2025年辽宁省大连市普通高中学业水平考试数学模拟试卷（一）

第 1页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟试卷(一) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合   1 0A x x x   ，那么下列结论正确的是（ ） A．0 A B．1 A C． 1 A  D．0 A 2. 已知 i 为虚数单位，若复数 3 i i z  ，则 z （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 10 3. 函数   1 2( 1)f x x  的定义域为（ ） A. { 0}x x  B. { | 0x x  且 1}x  C. (1, ) D. [1, ) 4．已知命题 :p x R  ， 2 2 3 0x x   ，那么 p 是（ ） A． 20 0 0, 2 3 0x R x x     B． 2, 2 3 0x R x x     C． 20 0 0, 2 3 0x R x x     D． 2, 2 3 0x R x x     5．已知 ( )y f x 是定义在R上的奇函数，  2 1f   ，则  2f （ ） A． 2 B．1 C． 0 D． 1 6．若 a b ，则下列不等式成立的是（ ） A． 2 2a b B． 1 1 a b  C． a b D． 0a b  第 2页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 7．在平行四边形 ABCD中，下列结论错误的是（ ） A． AB DC    B． AD AB AC      C． AB AD BD      D． 0AD CB      8．若函数   22 1f x x mx    的单调递减区间是[1, ) ，则m（ ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 9. 将函数 siny x 的图象上所有的点向右平行移动 5  个单位长度，再把所得各点的 横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A. 1sin( ) 2 5 y x   B. y  1sin( ) 2 5 x  C. y  1sin( ) 2 10 x  D. 1sin( ) 2 10 y x   10．北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的 1000名舞蹈专业 生的数据（单位：kg）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在 60kg 以上的人数为（ ） A．100 B．150 C．200 D．250 11．已知函数 ( 1) 2, 0 ( ) 0, 0 ( 2) 2, 0 f x x f x x f x x          ，则 ( 3)f  （ ） A． 6 B．2 C． 4 D． 0 第 3页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 12. 已知函数   2 π3sin sin cos , [0, ] 2 f x x x x x   ，则  f x 的最大值为（ ） A. 31 2  B. 1 3 2  C. 3 D. 1 3 第Ⅱ卷（非选择题共 64 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．要求直接写出答案， 不必写出计算过程或推证过程） 13. 已知一组数据 1，2，3，3，4，5，则该组数据的方差是______________． 14. 函数    1 2sin 2f x x x  R 的最小正周期为______________． 15. 掷一颗股子（一种各面分别标有点数 1，2，3，4，5，6的正方体），出现奇数点 的概率为______________． 16．已知长方体的长宽高依次为 1，2，3，则该长方体外接球表面积为______________． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．给定三个平面向量      3,2 , 1,2 , 4,1   a b c ． （1）求 , < a b b c > 的大小； （2）若向量 ka c 与向量2 b c 共线，求实数 k的值． 18．已知函数 2( ) (sin 2 cos2 ) 1 2 f x x x   . （1）求函数 ( )f x 的最小正周期； （2）求函数 ( )f x 的最大值及相应自变量 x的值． 第 4页/共 4页 学科网（北京）股份有限公司 19．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 3 2 1, , , 5 5 5 5 ，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 20． 已知在四棱锥 E ABCD 中， AE 底面 ABCD，且底面 ABCD是正方形，F、 G分别为 AE 和CE的中点. （1）求证： //FG 平面 ABCD； （2）求证： BD CE ． 21．如图，从山顶A到山脚C有两条线路供游人选择，一条从A沿直线路径步行到达 C，另一条从A乘缆车到达 B后，然后沿直线路径 BC步行到C，已知 1040AB  米， 经测量得 3 5cos sin 5 13 C A ， （且A为锐角）． （1）求路径 AC的长； （2）甲从A以50m/min的速度沿 AC步行 1min后，乙乘缆车以 130m/min 的速度驶 向 B，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小． 第 1页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学参考答案 (一) 本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷，满分 100 分，考试时间 90 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 36 分） 一、选择题 ADDCD DCDBD AA 二、填空题 5 3 π 1 2 14 三、解答题 17．解：（1）    4,0 , 3,3a b b c        ， 则    4, 3 2, 12a b b c a b b c               ， 所以     2cos , 2 a b b c a b b c a b b c                      ， 因为  , 0, πa b b c       ，所以 4 π,a b b c       ； （2）      3,2 4,1 4 3, 2a kc k k k        ，      2 2,4 4,1 6,3b c        ， 因为向量 a kc   与向量 2b c   共线，所以    6 2 3 4 3k k    ， 解得 7 6 k = - ． 18．解：（1） 2 π( ) (sin 2 cos 2 ) 1 sin 2 1 2 4 f x x x x           ， 第 2页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 函数 ( )f x 的最小正周期 2π π 2 T   ； （2）当 π π2 2 π, Z 4 2 x k k    ，即 π π, Z 8 x k k   时， 函数 ( )f x 取最大值，且最大值为 2. 19．解：（1）记  1,2,3,4iA i  表示该选手能正确回答第 i个问题，则        1 2 3 4 4 3 2 1, , , 5 5 5 5 P A P A P A P A    ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响，所以所求概率是          1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 1 9615 5 5 5 625P A A A A P A P A P A P A            . （2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为        1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3P A A A A A A P A P A A P A A A     4 4 3 4 3 2 1011 1 1 5 5 5 5 5 5 125                     ． 20．证明：（1）连接 AC，由已知 F、G分别为 AE和CE 的中点， //FG AC ，又 FG 面 ABCD， AC 面 ABCD， //FG 平面 ABCD； （2）底面 ABCD是正方形， BD AC  ， 又 AE 底面 ABCD， BD 面 ABCD， BD AE  ， ,AE AC A AE   面 ACE， AC 面 ACE， 第 3页/共 3页 学科网（北京）股份有限公司 BD 面 ACE，又CE 面 ACE， BD CE  . 21．解：（1）在 ABC 中，由 3cos 5 C  得 4sin 5 C  ，由 5sin 13 A  ，A为锐角得 12cos 13 A  ， ∴ sin sin[ ( )] sin( )B A C A C      63sin cos cos sin 65 A C A C   ． ∵ sin sin AB AC C B  ， ∴ 631040sin 65 12604sin 5 AB BAC C     ． 所以路径 AC的长1260米． （2）设乙出发 t分钟后，甲，乙两人距离为 d，则 2 2 2 12(50 50 ) (130 ) 2 (50 50 ) 130 13 d t t t t        27400 7000 2500t t    2200 37 35 2500t t   ． ∵ 10400 8 130 t   ∴当 35 74 t  时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发 351 74 分钟．