2025年辽宁省大连市普通高中学业水平考试数学模拟试卷（三）

第 1页，共 3页 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学参考答案 (三) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题 ABBAB CCBCD DA 二、填空题 1 2 6 200 三、解答题 17．解：（1）f(x)的最小正周期为2 ． （2）因为0 2 x  ，所以 4 4 4 x     ．所以函数在 0, 2      上单调递增， 当 4 4 x     ，即 x＝0时，f(x)取得最小值 2 2  ；当 4 4 x    ，即 2 x  时，f(x)取 得最大值 2 2 ． 所以 f(x)在区间 0, 2      上的最小值为 2 2  ，最大值为 2 2 ． 18．解：（1）由已知，得 ( 3, 4)OA    ， (12,5)OB   .所以 ( 3) 12 4 5OA OB        36 20 16     . （2） cos | | OA OBAOB OA OB        ‖ 2 2 2 2 16 ( 3) 4 12 5       16 65   . 19. 解：（1）这 100名学生中，物理实验次数在[10,15)内的人数为100 0.1 5 50   ； （2）由图可得  0.004 0.006 0.03 0.1 5 1b      ，得 0.06b  ， 所以估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在[15, 20)内的概率为5 0.3b  . 第 2页，共 3页 20. （1）连接 BD交 AC于点 E，连接 EF ， 由于底面 ABCD为平行四边形，所以 E为 BD 的中点． 在 BSD 中，F 为 SB的中点，所以 EF SD∥ 又因为 EF 平面 ,CFA SD平面CFA， 所以 SD  平面CFA． （2）取 BC中点O，连接 ,AO SO． 因为 SB SC ，所以 SO BC ， 又 135DAB  ，所以 =45ABC ，又 2 2, 2BC AB  ， 所以由余弦定理得 2 2 2 22 cos 4 8 8 2 4 2 AC AB BC AB BC ABC          ， 即 2AC  ，所以 AB AC ． 又点O是BC的中点，所以OA BC ， 又 SO BC ，且 SO OA O ， ,SO OA平面 AOS ， 所以 BC 平面 AOS ， 又 SA平面 AOS ，所以 SA BC ． 21.（1）解：函数 ( )f x 的定义域为R ， 当 ( )f x 为奇函数时，    f x f x   ，即     0f x f x   因为     22 1 1 33 1 3 1 3 1 xx x x aaf x           ， 所以         2 221 1 3 3 13 1 0 3 1 3 1 3 1 x xx x x x a aaf x f x              ，解得 0a  ， 所以，当 0a  时， ( )f x 为奇函数 第 3页，共 3页 （2）证明：   22 2 1 13 23 1 2( ) 1 3 1 3 1 3 xx x x x aa af x             ， 设 1 2, Rx x  且 1 2x x ，             2 1 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 1 2 2 3 32 2 2 21 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x aa a a af x f x                      ， 因为 2a  ， 1 2x x ， 所以 2 2 0a   ， 2 1 2 1 03 3,3 3x x x x  ， 2 11 0, 1 03 3x x    ， 所以             2 1 1 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 3 1 x x x x f f a x x        ，即    1 2f x f x ， 所以， 2a  时，函数 23 1( ) 3 1 x x af x    在 R 上单调递减. 第 1页，共 4页 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟试卷(三) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合  1,2A  ，    | 1 0,B x x x a a R     .若 A B ，则 a的值为（ ） A．2 B．1 C． 1 D． 2 2． sin 6   （ ） A． 2 2 B． 1 2 C． 2 2  D． 3 2  3．下列函数是偶函数的是（ ） A． y x B． 2 1y x   C． 1y x  D． 3y x  4．命题“ 2, 1x x  R ”的否定是（ ） A． 2, 1x x R  B． 2, 1x x R  C． 2, 1x x  R D． 2, 1x x  R 5．设 1 , ( 1) ( ) 2, ( 1) x f x x x      ，则 (1)f 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．-1 6．如图，四边形 ABCD是平行四边形，则 AB BD    （ ） A． AC  B．CA  C． AD  D．DB  第 2页，共 4页 7．函数 ( ) 1f x x  的定义域是（ ） A． 1|x x   B． | 0x x  C． | 1x x  D． | 2x x   8．若 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1 a b  B．a c b c   C． ac bc D． 2 2a b 9．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形， PD 底面 , 2ABCD AB PD  ，那么该四棱锥的体积是 （ ） A．1 B． 4 3 C． 8 3 D．4 10．函数 2( ) 3xf x x  的零点可能所在的区间是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(－2，－1) D．(－1，0) 11．已知 3cos 4 x  ，则 cos 2x （ ） A． 1 4  B． 1 4 C． 1 8  D． 1 8 12．从 1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是（ ） A． 1 10 B． 1 5 C． 2 5 D． 3 5 第Ⅱ卷（非选择题共 64 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．要求直接写出答案， 不必写出计算过程或推证过程） 13．计算： lg 2 lg5 =______________． 14．已知平面向量 (1, 2), ( , 4),x a b 且a b ，则实数 x ______________． 15．函数 2( ) 2 3f x x x   在区间[ 1,2] 上的最大值为______________． 第 3页，共 4页 16．某大学 A， B，C三个专业的在校学生人数见下表： 专业类别 A B C 合计 学生人数 1000 1700 1600 4300 现采用分层抽样的方法，调查这三个专业学生对参加某项社会实践活动的意向．在抽 取的样本中，C专业的学生有320人，则样本中 A专业的学生人数为______________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．（本小题满分 10分）已知函数 ( ) sin( ) 4 f x x   ． （1）写出 ( )f x 的最小正周期； （2）求 ( )f x 在区间[0, ] 2  上的最小值和最大值． 18．（本小题满分 10分）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， ( 3,4)A  ， (12,5)B . （1）求OA OB   ； （2）求 AOB 的余弦值． 第 4页，共 4页 19. 为了调查学生在一学期内参加物理实验的情况，从某校随机抽取 100名学生，经 统计得到他们参加物理实验的次数均在区间[5,30]内，其数据分组依次为：[5,10)， [10,15) ，[15, 20)，[20,25)，[25,30] .若 0.1a  . （1）求这 100名学生中，物理实验次数在[10,15) 内的人数； （2）估计该校学生在一学期内参加物理实验的次数在[15, 20)内的概率． 20. 已知四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形， 135DAB   ， 2 2BC  ， 2,SB SC AB F   为线段 SB的中点． （1）求证： SD  平面CFA； （2）求证： SA BC ． 21. 设 aR ，函数 23 1( ) 3 1 x x af x    ． （1）求 a的值，使得 ( )f x 为奇函数； （2）求证： 2a  时，函数 23 1( ) 3 1 x x af x    在 R 上单调递减．