2.1第3课时轨迹问题学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

轨迹问题 [学习目标]　1.掌握定义法求轨迹方程.2.掌握直接法求轨迹方程．(重点)3.理解代入法求轨迹方程．(难点) 一、定义法求轨迹方程 问题　轨迹和轨迹方程有什么区别？ 知识梳理 满足条件的点M所构成的__________即为动点M的轨迹，对应的__________即为动点M的轨迹方程． 例1　已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程． 反思感悟　(1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程． (2)注意轨迹与轨迹方程不同． 跟踪训练1　如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________． 二、直接法求轨迹方程 例2　已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，则动点M的轨迹方程为________________． 反思感悟　直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中给出的等量关系或通过已知条件找到的等量关系，列出x，y之间的关系并化简，得出方程． 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性． 跟踪训练2　已知点B(1,1)是圆x2＋y2＝4内的一点，P，Q为圆上的动点．若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 三、代入法求轨迹方程 例3　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程． 反思感悟　代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”． 跟踪训练3　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 1．知识清单： (1)定义法求轨迹方程． (2)直接法求轨迹方程． (3)代入法求轨迹方程． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：将求轨迹方程与求轨迹混淆． 1．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25 C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25 2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 3．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是__________． 4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________________． 轨迹问题 问题　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式． 知识梳理 曲线　方程 例1　解　如图，设P为弦AB的中点，则CP⊥AB，取线段CM的中点D， 则PD＝CM＝1， 当直线AB的斜率不存在及斜率为0时，P分别与M，C重合，亦有PD＝1. 故弦AB的中点P的轨迹是以D(1,0)为圆心，1为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1. 跟踪训练1　x2＋y2＝9 解析　连接OM(图略)，设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 例2　x2＋y2＋2x－3＝0 解析　设动点M(x，y)， ∵动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为， ∴＝， 化简得点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0. 跟踪训练2　解　设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， ∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 例3　解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点， ∴即 又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1， ∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 跟踪训练3　解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0)． ∴① ∵AD＝3， ∴(x0＋2)2＋y＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 随堂演练 1．C　[线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为AB＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．] 2．A　[设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得 因为点Q在圆x2＋y2＝4上， 所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.] 3．x2＋y2＝16 解析　设M(x，y)， 则＝2， 整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 4．x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析　由条件知A(2，－1)，设M(x，y)， 则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上， 则(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$