2025年辽宁省大连市普通高中学业水平考试数学模拟试卷（二）

第 1页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学参考答案 (二) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题 ADBBC BCCDB AA 二、填空题 -2 6 2 4 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17． 解：（1）由 2 2( )a b c bc   ，得 2 2 2b c a bc   ， 由余弦定理，得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ， 因为  0,πA ，所以 π 3 A  ； （2）由正弦定理，得 sin sin a b A B  ，即 2 2sinsin 63sin 3 3 π b AB a    ， 因为 a b ，所以A B ，即 π0 3 B  ，所以cos 0B  ， 由 2 2sin cos 1B B  ，得 3cos 3 B  ． 18．解：（1）设[25，30）年龄组对应小矩形的高度为 h，则  5 0.01 0.07 0.06 0.02 1h     ，解得 0.04h  ． 所以，  25,30 年龄组对应小矩形的高度是0.04． （2）志愿者年龄在 25,35 年龄组的频率为  5 0.04 0.07 0.55  ， 故志愿者年龄在 25,35 年龄组的人数约为0.55 800 440  ． 估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在  25,35 的人数是 440人． 第 2页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 19．（1）证明：∵ ,M N分别是 ,PA PB中点 ∴ //MN AB 又MN 平面 ABCD， ABÌ 平面 ABCD ∴ / /MN 平面 ABCD （2）∵ PA平面 ABCD，CD平面 ABCD ∴PA CD 又底面 ABCD是矩形 ∴ AD CD ，又 PA AD A  ， ,PA AD 平面 PAD ∴CD平面 PAD 20．解：（1）因为向量 (1 )OM OB OA       （ R ， 0  且 1  ）， 所以  OM OA OB OA     ，即 AM AB ，（ R ， 0  且 1  ）， 所以 AM  ， AB  共线， 因为 AM  ， AB  有公共点A， 所以， , ,A B M 三点共线，即M 点在三角形OAB的 AB边所在的直线上. （2）结合（1）得，当 2  时， 2AM AB   ，即 B为 AM 的中点， 所以， 2 AB AM ， 设点O到直线 AB 的距离为d ， 所以 1 2 21 2 OAM OAB AM d AMS S ABAB d          21．解：（1）函数   2 2 1 a x bf x x    是定义在  1,1 上的奇函数 所以  0 0f  ，则  0 0 0 1 bf b    ，所以   2 2 1 a xf x x   因为 1 2 2 5 f       ，则 21 1 22 12 51 4 a f         ，则 2 1a  ，所以 1a   ， 此时   2 1 xf x x   ，定义域关于原点对称， 第 3页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 又      2 2 11 x xf x f x xx          ，所以  f x 是奇函数，满足题意， 故 1a   ， 0b  . （2）由（1）知   2 1 xf x x   ． 设 1 2,x x 是  1,1 内的任意两个实数，且 1 2x x ，            2 2 1 2 2 11 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x xx xf x f x x x x x                  1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x      ， 因为    2 21 2 1 2 1 21 1 0, 0,1 0x x x x x x    ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以函数  f x 在  1,1 上是增函数. （3）因为    1 0f x f x   ，所以    1f x f x   ，即    1f x f x   ， 则 1 1 1 1 1 1 x x x x             ，所以 0 2 1 1 1 2 x x x             ，所以 10 2 x  ， 即此不等式解集为 10 2 x x      ． 第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟试卷(二) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合  6,8,9A  ，则（ ） A．6 A B．7 A C．8 A D．9 A 2. 3πcos( ) 4 （ ） A. 0 B. 1 2  C. 2 2 D. 2 2  3．下列函数为偶函数的是（ ） A．   3f x x  B． ( ) 2 2f x x= - C．   3f x x D．   1f x x  4．袋子中有 4个大小质地完全相同的球，其中 3个红球，1个黄球，从中随机抽取 2 个球，则抽取出的 2个球恰好是 1个红球 1个黄球的概率是（ ） A． 1 3 B． 12 C． 2 3 D．1 5. 在 ABC 中， A ， B ， C 所对的边分别为 a，b，c，其中 4a  ， 6c  ， 12cos 13 A  ，则 sinC （ ） A. 5 2 13 B. 5 13 C. 15 26 D. 15 2 26 6．命题 20 0: , 1 0p x R x    ，则命题 p的否定 p 为（ ） A． 2, 1 0x R x    B． 2, 1 0x R x    C． 20 0, 1 0x R x    D． 2 0 0, 1 0x R x    第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 7. 过棱长为 2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正 方体剩余几何体的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 20 3 D. 16 3 8．函数 2 5 6y x x   在区间[2，4]上（ ） A．单调递减 B．单调递增 C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减 9．如图，D是 ABC 的边 AB中点，则向量CD  =（ ） A． 1 2 BC BA   B． 1 1 2 2 CA CB   C． 1 2 BC BA   D． 1 1 2 2 CA CB   10. 已知函数 ( ) 2cos( ) 1 4 f x x    的最大值和最小值分别为（ ） A. 3，1 B. 3， 1 C. 3 ， 1 D. 3 ，1 11. 已知 (1 2i)(3 i)z    ，则 z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12．函数   1, 1 3, 1 x x f x x x       则   4f f （ ） A．0 B．-2 C．2 D．6 第Ⅱ卷（非选择题共 64 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．要求直接写出答案， 不必写出计算过程或推证过程） 13．已知平面向量  1,1a ，  2,m b ，且 a b ，则m ___________． 14．若一组数据 1 2 3, , , , nx x x x   的平均数为 3，则 1 2 32 ,2 ,2 , ,2 nx x x x   的平均数为________． 15．函数 2( ) 3f x x x  的零点个数为___________． 16．已知 ,a b R ，且 1ab  ，则 4a b 的最小值为___________． 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．已知 ABC 的内角 , ,A B C所对应的边分别为 , ,a b c，且 2 2( )a b c bc   ． （1）求A； （2）若 3, 2 2a b  ，求 cosB． 18．对某市“四城同创”活动中 800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方 图（如图），但是年龄组为  25,30 的数据不慎丢失，则依据此图可得： （1） 25,30 年龄组对应小矩形的高度是多少? （2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在 25,35 的人数是多少? 19．如图，在四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD是矩形，PA平面 ABCD，M，N分别 是 ,PA PB的中点，求证： （1） / /MN 平面 ABCD； （2）CD平面 PAD． 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 20．已知点O A M B， ， ， 为平面上四点，且向量 (1 )OM OB OA       （ R ， 0  且 1  ）. （1）问：M 点在三角形OAB的哪条边所在的直线上？ （2）若 2  ，求 OAM OAB S S   的值. 21．函数   2 2 1 a x bf x x    是定义在  1,1 上的奇函数，且 1 2 2 5 f       ． （1）求实数 ,a b的值； （2）用定义证明函数  f x 在  1,1 上是增函数； （3）解关于 x的不等式    1 0f x f x   ．