2.1第1课时圆的标准方程 学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

第1课时　圆的标准方程 [学习目标]　1.掌握圆的定义及标准方程．(重点) 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题． 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题2　已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，请推导出该圆的方程． 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 例1　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． (2)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为____________________． 反思感悟　求圆的标准方程的方法 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． (2)待定系数法： 跟踪训练1　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________． (2)已知圆C的圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆C的标准方程为______________． 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件又是什么？ 知识梳理 点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d______r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 点在圆内 d______r (x0－a)2＋(y0－b)2_______r2 例2　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 跟踪训练2　(1)已知圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)(　　) A．在圆C外 B．在圆C内 C．在圆C上 D．不能确定 (2)若点A(a,2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为(　　) A．[1,5] B．[2,5] C．[3,5] D．[4,5] 三、圆的标准方程的实际应用 例3　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？ 反思感悟　解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 跟踪训练3　一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m 1．知识清单： (1)圆的标准方程． (2)点与圆的位置关系． (3)圆的标准方程的实际应用． 2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法． 3．常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况． 1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为(　　) A．(2,1) B．(2，－1) C．(－2,1) D．(－2，－1) 2．以(2 023,2 023)为圆心，2 024为半径的圆的标准方程为(　　) A．(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 0242 B．(x＋2 023)2＋(y＋2 023)2＝2 0242 C．(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 024 D．(x＋2 023)2＋(y＋2 023)2＝2 024 3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________． 4.如图，是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是________米． 第1课时　圆的标准方程 问题1　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2　如图，设圆上任一点M(x，y)，则MA＝r，由两点间的距离公式，得＝r， 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 知识梳理 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)　x2＋y2＝r2(r>0) 例1　(1)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)(x－4)2＋(y＋3)2＝25 解析　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为 x＋y－1＝0. 又弦的垂直平分线过圆心， 则由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径r＝＝5. 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 跟踪训练1　(1)(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， AB＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 解析　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，∴圆C的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 问题3　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，即<r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即>r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. 知识梳理 ＞　＞　＝　＜　＜ 例2　解　解方程组得 ∴圆心M的坐标为(0,1)， 半径r＝MP＝＝5. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∵AM＝＝<r， ∴点A在圆内． ∵BM＝＝5＝r， ∴点B在圆上． ∵CM＝＝2>r， ∴点C在圆外． ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外． 跟踪训练2　(1)B　[圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(2,3)，半径为2，因为PC＝＝<2，所以点P在圆C内．] (2)B　[因为点A(a,2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，所以(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，化简得a2－7a＋10≤0，解得2≤a≤5.] 例3　解　以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(0,0)，A(6，－2)． 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)． 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)． 将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝， ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米)． 跟踪训练3　B　[建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h， 则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62， 解得h＝4≈3.5 m．] 随堂演练 1．B　[结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．] 2．A　[由圆的标准方程知(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 0242.] 3．a＞1或a＜－ 解析　由题意得4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－. 4. 解析　∵OD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝×10＝5(米)， 在Rt△OAD中，设半径OA＝R米， 则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝. ∴此隧道圆的半径是米． 学科网（北京）股份有限公司 $$