专题03 三角形中的边角关系（考题猜想，易错必刷28题5种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题03 三角形中的边角关系（易错必刷28题5种题型专项训练） 目录 【题型一】三角形三边关系的应用（共5题） 1 【题型二】与三角形中三线的综合探究问题（共5题） 5 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题） 14 【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题） 24 【题型五】三角形中新定义型问题（共6题） 37 【题型一】三角形三边关系的应用（共5题） 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 【答案】二 【知识点】三角形三边关系的应用、判断点所在的象限 【分析】本题考查了三角形的三边关系及点的坐标特点，首先根据三角形的三边关系判断点P的纵坐标的符号，然后根据点的坐标的特点确定点P的位置即可． 【详解】解：∵a、b、c为一个三角形的三边， ∴， ∴， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】有理数幂的概念理解、绝对值非负性、三角形三边关系的应用、绝对值方程 【分析】本题考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识， 利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b、c的值，再解绝对值方程可得a的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出的周长． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴，， ∵为方程的解， ∴或2， 又， ∴， ∴的周长为， 故答案为∶12． 3．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 【答案】(1)； (2)17 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为10， ， ， ， 的周长 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、绝对值非负性、加减消元法 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】三角形三边关系的应用、其他问题(一元一次方程的应用)、运用完全平方公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】（1）根据与的周长相等可得出，再由，联立求解方程组即可解出的长； （2）设，则，根据与的周长相等得出，从而设，可得出的表达式，设，可得出的表达式，进而求出的值． 【详解】解：（1）∵与的周长相等， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）设，则， ∵与的周长相等， ∴， 设， ∴， ∴， 设，同理可得， ∴， ∵即， ∴． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，完全平方公式及多项式的乘法以及线段的和差关系，解答本题的关键是仔细审题，细化解题思路，难度较大． 【题型二】与三角形中三线的综合探究问题（共5题） 6．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； (3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 【答案】(1)的度数为； (2)； (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，三角形的高． （1）利用垂直的性质求得，，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）利用垂直的性质结合角平分线有关的三角形内角和定理，计算即可求解； （3）同（2）计算即可求解． 【详解】（1）解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴，， ∴ ， 答：的度数为； （2）解：∵，， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴； ∴； （3）解：∵锐角中，两条高线相交于点O， ∴， ， ∵与的角平分线交于点M， ∴，， ∴ ； ∴． 7．（21-22七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先求解，结合角平分线可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ． （2），， ， 为的角平分线， ， 为边上的高， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 8．（22-23七年级下·四川遂宁·期末）如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．    (1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数； (2)如图2，当都是的高时，求的度数； (3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理，得出，，进而推出，即可求解； （2）根据，都是的高，可得出，进而得出，根据，则，求解即可； （3）根据三角形的外角定理可得，，根据，，得出，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，都是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ， ∴ ∴； （2）解：∵，都是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、三角形角平分线的定义、四边形的内角和、三角形的高等知识，熟练掌握角之间的相互转化是解题的关键． 9．（22-23七年级下·河南南阳·期末）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【详解】（1）3∶4；      解：如图，过点A作， 则 ． （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． 10．（22-23七年级下·广东深圳·期末）“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．    (1)在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； (2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 【答案】(1)①见解析；②猜想：，证明见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、垂线段最短 【分析】（1）①根据，代入数据即可求解； ②作，，根据，代入数据即可求解； （2）作点关于直线的对称点，则，，过作于，过作于，根据求得，进而根据求得，由，可得当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）①∵ ∴ 即    ∴ ②猜想： 理由如下：，作，， ∵ 即 即 ∴    （2）作点关于直线的对称点， ∴， ∵点在延长线上，则、、、共线， ∴， 过作于，过作于， ∵ ∴ ∴ ∵ 即 ∴ ∵ 当，，共线，且时，和最小，最小值为的长， 此时    【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题） 11．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 12．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 【答案】(1)2 (2)①；② 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与角平分线有关的三角形内角和问题、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形三条边的关系， （1）先三角形三边的关系求出的取值范围，再根据的长为偶数求解即可； （2）①过点A作于M，先求出，由角平分线的定义得，进而可求出，求出，进而可求出的度数； ②过点A作于M，由①可知，根据可求出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵的长为偶数， ∴或6， ∴符合条件的共有2个， 故答案为：2； （2）①如图1，过点A作于M， 在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于M， 由①可知， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【知识点】角n等分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解； （3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 证明：，， 又， ； （2）解：平分，平分， ，， 由“8字形”得到， 两等式相减得到，即， ， ； （3）解：， ，， ，， 由“8字形”得到， ，， ， ． 14．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 15．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分析探究． (1)如图1，已知，求证：． (2)如图2，已知，求证：． (3)如图3，已知，平分，平分，若，求的度数． (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为___________；（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) (4) 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、图形类规律探索 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及图形的变化类，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是用类比的思想解决第（3）、（4）小题，以及归纳总结出，，，……，之间的规律． （1）过点A作．利用平行线的性质得出．根据平角等于180度，即可得出结论； （2）过点B作，则，根据平行线的性质得，，据此结合图形可得出结论； （3）根据角平分线的定义得，，再由（2）的结论得，然后根据四边形的内角和等于得，则，据此可求出的度数； （4）根据（2）的结论可知，，据此可得，再由（3）可知，据此得，同理，……，以此类推可得出的度数． 【详解】（1）过点A作． ∴． ∵， ∴． （2）过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即：． （3）∵平分，平分， ∴，， 由（2）可知：， ∴， 由四边形的内角和等于得： ， 即：， ∴， ∵， ∴； （4）∵平分，平分， ∴， ， 由（2）可知：，， ， 由（3）可知：， 又， ， ， 同理，， ……， 以此类推，． 故答案为：． 【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题） 16．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得； （2）同理（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：同理（1）可得， ∴， ∴， ∴的度数为． 17．（23-24七年级上·全国·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连结，若，试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的判定及性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）在图中添加点M，由结合外角的性质可得出，再根据角平分线的定义可得出，由此可得出，从而得出，根据的度数即可得出结论； （2）由（1）知：，，再结合已知．即可得出，根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】（1）解：如图1所示． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：如图2，    由（2）知：，， ∵， ∴． 18．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，点E是的边上的一点，．请在下面的A，B两题中任选一题作答，我选择 ． A．如图1，若平分，交于点D，交于点F．求证：； B．如图2，若平分的外角，交边的延长线于点D，交的延长线于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】选择A：证明见解析；选择B：，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义： 选择A：首先根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到； 选择B：首先根据角平分线的定义可得，再根据等量代换可得，然后再根据三角形外角的性质可得，进而得． 【详解】证明：选择A：∵平分， ∴， ∵，，， ∴； 选择B：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵   ∴， ∵，，， ∴． 19．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（）根据三角形的内角和即可得到结论； （）由三角形外角性质得，，则，由三角形外角性质得，则，所以，又由三角形外角性质得，则，即可求解； （）根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得到，，两等式相加得到，即，然后把，代入计算即可； 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴； （2）如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：以为交点“字型”中，有，以为交点“字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 20．（23-24八年级下·全国·期末）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），详见解析 （3）详见解析， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时，， ∵， ∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 22．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． (1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则 ； (3)如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 【答案】(1)①，见解析；②，见解析 (2) (3) ，见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得，即可证明与的位置关系； （2）根据四边形内角和等于可求出，，根据角平分线的定义可得出，，进而得到，再进行等量代换即可； （3）根据三角形外角的性质先得到，，，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于进行等量代换即可求出． 【详解】（1）①，理由如下 ∵，， ∴． 又∵， ∴，即， ∴． ②，理由如下 ∵， ， ∴， ∴． （2）三角形内角和为，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：， ∵， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． 将其代入， 得． 故答案为：． （3），理由如下 ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 又∵，， ∴， 整理得， ∴． 将其代入， 得． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，四边形内角和，平行线的性质和判定，角平分线的定义，直角三角形的性质，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系进行等量代换． 【题型五】三角形中新定义型问题（共6题） 23．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】    (1)如图①，，、是的“三分线”，则 ； (2)如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ； (3)如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 【答案】(1) (2)75或90 (3) 【知识点】角n等分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解“三分线”的定义是解题关键． （1）根据“三分线”的定义，得到，即可求出的度数； （2）由三角形内角和定理，得到，再根据“三分线”的定义，分两种情况求出的度数； （3）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据“三分线”的定义，得到，，进而求出，即可得到的度数． 【详解】（1）解：，、是的“三分线”， ， ； 故答案为：40； （2）解：在中，，， ， 当是的“邻三分线”，   ， ； 当是的“邻三分线”，   ， ； 综上分析可知：或； 故答案为：75或90； （3）解：， ， ， 、分别是邻“三分线”和邻“三分线”， ，， ， ， ． 24．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 【答案】(1)；是 (2)平行，理由见解析 (3)的度数是 【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“完美三角形”的概念判断； （2）根据同角的补角相等得到，根据平行线的性质得到，推出； （3）根据得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴为“完美三角形”， 故答案为：；是； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∵是“完美三角形”，且为钝角， ∴， ∵， ∴， 因此的度数是． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． ①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由． (2)如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______． 【答案】(1)①是；②是“和谐三角形”，理由见解析 (2)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．理解题意，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． （1）①由题意知，，则，进而可得是“和谐三角形”；②由，可得，则，由，可得是“和谐三角形”； （2）由题意知，，则，，由，，可知当是“和谐三角形”，分或两种情况求解即可． 【详解】（1）①解：由题意知，， ∵， ∴是“和谐三角形”， 故答案为：是； ②解：是“和谐三角形”，理由如下； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“和谐三角形”； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， 又∵，， ∴当是“和谐三角形”，分或两种情况求解； 当时，； 当时， ∵， ∴； 综上所述，的值为或； 故答案为：或． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（）设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为，由三角形内角和定理可得，解方程即可求解； （）由三角形内角和定理得，再分为“黄金角”、 为“黄金角”和为“黄金角”三种情况解答即可求解； （）由平行线的性质和角平分线的定义可得，进而由三角形外角性质得到，设，根据“黄金角”及“似黄金三角形”的定义分和两种情况解答即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理和外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，理解“黄金角”及“似黄金三角形”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设“黄金角”的度数，则另一个内角的度数为， 则， ∴， ∴这个“黄金角”的度数为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵为“似黄金三角形”， 若为“黄金角”，则， ∴； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴，此种情况不合题意，舍去； 若为“黄金角”，则， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵为“似黄金三角形”， 当时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵是“似黄金三角形”， 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当为“黄金角”，时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，此种情况不可能为“似黄金三角形”； 综上，的度数为或． 27．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 【答案】(1) (2)①；②或；③，或． 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）根据创新角的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“创新角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和直角三角形两锐角互余，用表示和，列方程，即可解答． ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵和互为“创新角”，且，若和互补， ， ； 故答案为：； （2）解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“创新角”， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“创新角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴ ∴， ∵和互为“创新角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或． 28．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论和适当添加辅助线是解题的关键． （1）设的“3系数补角”是x，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①设，，根据三角形外角的性质和是的“6系数补角”，列方程组，解方程组即可得到答案；②分六种情况画出图形分别进行求解即可． 【详解】（1）解：设的“3系数补角”是x， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的“3系数补角”是； 故答案为： （2）①设， 如图，设与相交于点H，    ∵，， ∴， ∴， 即①， ∵是的“6系数补角”， ∴， 即② 联立①②得， 解得 即是； ②∵是的“2系数补角”， ∴ ∴ 如图1，∵与两个角的平分线交于点M．    ∴， ∵ ， 过点H作， ∵， ∴ 则 ∴∴ 如图2，    同理可得，， 则 如图3，    ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 如图4，    同理可得，， ∴ 如图5，    同理可得，， ∴ 如图6，    同理可得，， ∴ 综上可知，的大小为或或或 $$专题03 三角形中的边角关系（易错必刷28题5种题型专项训练） 目录 【题型一】三角形三边关系的应用（共5题） 1 【题型二】与三角形中三线的综合探究问题（共5题） 5 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题） 14 【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题） 24 【题型五】三角形中新定义型问题（共6题） 37 【题型一】三角形三边关系的应用（共5题） 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果a、b、c为一个三角形的三边，那么点在第 象限． 2．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为 ． 3．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求的周长． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）（1）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等，求的长． （2）如图，在中，，，，为边上一点，且与的周长相等；为边上一点，且与的周长相等，求（用含，的式子表示）． 【题型二】与三角形中三线的综合探究问题（共5题） 6．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数； (3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________． 7．（21-22七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 8．（22-23七年级下·四川遂宁·期末）如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．    (1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数； (2)如图2，当都是的高时，求的度数； (3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 9．（22-23七年级下·河南南阳·期末）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 10．（22-23七年级下·广东深圳·期末）“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．    (1)在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； (2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题（共5题） 11．（23-24七年级下·四川内江·期末）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 12．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线． (1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个； (2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，． ①求的度数； ②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 14．（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 15．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）分析探究． (1)如图1，已知，求证：． (2)如图2，已知，求证：． (3)如图3，已知，平分，平分，若，求的度数． (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为___________；（用含的代数式表示） 【题型四】与角平分线有关的三角形外角问题（共7题） 16．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 17．（23-24七年级上·全国·期末）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连结，若，试说明：． 18．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知，点E是的边上的一点，．请在下面的A，B两题中任选一题作答，我选择 ． A．如图1，若平分，交于点D，交于点F．求证：； B．如图2，若平分的外角，交边的延长线于点D，交的延长线于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 19．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图所示，，则的度数为______； (3)如图，若和的平分线和相交于点，且与，分别相交于点，，，若，，求的度数． 20．（23-24八年级下·全国·期末）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 21．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 22．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知在中，，过点D作，垂足为E，为的一条角平分线，为的平分线． (1)如图1，若，点G在边上且不与点B重合． ①判断与的数量关系，并说明理由， ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点G在边上，与交于点M，用含有的代数式表示，则 ； (3)如图3，若，点G在边上，与的延长线交于点H，用含有的代数式表示，并说明理由． 【题型五】三角形中新定义型问题（共6题） 23．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】如图①，在中，若，则、叫做的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】    (1)如图①，，、是的“三分线”，则 ； (2)如图②，在中，，，若的“三分线”交于点D，则 ； (3)如图③，在中，、分别是邻“三分线”和邻“三分线”，且，求的度数． 24．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）我们定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“完美三角形”． (1)如图1，，在射线上找一点A，过点A作交于点B．则______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)如图2，为钝角，点D在的边上，连接，作的平分线交于点E，在上取一点F，使，，请问与是否平行？并说明理由． (3)若是“完美三角形”，求的度数． 25．（23-24七年级下·广东深圳·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图1，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接． ①_______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”？并说明理由． (2)如图2，中，，，点D是线段上一点（不与A、B重合），连接，若是“和谐三角形”，请直接写出_______． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数比另一个内角度数大，那么这样的三角形我们称为“似黄金三角形”，其中称为“黄金角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是“似黄金三角形”，其中为“黄金角”． (1)一个“似黄金三角形”的一个内角为，若“黄金角”为锐角，则这个“黄金角”的度数为______． (2)如图，在中，，，为线段上一点（点不与点、点重合）．若是“似黄金三角形”，求的度数． (3)如图，中，点在边上，平分交于点，过点作交于点，且．若和都是“似黄金三角形”，直接写出的度数． 27．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“创新角”，其中一个角叫做另一个角的“创新角”． 例如：，，，则和互为“创新角”，即是的“创新角”，也是的“创新角”． (1)已知和互为“创新角”，且，若和互补，则___________； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线，的平分线分别交、于、两点． ①若，且和互为“创新角”，则___________； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“创新角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“创新角”时，则__________． 28．（23-24七年级下·北京房山·期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，，有，则是的“5系数补角”．    (1)若，在中，的“3系数补角”是________； (2)在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点． ①如图1，点G为平面内一点，连接，，若是的“6系数补角”，求的大小． ②如图2，连接．若H为平面内一动点（点H不在直线上），与两个角的平分线交于点M．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程． $$