造函数 4 ! % " *?7 ! %)! " ) ! %)! %研究函数 4 ! % "的单调性和最值%从 而证得结论 ! 第! ( "问%将不等式恒成立问题转化为研究函数的最值问题%运用分类讨论思想 解决问题 ! #详细过程$ !"证明* 1 ! % "的定义域为! ,! % ) . " ! 当 ) + % 时% )% ( + % %要证 1 ! % " + ! %只需证 ?7 ! %)! " ) ! %)! + ! ! ( 分"……………………… 令 4 ! % " *?7 ! %)! " ) ! %)! %则 4 2 ! % " * % ! %)! " ( %令 4 2 ! % " *% %得 %*% % 所以当 ,! ( % ( % 时% 4 2 ! % " ( % % 4 ! % "在! ,! %"上单调递减) 当 % & % 时% 4 2 ! % " & % % 4 ! % "在! % % ) . "上单调递增 ! 所以 4 ! % " + 4 ! % " *! %即 ?7 ! %)! " ) ! %)! + !! 证毕 ! # 分"…………………………………… ! ( " 1 ! % " ) 1 ! ,% " *?7 ! ,% ( " ) ( !,% ( )()% ( % 令 D*!,% ( %由题意% ?7D) ( D ,()D)(),( + % 在 D ) ! % % ! (时恒成立 ! 8 分"………………… 设 A ! D " *?7D) ( D ,()D)(),( % D ) ! % % ! ( ! 数学答案 第 2 ! 页!共 !! 页" 则 A2 ! D " * ! D , ( D ( ,()* ,()D ( )D,( D ( %令 " ! D " *,()D ( )D,( % 当 ) + , ! ( 时% " ! D " # D ( )D,( # % %所以 A2 ! D " # % % A ! D "在! % % ! (上单调递减%所以 A ! D " + A !" *% %符合题意 ! ! 分"…………………………………………………………………………… 当 ) ( , ! ( 时% " ! D "在! % % ! "上单调递增%又 " ! % " *,( ( % % " !" *,(),! & % %所以存在 D % ) ! % % ! "%使得 " ! D % " *% %且 D % ( D ( ! 时% " ! D " & % %即 A2 ! D " & % %所以 A ! D "在! D % % ! (上单调递增%所 以 A ! D " # A !" *% %不符合题意 ! $ 分"………………………………………………………… 综上所述% ) 的取值范围为' , ! ( % ) . " ! # 分"………………………………………………… !"! #命题意图$考查双曲线的标准方程%考查直线与双曲线的位置关系问题%考查运用代数方法 研究几何问题的能力%考查数学运算和逻辑推理素养%命题设计体现综合性和创新性 ! #思路点拨$第!"问%根据题干条件%不难求得双曲线的标准方程 ! 第! ( "问%求得直线 #/ 与 直线 $. 的方程之后%求得其交点的纵坐标为 & *, ! ( %从而证得结论 ! 第! / "问%首先证得点 / 在以线段 $. 为直径的圆上%接着再证明过 $ % . % / 三点的圆经过定点 # ! % % ! " ! #详细过程$ !"由题意% )*! % +*( %所以 ** + ( ,)槡 ( 槡* /%所以-的方程为& ( , % ( / *!! ! / 分"……… ! ( "! % "由题意%直线 $. 的斜率存在%设直线 $. 方程为* & *3%,( % $ ! % ! % &! "% . ! % ( % &( " ! 由 & ( , % ( / *! & *3% 5 6 7 ,( %消去 & 整理得%! /3 ( ,! " % ( ,!(3%)2*% 所以 /3 ( ,! & % %即 3 ( & ! / % % ! )% ( * !(3 /3 ( ,! % ! % ( * 2 /3 ( 5 6 7 ,! ! 5 分"…………………………………………… 所以 D* ! ( ! % ! )% ( " * 53 /3 ( ,! %由 & ( , % ( / *! %* 53 /3 ( 5 6 7 ,! 解得 & *@ /3 ( )! /3 ( ,! % 所以 / 53 /3 ( ,! % , /3 ( )! /3 ( ! " ,! ! " 分"……………………………………………………………… 所以直线 #/ 方程为* & * !) /3 ( )! /3 ( ,! , 53 /3 ( ,! %)! %即 & *,3%)! % 由 & *3%,( & *,3% 5 6 7 )! 得 & *, ! ( %所以直线 #/ 与直线 $. 的交点在一条定直线 & *, ! ( 上 ! ! % 分" … ………………………………………………………………………………………… 数学答案 第 !% 页!共 !! 页" ! & "过 $ % . % / 三点的圆经过定点%理由如下* 由弦长公式 " $. " * !)3槡 ( ! % ! )% ( " ( ,$% ! %槡 (* !)3槡 ( !(3 /3 ( ! " ,! ( , /5 /3 (槡 ,! * 53 ( )5 /3 ( ,! ! ! ( 分"………………………………………………………………………………… 设线段 $. 的中点为 ? ! D % &% "%则 &% *3D,(* ( /3 ( ,! % 所以 " /? " * ( /3 ( ,! ) /3 ( )! /3 ( ,! * /3 ( )/ /3 ( ,! % 所以 " $. " *( " /? " %即点 / 在以线段 $. 为直径的圆上 ! ! $ 分"…………………………… 又 " #? " * 53 /3 ( ! " ,! ( ) ( /3 ( ,! ! " ,!槡 ( * /3 ( )/ /3 ( ,! %即 " #? " * " /? " % 所以 # 在以线段 $. 为直径的圆上% 所以过 $ % . % / 三点的圆经过定点 # ! % % ! " ! ! 8 分"…………………………………………… !2! #命题意图$考查数列新定义问题%考查分析问题和解决问题的能力%考查逻辑推理和数学运 算素养%命题设计体现综合性和创新性 ! #思路点拨$第!"问%根据题干条件%不难判断1 ) ( 2为 0 ! ( % ,( "数列)第! ( "问%根据条件得到 ) (,! )) (,( ) . )) (,3 * ! ) ( ,( " ) ! ) ( ,$ " ) . ) ! ) ( ,(3 "%再结合等差数列化简证明)第! / " 问%根据1 ) ( 2既是 0 ! / %"数列%又是 0 ! 5 %"数列%列出两个方程%分析两个方程中项的下标% 从而推出数列1 ) ( 2为等差数列%进一步根据条件求得 % 的值 ! #详细过程$ !"因为 ) ( * , ! " ! ( ( % 所以 ) (,! )) (,( * , ! " ! ( (,! ) , ! " ! ( (,( *( , ! " ! ( ( *() ( *( ! ) ( ,()( " 所以数列1 ) ( 2是 0 ! ( % ,( "数列 ! ! ( 分"………………………………………………………… ! ( "证明*因为1 ) ( 2是公差为 ( 的等差数列 所以 ) (,! )) (,( ) . )) (,3 * ! ) ( ,( " ) ! ) ( ,$ " ) . ) ! ) ( ,(3 " *3) ( , ! ()$) . )(3 " *3) ( , 3 ! ()(3 " ( *3) ( ,3 ( ,3*3 ! ) ( ,3,! " 所以%对任意 3 ) # ) %公差为 ( 的等差数列1 ) ( 2都是 0 ! 3 % ! "数列 ! ! # 分"…………………… ! / "证明*由题意% ) (,! )) (,( )) (,/ */) ( ,/ % ,2 ! ( + $ " # ) (,! )) (,( )) (,/ )) (,$ )) (,# )) (,5 *5) ( ,5 % ,/5 ! ( + 8 " $ $ , # 得% ) (,$ )) (,# )) (,5 */) ( ,/ % ,(8 ! ( + 8 " 所以 ) (,! )) (,( )) (,/ */) ()/ ,/ % ,(8 ! ( + $ " ' 由 # % ' 得% /) ()/ ,/ % ,(8*/) ( ,/ % ,2 所以 ) ()/ ,) ( *5 ! ( + $ " ! ! " 分"………………………………………………………………… 由 # 得% ) ( )) (,! )) (,( */) ()! ,/ % ,2 ! ( + / " ( 数学答案 第 !! 页!共 !! 页" ( , # 得% ) ( ,) (,/ */) ()! ,/) ( ! ( + $ " 即 /) ()! *$) ( ,) (,/ ! ( + $ " 所以 /) ()$ *$) ()/ ,) ( */) ()/ )) ()/ ,) ( */) ()/ )5 ! ( + $ " 所以 ) ()$ ,) ()/ *( ! ( + $ " 所以 ) ()! ,) ( *( ! ( + 8 " ! ! 分"………………………………………………………………… 在 ' 中%分别令 (*$ % # % 5 % 8 %得 ) ! )) ( )) / */) 8 ,/ % ,(8 ) ) ( )) / )) $ */) " ,/ % ,(8 * ) / )) $ )) # */) 2 ,/ % ,(8 + ) $ )) # )) 5 */) !% ,/ % ,(8 , 则 * , ) 得% ) $ ,) ! */ ! ) " ,) 8 " *5 + , * 得% ) # ,) ( */ ! ) 2 ,) " " *5 , , + 得% ) 5 ,) / */ ! ) !% ,) 2 " *5 所以 ) ()/ ,) ( *5 ! ( + ! " 所以 ) ()! ,) ( *( ! ( + $ " ! $ 分"………………………………………………………………… 另一方面%由 , , + 得% ) $ ,) / */ ! ) !% ,) 2 " , ! ) # ,) $ " , ! ) 5 ,) # " *( + , * 得% ) / ,) ( */ ! ) 2 ,) " " , ! ) $ ,) / " , ! ) # ,) $ " *( * , ) 得% ) ( ,) ! */ ! ) " ,) 8 " , ! ) / ,) ( " , ! ) $ ,) / " *( 所以 ) ()! ,) ( *( ! ( + ! " 所以数列1 ) ( 2是公差为 ( 的等差数列 ! 由 ) 得% / % */) 8 , ! ) ! )) ( )) / " ,(8*/) 8 ,/) ( ,(8*/ 所以 % *!! ! 8 分"………………………………………………………………………………… 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求. 2.C3.C 4.D 5.D 6.A 7.C 1.B 8.C 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9、10题选对1个得2分,选对2个得4分,全部 选对的得6分,有选错的得0分;11题选对1个得3分,全部选对的得6分,有选错的得0分. 9.ABD 10.ACD 11.AD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 1 12.4 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详细过程】 (1)证明:因为CE一DE,O为CD的中点; 所以CDOE, 又SOCD,且OEOSO-O. 所以CD平面SAB 又ABC平面SAB,所以AB CD (5分) 设AB-4,建立如图所示空间直角坐标系O一xyz,则O(0,0,0),A(0,-2,0),C(2,0,0). E(0,1,v3),所以OC-(2,0,0),OE-(0,1,v3),AC-(2,2,0),AE-(0,3.v3),...(7分) 数学答案第1页(共5页) 设平面ACE的一个法向量为m一(x,y,z),则 (n.AC-o (x十y-0 ,即 ,取y=-1,则n=(1,-1,3) n.AE-o ③y十z-0 设平面CED的一个法向量为n一(x。,y,z。),则 (n.OC-0 [x-0 ,即 ,取。--1,则n-(0,3,-1). ..................). n.O-。 y。+3。-0 因此cos(m,n)mn 15 nn 5 ..(13分) 5~. 16.【详细过程】 (1)证明:记角A,B,C的对边分别为a,b,c (3分) 因为sinC:0, ....................................................................... (5分) 同理,在△ACD中,}-AD{+ 4-2AAD②# ①-②得,c*-b-/②aAD. (11分) 在△ACD中,由正弦定理得,AD一- ................................................................................ (15分) 17.【详细过程】 (1)证明:f(x)的定义域为(一1,十). (2分) 数学答案第2页(共5页) 所以当-1<x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-1,0)上单调递减; 当x>0时,g’(x)>0,g(x)在(0,十o)上单调递增 .......................................... (5分) 2 (2)/(x)十f(-x)-1n(1-x*)+ (7分) 则'(t)-12 ,令(t)=-2at*+t-2, 。2 一0,符合题意 (11分) (0,1),使得 (t。)-0,且t<t<1时,(t)0,即h'(t)0,所以h(t)在(t。,1]上单调递增,所 以h(t)<h(1)-0,不符合题意 (15分) 18.【详细过程】 .......(分) (2)(i)由题意,直线BD的斜率存在,设直线BD方程为:y=kx-2,B(x,y),D(x,y). 由 ,消去y整理得,(3k-1)x②-12x+9-0 y-:-2 x.十2一 12/ 3^{-1 ................................................... (6分) x2-3-1 6/ 3^2十1 6 一 x3^2-1 所以E() (8分) 数学答案第3页(共5页) 3^+1 1+ 所以直线AE方程为:y=- 6 3k^{-1 [$y=x-2 由 得y=- --x十1 ................................................. (10分) (lI)过B,D,E三点的圆经过定点,理由如下; 6^{2+6 3^{-1 (12分) 32}-1' 3^{+13^+3 所以BD 一2 EG ,即点E在以线段BD为直径的圆上, ................................. (14分) 1AG{-、(3)+(31 1)#-33. 所以A在以线段BD为直径的圆上, 所以过B,D,E三点的圆经过定点A(0,1). ................................................... (17分) 19.【详细过程】 (1)因为a.-(-)”, 所以a,+a--(-)+(-) --2(-2)“-2a。-2(a-2+2) 所以数列a是P(2,一2)数列. (2分) (2)证明:因为a是公差为2的等差数烈 所以a-1十a2十.十a=(a-2)十(a-4)十.十(a。-2k) (2+2k)-ka.-^2-k-k(a.-k-1) -ka-(2十4+..-+2)-a.- 所以,对任意EN ,公差为2的等差数列{a.)都是P(,1)数列. ........................ (5分) (3)证明:由题意,a-+a-。+a-3-3a。-3a-9(n4)① +a-2+a-+-,+a+a--6a.-6-36(n7)② ②-①得,a-+a:十a-=3a。-3-27(n7) 所以a-1+a-2+a--3a -3-27(n 4)③ 数学答案第4页(共5页) 由①,③得,3a-3-27-3a。-3-9 所以a-a.-6(n4). ...................................................................... (8分) 由①得,a。+a-1+a--3a。1-3-9(n3)④ ④-①得,a.-a-=3a,-3a(n4) 即3a.-4a.-a-(n二4) 所以3a 4-4a-a.-3a3十a3-a.-3aa+6(n>4) 所以a.-a-2(n二4) 所以a-a.-2(n二7) ...................................................................... (11分) 在③中,分别令n一4,5,6,7,得 a+a+a-3a-3-27 a+a+a-3a-3-27 a:+a+a-3a。-3-27 a+a+a-3a -3-27⑧ 则-得,a-a-3(a-a)-6 -得,a-a-3(a。-a)-6 ⑧-得,a-a。-3(a。-a。)-6 所以a-a.-6(n二1) 所以a-a.-2(n二4) .......................................................................... (14分) 另一方面,由⑧-得,a-a=3(a 。-a。)-(a-a)-(a-a)-2 -得,a-a=3(a。-as)-(a-a)-(as-a)-2 -得,a-a.=3(a-a)-(a-a)-(a-a)-2 所以a.-a.-2(n二1) 所以数列a。是公差为2的等差数列 由得,3-3a -(a +a+a )-27-3a -3a -27-3 所以.... ............................................................. (17分) 数学答案第5页(共5页)书 数学试题 ! 第 ! 页!共 " 页" 秘密 " 启用前 眉山市高中 !"!# 届第一次诊断性考试 数学试题 !! 本试卷分选择题和非选择题两部分!满分 !#$ 分"考试时间 !%$ 分钟 注意事项! !& 答题前"务必将自己的姓名#座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上! %& 答选择题时"必须使用 %' 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑!如需改动"用橡皮 擦干净后"再选涂其他答案标号! (& 答非选择题时"必须使用 $)# 毫米黑色签字笔"将答案书写在答题卡规定的位置上! "& 所有题目必须在答题卡上作答"在试题卷上答题无效! #& 考试结束后"只将答题卡交回! 一"选择题!本题共 * 小题#每小题 # 分#共 "$ 分 ! 在每小题给出的四个选项中#只有一个选项符 合题目要求 ! !! 已知复数 " 满足 " %+" , ! %+- #则 # " # , !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! .! '!槡% /!% 0!槡# %! 已知全集 #,$ #集合 $, $ % ## % #$ ! %# &, $ ' # ' , %槡 1!%#则图中阴影部分表示的集合为 .! !# + 2 " '! & 1! # + 2 " /! ! 1 2 # 1! " 0! & 1! # $ " (! 已知椭圆 % % ( + ' % ) ,! 的离心率为槡( % #则 ) ( , .!% '! ! " /!" 或 ! " 0! ! % 或 % "! 某项智力测试共有 $ # & # * # + # , 五道试题#测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道 试题才算通过测试 ! 小明答对 $ # & # * 三道试题的概率均为 % ( #答对 + # , 两道试题的概率均为 ! % #且每道试题答对与否相互独立#则小明在答错试题 $ 的条件下通过测试的概率为 .! ! 3 '! % 4 /! 5 !* 0! " 4 数学试题 ! 第 % ! 页!共 " 页" #! 已知 - ! % "是定义在 $ 上的奇函数#且 - ! % "可导#若 % $ 是 - ! % "的极小值点#则下列说法错误 的是 .!1% $ 是函数 ' , - ! % "的极大值点 '!% $ 是函数 ' ,6 - ! % "的极小值点 /!1% $ 是函数 ' ,6 - ! 1% "的极小值点 0!% $ 是函数 ' , - ! 1% "的极小值点 3! 将函 数 - ! % " ,7-8% 图 象 上 的 所 有 点 经 过 平 移 和 伸 缩 变 换 得 到 函 数 . ! % " , 7-8 ! % %+ ! " ! # ! #% ! ! " % 的图象#若点 $ ! ( # - ! ! "! " ( 被变换成了点 $/ ! % $ # '$ "#且 7-8% $ , ! % # 则 ! 的所有可能值之和为 .! ! 3 '! ! " /! ! ( 0! ! !% 5! 已知 0 & $ #函数 - ! % " , ! %10 " % 1% # % $ ! # 0%+ ! % +% # % ' ! ( ) * ! #则' $ $ 0 $ " (是' - ! % "存在最小值(的 .! 充分不必要条件 '! 必要不充分条件 /! 充要条件 0! 既不充分也不必要条件 *! 若 $ %"% ! % #且 %9:8 % " 1 ! ! " 3 +9:8 " + ! ! " 3 ,$ #则 7-8 " 1 ! ! " ( , .!1 槡( ( '! 槡( ( /!1 槡3 ( 0! 槡3 ( 二"选择题!本题共 ( 小题#每小题 3 分#共 !* 分 ! 在每小题给出的四个选项中#有多项符合题目 要求 ! 全部选对的得 3 分#部分选对的得部分分#有选错的得 $ 分 ! 4! 某直播带货公司统计了今年 ! 月份至 # 月份的某种产品的月销量 ' !单位)千件"如下表所示) 月份 % ! % ( " # 月销量 ' %)" ()! " # #)# 已知变量 ' 与 % 之间具有线性相关关系#通过最小二乘法求得的经验回归直线方程为1 ' , 1 2%+!)#5 #则下列说法正确的是 参考公式)相关系数 3 4 + ) 5 4 ! ! % 5 6 , % "! '5 6 - ' " + ) 5 4 ! ! % 5 6 , % " % + ) 5 4 ! ! '5 6 - ' " 槡 % #决定系数 7 % 4 ! 6 + ) 5 4 ! ! '5 6 1 '5 " % + ) 5 4 ! ! '5 6 - ' " % ! .! 1 2,$)*! '!3 ' $ /!% 每增加 ! # ' 一定增加 $)*! 0!3 % ,7 % 数学试题 ! 第 ( ! 页!共 " 页" !$! 如图#在直三棱柱 $ ! & ! * ! 1$&* 中#点 + # , # 8 分别是棱 $& # $ ! $ # & ! & 的中点#直线 * ! + . 平面 ,8* #直线 $& 与平面 & ! &** ! 所成角为 "#; #若 $&,% # $*,&* #则下列说法正确的是 .!$ ! $ 槡, % '! 点 * ! 到平面 ,8* 的距离为槡( ( /! 五面体 $ ! ,8& ! * ! * 的体积为 槡%% ( 0! 三棱柱 $ ! & ! * ! 1$&* 的外接球的表面积为 3 ! !!! 若函数 - ! % " ,% ( + # 0%+2 # 有三个不同零点#则 .!02 ' $ '!02 % $ /! # 0 # ( 1(2 可以等于 1! 0! # 0 # ( 1(2 可以等于 ! 三"填空题!本题共 ( 小题#每小题 # 分#共 !# 分 ! !%! 在 / $&* 中# + 是 &* 边上靠近 & 的一个三等分点#若 01 $* 与 % 01 +$+ 01 (+& 平行#则实数 (, !!! ! !(! 已知 9 为坐标原点# 8 是抛物线 * ) ' % ,"% 的焦点# $ # & 是 * 上位于 % 轴异侧的两点#且 # $8 # ,( # &8 # , ( % #则 / 9$& 的面积为 !!! ! !"! 设 : & % + # : 为常数# 0 ! ,:+! #若对任意 5 & $ % # ( #*# :+! %#都有 0 5 +0 51! ,/ 51! : #则 0 :+! , !!! + 0 ! +0 % + * +0 :+! , !!! ! !第一空 % 分#第二空 ( 分" 四"解答题!本题共 # 小题#共 55 分 ! 解答应写出文字说明"证明过程或演算步骤 ! !#! $ !( 分% 如图# ; 是圆锥的顶点# 9 是圆锥底面圆心# $& # *+ 是底面圆 9 的 两条直径#点 , 在 ;& 上# $& 槡, %*, 槡, %+,! !"求证) $& . *+ + ! % "若 , 为 ;& 的中点#求二面角 $1*,1+ 的余弦值 ! !3! ! # 分" 已知 / $&* 的面积 ;, ! # $& % ! !"求证) 7-8*, # % 7-8$7-8& + ! % "设 + 为 &* 的中点#且 2 $+*,"#; #求 $& $* 的值 ! 数学试题 ! 第 " ! 页!共 " 页" !5! ! # 分" 已知 0 & $ #函数 - ! % " ,<8 ! %+! " + ! %+! +0% % ! !"当 0 3 $ 时#求证) - ! % " 3 ! + ! % "若 - ! % " + - ! 1% " 3 % #求 0 的取值范围 ! !*! ! 5 分" 已知 $ ! $ # ! "# 8 ! $ # 1% "分别是双曲线 * ) ' % 0 % 1 % % 2 % ,! ! 0 ' $ # 2 ' $ "的上顶点#下焦点 ! !"求 * 的标准方程+ ! % "过 8 的直线与 * 的上#下支分别交于 & # + 两点! & 异于 $ "#直线 %,< 平分线段 &+ 与 * 的下支交于点 ,! ! " "求证)直线 $, 与直线 &+ 的交点在一条定直线上+ ! # "过 & # + # , 三点的圆是否经过定点#请说明理由 ! !4! ! 5 分" 如果数列$ 0 ) %! ) & % + "满足)存在 : & % + # & $ #使得任意 ) ' : # 0 )1! +0 )1% + * +0 )1: , : ! 0 ) 1:1 # "都成立#则称数列$ 0 ) %是 = ! : #"数列 ! !"设 0 ) , 1 ! " ! % ) #判断数列$ 0 ) %是否是 = ! % # 1% "数列#请说明理由+ ! % "证明)对任意 : & % + #公差为 % 的等差数列$ 0 ) %都是 = ! : # ! "数列+ ! ( "若数列$ 0 ) %既是 = ! ( #"数列#又是 = ! 3 #"数列#证明)数列$ 0 ) %是等差数列#并求出 # 的值 !