专题03 三角形中的边角关系、命题与证明（考点串讲，7大常考点+4大技巧突破+3大易错剖析+5道期末预测题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题03 三角形中的边角关系、命题与证明 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理+典例剖析 四大模型技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点1　三角形的三边关系 D 考点透视 5 3 考点2　三角形的重要线段 1. 如图， CD ⊥ AD 于点 D ，已知∠ ABC 是钝角，则(　B　) A. 线段 CD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B. 线段 CD 是△ ABC 的 AB 边上的高线 C. 线段 AD 是△ ABC 的 BC 边上的高线 D. 线段 AD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B 2. 如图， AD 是△ ABC 的中线， AB ＝4， AC ＝3.若△ ACD 的周长为8，则△ ABD 的周长为 ⁠. 9　 考点3　三角形的内角和 75° 16° 3. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ C ＝30°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 BC 于点 E ，则∠ BDE 的度数是(　B　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 考点4　利用三角尺解三角形外角 1. 一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是(　B　) A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° B 2. [2023十堰中考]一副三角尺按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ ⁠. 100°　 考点5　三角形的稳定性 2 三角形的稳定性 考点6　三角形的折叠问题 1. [2023淄博期末]如图，将△ ABC 沿 DE ， EF 翻折，顶点 A ， B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO ，若∠ CDO ＋∠ CFO ＝100°，则∠ C 的度数为(　A　) A. 40° B. 41° C. 42° D. 43° A 2. 【新考法·操作探究】如图，一个四边形纸片 ABCD ，∠ B ＝∠ D ＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的点B'处， AE 是折痕.如果∠ C ＝130°，求∠ AEB 的度数. 解：由折叠的性质可知∠AB'E＝∠ B ＝90°，∠ AEB ＝ ∠BEB'，∴∠DB'E＝90°. ∵∠ B ＝∠ D ＝90°，∠ C ＝130°， ∠DB'E＋∠ D ＋∠ C ＋∠B'EC＝360°， ∴∠B'EC＝360°－∠DB'E－∠ D －∠ C ＝50°. ∵∠B'EC＋∠BEB'＝180°， ∴∠BEB'＝130°.∴∠ AEB ＝65°. 考点7　命题、真命题、逆定理 C C 如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称 假 类型1　8字形模型 1. 如图， AB 和 CD 相交于点 O ，∠ A ＝∠ C ，则下列结论中不能完全确定正确的是(　D　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠1＝∠ A ＋∠ D C. ∠2＞∠ D D. ∠ C ＝∠ D D 题型剖析 2. 【学科素养·模型观念】如图①，已知线段 AB ， CD 相交于点 O ，连接 AC ， BD ，我们把形如这样的图形称为“8字形”. (1)求证：∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D ； (1)证明：在△ AOC 中，∠ A ＋∠ C ＝180°－∠ AOC . 在△ BOD 中，∠ B ＋∠ D ＝180°－∠ BOD . ∵∠ AOC ＝∠ BOD ， ∴∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D . (2)如图②，若∠ CAB 和∠ BDC 的平分线 AP 和 DP 相交于点 P ，与 CD ， AB 分别相交于点 M ， N . ①以线段 AC 为边的“8字形”有 个，以点 O 为交点的“8字形”有 个； 3　 4　 ②若∠ B ＝100°，∠ C ＝120°，求∠ P 的度数. (2)解：②∵在△ AMC 和△ DMP 中， ∠ C ＋∠ CAM ＝∠ P ＋∠ PDM ， 在△ BDN 和△ PAN 中，∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PAN ， ∴∠ C ＋∠ CAM ＋∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PDM ＋∠ P ＋∠ PAN ＝2∠ P ＋∠ PDM ＋∠ PAN . ∵ AP 平分∠ BAC ， DP 平分∠ BDC ，∴∠ CAM ＝∠ PAN ，∠ BDN ＝∠ PDM ， ∴∠ C ＋∠ B ＝2∠ P ，即120°＋100°＝2∠ P ，∴∠ P ＝110°. 类型2　飞镖模型 3. 如图，∠ ABD ，∠ ACD 的平分线交于点 P ，若∠ A ＝48°，∠ D ＝10°，则∠ P 的度数为(　A　) A. 19° B. 20° C. 22° D. 25° A 4. [2023秦皇岛期中]一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠ A 等于90°， ∠ B ，∠ C 分别等于29°和21°的零件是合格零件，检验人员量得∠ BDC＝141°，就断定这个零件不合格.你能说明理由吗？ 解：理由：如图，延长 BD 交 AC 于点 E . 根据三角形的外角性质可知， ∠ CED ＝∠ A ＋∠ B ，∠ BDC ＝∠ CED ＋∠ C ， ∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝90°＋29°＋21°＝140°， ∴检验人员量得∠ BDC ＝141°，可断定这个零件不合格. 5. 【新考向·开放性问题】如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°，求∠ BCD 的度数. 下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线 AC ； 方法二：延长 BC 交 AD 于点 E ； 方法三：连接 B D. 请选择上述一种方法，求∠ BCD 的度数. 解：选择方法一：如图①，作射线 AC 并在线段 AC 的延长线上任取一点 E . ∵∠ BCE 是△ ABC 的外角，∴∠ BCE ＝∠ B ＋∠ BAE . 同理可得∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DAE ， ∴∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝∠ B ＋∠ BAE ＋∠ D ＋∠ DAE ＝∠ B ＋∠ BAD ＋∠ D . ∵∠ BAD ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. ∵∠ BED 是△ ABE 的外角，∴∠ BED ＝∠ B ＋∠ A . 同理可得∠ BCD ＝∠ BED ＋∠ D ， ∴∠ BCD ＝∠ B ∠ A ＋∠ D . ∵∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 选择方法二：如图②，延长 BC 交 AD 于点 E . 选择方法三：如图③，连接 BD . 在△ ABD 中，∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ADB ＝180°， ∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ CBD ＋∠ ADC ＋∠ BDC ＝180°， ∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°－∠ CBD －∠ BDC . 在△ BCD 中，∠ BCD ＝180°－∠ CBD －∠ BDC ， ∴∠ BCD ＝∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC . ∵∠ A ＝55°，∠ ABC ＝30°， ∠ ADC ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 类型3　角内翻模型 6. 把△ ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示，∠ A ＝60°，∠1＝96°，则∠2 的度数为(　B　) A. 30° B. 24° C. 25° D. 26° B 7. 如图，将△ ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点A'处，且BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，若∠BA'C＝120°，则∠1＋∠2的度数为(　D　) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° D 8. 【新考法·操作探究】如图，在△ ABC 中，∠ C ＝46°，将△ ABC 沿直线 l 折叠，使点 C 落在点 D 的位置，则∠1－∠2的度数是(　B　) A. 23° B. 92° C. 46° D. 无法确定 B 9. 【思想方法分类讨论】[2024邢台期末]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝64°，∠ B ＝90°，∠ C ＝26°.点 D 是 AC 边上的定点，点 E 在 BC 边上运动，沿 DE 折叠△ CDE ，点 C 落在点 G 处.当△ DEG 的三边与△ ABC 的三边有一组边平行时，∠ ADG ＝ ⁠ ⁠. 26°或38°或52°或64°或116°或142°　 点拨：如图①，当 DE ∥ AB 时， DE ⊥ CG . ∵∠ DGC ＝∠ C ＝26°， ∴∠ ADG ＝∠ DGC ＋∠ C ＝52°. 如图②，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时， ∠ ADG ＝180°－∠ A ＝180°－64°＝116°. 如图③，当 DG ∥ BC 时，∠ ADG ＝∠ C ＝26°. 如图④，当 EG ∥ AC 时，∠ ADG ＝∠ G ＝∠ C ＝26°. 如图⑤，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时， ∠ CFE ＝∠ A ＝64°，∠ CEG ＝∠ B ＝90°. 由折叠的性质可知， ∠ DEG ＝∠ DEC ＝45°，∠ EDG ＝∠ CDE ， ∴∠ EDF ＝∠ C ＋∠ DEC ＝26°＋45°＝71°， ∴∠ CDE ＝180°－∠ EDF ＝109°， ∴∠ ADG ＝∠ EDG －∠ EDF ＝∠ CDE －∠ EDF ＝109°－71°＝38°. 如图⑥，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时，∠ ADG ＝∠ A ＝64°. 如图⑦，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时， ∠ GEB ＝∠ B ＝90°， ∴∠ CEG ＝90°. 由折叠的性质得∠ DEC ＝∠ DEG ＝ ＝135°，∠ GDE ＝∠ CDE . ∵∠ C ＝26°，∴∠ GDE ＝∠ CDE ＝180°－135°－26°＝19°， ∴∠ ADG ＝180°－19°－19°＝142°. 综上，∠ ADG 的度数为26°或38°或52°或64°或116°或142°. 类型4　角平分线模型 10. [2023石家庄期中](1)如图①，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线 BO 与∠ ACB 的平分线 CO 交于点 O ，求证：∠ BOC ＝90°＋ ∠ A ； (1)证明：∵∠ ABC 与∠ ACB 的平分线相交于点 O ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC ，∠ OCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB ). ∴在△ OBC 中，∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB ) ＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠ A ) ＝90°＋ ∠ A . (2)如图②，在△ ABC 中， E 是边 BC 的延长线上一点，∠ ABC 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ，求证：∠ BOC ＝ ∠ A ； (2)证明：∵∠ ABE 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ， ∴∠ ABO ＝∠ CBO ＝ ∠ ABC ，∠ ECO ＝∠ ACO ＝ ∠ ACE . ∴∠ BOC ＝∠ ECO －∠ OBC ＝ ∠ ACE － ∠ ABC ＝ (∠ ACE －∠ ABC )＝ ∠ A . (3)如图③，在△ ABC 中， D 是边 AB 的延长线上一点， E 是边 AC 的延长线上一点，∠ CBD 的平分线 BO 与∠ BCE 的平分线 CO 交于点 O . 写出∠ A 与∠ BOC 的数量关系，并证明你的结论. (3)解：∠ BOC ＝90°－ ∠ A . 证明：∵ BO ， CO 分别是△ ABC 的外角∠ CBD ，∠ BCE 的平分线， ∴∠ CBD ＝2∠ CBO ＝∠ ACB ＋∠ A ， ∠ BCE ＝2∠ BCO ＝∠ ABC ＋∠ A . ∴2∠ CBO ＋2∠ BCO ＝2∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ A ＋180°. ∴∠ CBO ＋∠ BCO ＝ ∠ A ＋90°. 又∵∠ CBO ＋∠ BCO ＋∠ BOC ＝180°， ∴∠ BOC ＝180°－(∠ CBO ＋∠ BCO )＝90°－ ∠ A . 易错易混 易错点一：画钝角三角形的高时出错 D A 易错易混 易错点二：确定等腰三角形的边长时,易忽略三角形的三边关系而出错 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 1. [2024汕尾期末]下列长度的三条线段能组成三角形的是(　C　) A. 4，4，8 B. 2，5，9 C. 4，6，9 D. 3，5，8 C 押题预测 2.（24-25八年级上·全国·期末）下列命题中为假命题的是（ ） A．同位角不相等，两直线不平行 B．一个角的余角一定大于这个角 C．一个钝角的补角必是锐角 D．过两点有且只有一条直线 B 3. [2024佛山期末]在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是(　D　) D A. 如图①，过点 C 作 EF ∥ AB B. 如图②，延长 AC 到 F ，过点 C 作 CE ∥ AB C. 如图③，过 AB 上一点 D 作 DE ∥ BC ， DF ∥ AC D. 如图④，过点 D 作 DE ∥ BC 4.（2023秋•鞍山期末）如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 ______ ． 【解析】解：∵∠B=40°，∠C=30°， ∴∠BAC=110°， 由折叠的性质得， ∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC， ∵DE∥AB，∴∠BAE=∠E=30°，∴∠CAD=40°， ∴∠ADE=∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°， 110° 故答案为：110°． 43 5.（2023秋•榆阳区校级期末） 如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点(均不与点O重合)． (1)如图1，当∠MON=58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB=　　°； (2)如图2，当∠MON=n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB=　　° (用含n的式子表示)； (3)如图3，当∠MON=α(α为定值，0°＜α＜90°)时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数(用含α的式子表示)；如果会，请说明理由． 44 __________ 【解析】解：(1)∵∠MON=58°， ∴∠OBA+∠OAB=122°． ∴∠NBA+∠MAB=238°． ∵BD、AD分别为∠NBA、∠MAB的平分线， ∴∠DBA= NBA，∠DAB= ∠MAB． ∴∠DBA+∠DAB= ×(∠NBA+∠MAB)=90°+ 58°． ∴∠ADB=180°-(90°+ 58°)=90°- 58°=61°． 故答案为：61． (2)∵∠MON=n°， ∴∠OBA+∠OAB=180°-n°． ∵BC、AC分别为∠OBA、∠OAB的平分线， ∴∠ABC= ∠OBA，∠BAC= ∠OAB， 45 ∴∠ABC+∠BAC= ×(∠OBA+∠OAB)= (180°-n°)． ∴∠ACB=180°- (180°-n°)=90°+ n°． 故答案为：(90+ n)． (3)∠F的大小不变，∠F= α． 理由如下：∵∠NBA-∠BAO=∠MON=α， 又BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA= ∠NBA，∠BAF= ∠BAO， ∴∠F=∠EBA-∠BAF= (∠NBA-∠BAO)= α． 46 【知识点01】三角形三边的关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【知识点02】三角形的分类 【知识点03】三角形的重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【知识点04】三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【知识点05】三角形的内角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点06】三角形的外角 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【知识点07】定义与命题 1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 2.命题：判断一件事情的句子叫做命题. 真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题. 【知识点08】证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明. 1.（23-24八年级下·云南红河·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10 2.（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第三边的长是 ． 3.（23-24七年级下·四川资阳·期末）已知关于x的不等式组 至少有两个整数解，且存在以3，a，6为边的三角形，则整数a的值有 个 1.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）已知 中， ，那么 中最大角的度数为 ． 2.（23-24七年级下·安徽黄山·期末）将一把直尺和一块含 和 的三角板 按如图所示的位置放置，若 ，那么 的度数为 ． 1.（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，这样做的依据是 ． 2.（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架 ，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 1.（23-24八年级上·山东聊城·期末）下列语句中，属于命题的是（   ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 2.（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题中是真命题的是（     ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．无限不循环小数是无理数； D．过一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3.（23-24八年级上·河南洛阳·期末）命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 ，这个逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 1.（23-24七年级下·河南郑州·期末）数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在 中， 边上的高是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为 、 ，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则它的周长为 ． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为 时，三角形三边长为 ，不能构成三角形； 当腰长为 时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长 ． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为 和 ， ∴三角形三边可以是 、 或 、 ， ∴三角形的周长为 或 ， 故答案为：13或14． 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为 ，一中线将周长分成的两部分差为 ，则这个三角形三边长为 ． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为 ，则底边长为 ， 或 ， 解得： 或 ， ∴ 或 ， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形 中，高 与一腰所夹的锐角是 ，则等腰三角形 底角的度数为 ． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1） 为锐角三角形时，此时又有两种情况： ①当 是等腰 底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边 上的高， ， ， ∵高 与一腰所夹的锐角是 ， ， ； 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形 中，高 与一腰所夹的锐角是 ，则等腰三角形 底角的度数为 ． ②当 是等腰 腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰 上的高， ， ， ∵高 与一腰所夹的锐角是 ， ， ， ， ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形 中，高 与一腰所夹的锐角是 ，则等腰三角形 底角的度数为 ． （2）当等腰 为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高 只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰 上的高， ， ， ∵高 与一腰所夹的锐角是 ， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形 底角的度数为 或 或 ． 故答案为： 或 或 ． $$