精品解析：山西省太原市迎泽区太原市第五中学校2024-2025学年七年级上学期12月月考数学试题

山西省太原市迎泽区太原市第五中学校2024-2025学年七年级上学期 12月月考数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储亿本书籍，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A. B. 3 C. D. 1 4. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 5. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是（ ）． A. 10. B. 12. C. 38. D. 42. 6. 将方程中分母化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 12. 计算：____________． 13. 已知的值为，则代数式的值为________． 14. 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头一敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力…如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第n个图案中花朵图案的个数为_____． 15. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，当为_______时，． 三．解答题（共55分） 16. 计算题 （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：……第一步 去括号，得：……第二步 移项，得：……第三步 合并同类项，得：……第四步 系数化1，得：……第五步 （1）以上求解步骤中，第一步的依据是_____________． （2）上述小蒙的解题过程从第_____________步开始出现错误，具体的错误是_____________． （3）该方程正确的解为_____________． 19. 如图，已知，作使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，将两个直角三角尺拼成如图所示的图案，和是直角； （1）若，求的度数； （2）在这幅图中，与相等的角是_____________． 21. 好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 22. 综合与实践 我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？ 理解问题 （1）下列各数中，能被3整除的有______________；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025 （2）小明发现他的学号是一个四位数，它能被3整除．如果学号的千位数字是4，百位数字是7，个位数字是1，那么十位数字是______________； 拟定计划 （3）先来看两位数的情形．若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可以表示为，其中9a能被3整除，只要能被3整除，这个两位数就能被3整除．设是一个三位数，可以表示为______________（用含有的代数式表示）； 实施计划 （4）仿照（3）中两位数的思路，说明三位数各数位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；回顾反思：两位数、三位数．．．．．．，都有这样的规律，论证方法类似． 23. 综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市迎泽区太原市第五中学校2024-2025学年七年级上学期 12月月考数学试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，其中一个大数据中心能存储亿本书籍，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据互为相反数的两个数和为0列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，解一元一次方程，能根据相反数的定义列出方程是解题关键． 4. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 5. 如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3，则最后输出的结果是（ ）． A. 10. B. 12. C. 38. D. 42. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：当x=3时，得到3×4-2=12-2=10， 当x=10时，得到10×4-2=40-2=38， 则输出的数为38． 故选C 6. 将方程中分母化为整数，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 【详解】解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 7. 已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形；根据题意画出图形，由D是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 8. 在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角，根据方向角，可得，，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，，， 由余角的性质，得， 由角的和差，得， 故选：C． 9. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 10. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可得，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选：D． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】使方程中等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程，得出关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，掌握一元一次方程的解的定义是解题关键． 12. 计算：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒的进制计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知的值为，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由x2+3x+5=11得出x2+3x=6，代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可 【详解】解：∵x2+3x+5的值为11 ∴x2+3x=6, ∴3(x2+3x)=18， ∴3x2+9x+12， =3(x2+3x)+12， =3×6+12， =30. 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用． 14. 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头一敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力…如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第n个图案中花朵图案的个数为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个花朵图案是解题的关键．根据图形变化的规律得出第个图形中有个花朵图案即可解答． 【详解】解：由题知，第①个图案中有个花朵图案， 第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案， 第④个图案中有个花朵图案，…， 第n个图案中有个花朵图案， 故答案为：． 15. 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，当为_______时，． 【答案】1或3 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，用数轴上两点间的距离公式求出，用，列出方程求解即可． 【详解】解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，， 故答案为：1或3． 三．解答题（共55分） 16. 计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先算乘法，再算加减法即可； （2）先算乘方，再算括号里的除法，再算括号外的乘法，最后算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：……第一步 去括号，得：……第二步 移项，得：……第三步 合并同类项，得：……第四步 系数化1，得：……第五步 （1）以上求解步骤中，第一步的依据是_____________． （2）上述小蒙的解题过程从第_____________步开始出现错误，具体的错误是_____________． （3）该方程正确的解为_____________． 【答案】（1）等式的基本性质 （2）一，去分母没有加括号 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解； （2）检查解题过程，可发现第一步去分母没有带括号； （3）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可． 【小问1详解】 解：第一步的依据是：等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； 【小问2详解】 解：第一步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号； 故答案为：一，去分母没有加括号； 【小问3详解】 解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 故答案为：． 19. 如图，已知，作使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，∠AOB即为所求． 【解析】 【分析】先作∠AOC=∠α，然后在其外部再作∠BOC=∠α，则可得∠AOB=2∠α． 【详解】略 【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 20. 如图，将两个直角三角尺拼成如图所示的图案，和是直角； （1）若，求的度数； （2）在这幅图中，与相等的角是_____________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题题主要考查了三角板有关的角度计算． （1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比减少的部分，所以若，则的度数为； （2）由得． 【小问1详解】 解：∵和是直角， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 21. 好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【答案】杯子的高度是． 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题的关键． 设杯子的高度为．根据个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可． 【详解】解：设杯子的高度为． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 所以，杯子的高度是． 22. 综合与实践 我们知道像这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？ 理解问题 （1）下列各数中，能被3整除的有______________；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025 （2）小明发现他的学号是一个四位数，它能被3整除．如果学号的千位数字是4，百位数字是7，个位数字是1，那么十位数字是______________； 拟定计划 （3）先来看两位数的情形．若一个两位数的十位数字为，个位数字为，则可以表示为，其中9a能被3整除，只要能被3整除，这个两位数就能被3整除．设是一个三位数，可以表示为______________（用含有的代数式表示）； 实施计划 （4）仿照（3）中两位数的思路，说明三位数各数位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；回顾反思：两位数、三位数．．．．．．，都有这样的规律，论证方法类似． 【答案】（1）②④； （2）0或3或6或9； （3）； （4）证明：， ∵能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，数字的变化规律． （1）根据“如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”判断即可； （2）设十位数为x，由题意得能被3整除，即可求解； （3）根据题意列出代数式，即可求解； （4）根据整式加减法则，仿照例题进行计算即可． 【详解】解：（1）， ∵7不能被3整除， ∴25不能被3整除， ∴①不符合题意； ， ∵9能被3整除， ∴225能被3整除， ∴②符合题意； ， ∵8不能被3整除， ∴1025不能被3整除， ∴③不符合题意； ， ∵9能被3整除， ∴2025能被3整除， ∴④符合题意． 故答案为：②④； （2）设十位数为x， 由题意得能被3整除， ∴x的值可能为0、3、6、9， ∴十位数字是0或3或6或9， 故答案为：0或3或6或9； （3）， 故答案为：； （4）略 23. 综合与探究 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______________这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）； （2）若，且射线是的“巧分线”，则______________（用含的代数式表示）； 深入研究： 如图2，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中．将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，当边落在射线上时两个三角板停止旋转，设三角板运动时间为秒．请直接写出当是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；深入研究：4或或6或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，新定义问题，解题时要能熟练掌握阅读理解能力及知识的迁移能力是关键． （1）根据新定义与角平分线的定义中，结合进行解答即可； （2）根据新定义考虑三角两两的倍数关系即可； 深入研究：根据新定义考虑三角两两的倍数关系分三种情况讨论，根据角的倍数关系列关于t的等式方程，解方程即可． 【详解】解：（1）因角平分线分成两个角与被分原角满足原角是所分出的小角的两倍，根据新定义知，角平分线应为这个角的“巧分线”， 故答案为：是； （2）分以下三种情况： 当或时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或； 深入研究：由题意得，， 当时，， 当边落在射线上时两个三角板停止旋转，此时，解得； 当时，在内部， 是的“巧分线”，分以下三种情况， 当时，， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 当时，在外部，不满足“巧分线”的定义， 当时，，此时，则，此时，满足“巧分线”的定义， ∴当是的“巧分线”时的值为4或2.4或6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $