专题4.6 平面向量的数量积及其应用（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题4.6 平面向量的数量积及其应用 【新高考专用】 题型一 平面向量的数量积 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西太原·一模）在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，则 ． 4．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ． 题型二 平面向量的夹角问题 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·甘肃兰州·一模）等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点， ． 8．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ． 题型三 平面向量的模长 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D．13 10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）等边的边长为3，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ． 12．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 题型四 平面向量的垂直问题 13．（2024·重庆·模拟预测）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河南新乡·模拟预测）已知向量，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（2024·山西晋中·模拟预测）已知向量，，若，则 ． 16．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，若，则 ． 题型五 平面向量的投影 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 18．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 . 20．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 题型六 坐标法解决向量数量积问题 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（    ） A．18 B．180 C． D． 23．（2024·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 24．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 . 题型七  向量在物理中的应用 25．（23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 26．（23-24高一下·河北·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 27．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 28．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为 . 题型八  向量数量积与解三角形综合 29．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 30．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形中，，则 . 32．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为 . 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东青岛·二模）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 5．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 6．（2024·广东佛山·一模）已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 7．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角梯形中， ，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（    ）    A．1 B．3 C． D． 8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若 则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影向量的坐标为 10．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最大值为 11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 三、填空题 12．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 13．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 14．（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 四、解答题 15．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 16．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 17．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 19．（23-24高一下·辽宁·期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 平面向量的数量积及其应用 【新高考专用】 题型一 平面向量的数量积 1．（2024·河南周口·模拟预测）已知中，，，AD为BC上的高，垂足为，点为AB上一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量的线性关系及数量积的运算律得可得答案. 【解答过程】如图所示， 由题意可知，，，，故， 因为， 所以， 则 . 故选：A. 2．（2024·山西太原·一模）在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（    ） A．16 B．12 C．8 D． 【解题思路】以为原点，建立如图坐标系，结合向量的坐标运算即可. 【解答过程】因为在中，，，，以为原点，建立如图坐标系， 则，，，，设，则，， 由题意可知.即，即，所以. 所以，.所以. 故选：A. 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，，则 ． 【解题思路】根据四边形是平行四边形，利用向量加减法的三角形法则及坐标运算即可求解. 【解答过程】    因为四边形是平行四边形， 所以， ， 所以. 故答案为：. 4．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ． 【解题思路】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案. 【解答过程】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为：. 题型二 平面向量的夹角问题 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可. 【解答过程】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【解答过程】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B. 7．（2024·甘肃兰州·一模）等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点E是BC上靠近点C的三等分点， ． 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量的数量积公式求解. 【解答过程】以边所在的直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 设等边三角形的边长为，则，，，， 即，, ∴， 故答案为：.    8．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则 ． 【解题思路】根据已知条件依次求出、、，接着求出、和即可结合向量夹角余弦公式求解. 【解答过程】由题，故即， ，； ，故即， ，； ，故即， ，， 所以， 且，， 所以. 故答案为：. 题型三 平面向量的模长 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D．13 【解题思路】根据，结合数量积运算求解. 【解答过程】根据题意，， 则. 故选：B. 10．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）等边的边长为3，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解. 【解答过程】 如图，取中点，建立直角坐标系，则， 由，若，则， 所以得：， 由，若，则， 所以得：， 所以，故. 故选：A. 11．（2024·浙江温州·二模）平面向量满足，，，则 ． 【解题思路】根据题意，设向量，由向量共线以及数量积的结果列出方程，即可得到的坐标，从而得到结果. 【解答过程】设向量，由可得， 又，则， 解得，，则， 所以. 故答案为：. 12．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 满足：， ，，且 ，，则 . 【解题思路】结合数量积的定义和性质求出、和，利用即可求出答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，，， ， 所以， ， 因为， ， 所以. 故答案为：. 题型四 平面向量的垂直问题 13．（2024·重庆·模拟预测）已知，且与不共线，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【解答过程】因为向量与互相垂直， 所以，即， 即，解得. 故选：C. 14．（2024·河南新乡·模拟预测）已知向量，且，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量，可得， 因为，可得，解得． 故选：C. 15．（2024·山西晋中·模拟预测）已知向量，，若，则 ． 【解题思路】由向量垂直可得其数量积为，再借助向量数量积公式计算即可得. 【解答过程】， 由，则有，解得. 故答案为：. 16．（2024·四川·模拟预测）已知向量，，，若，则 或 ． 【解题思路】首先求出、的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【解答过程】因为，，， 所以，， 因为，所以，即， 解得或. 故答案为：或. 题型五 平面向量的投影 17．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 【解题思路】利用投影向量的定义,求解即可. 【解答过程】依题意，，， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 18．（2024·云南曲靖·二模）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可知是的中点，从而得到，，解法一：过点作，垂足为，即可得到，结合投影向量的定义即可得解；解法二：设，根据向量在向量上的投影向量等于计算可得. 【解答过程】由，所以是的中点，又是的外心， 则，再由，， 则为正三角形，， 角度一：如图，过点作，垂足为，则，， 所以向量在向量上的投影向量等于. 角度二：设，则，所以， 所以向量在向量上的投影向量等于. 故选：C. 19．（2024·广东肇庆·一模）已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 1 . 【解题思路】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【解答过程】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1. 20．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ． 【解题思路】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为：. 题型六 坐标法解决向量数量积问题 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）某公园设计的一个圆形健身区域如图所示，其中心部分为一个等边三角形广场，分别以等边三角形的三条边作为正方形的一条边构造三个正方形区域用于放置健身器材，其中每个正方形有两个顶点恰好在圆上．若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算数量积. 【解答过程】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，， 又，所以，则， 所以，， 所以. 故选：C. 22．（2024·四川绵阳·模拟预测）如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（    ） A．18 B．180 C． D． 【解题思路】建立坐标系，求出直线的方程，利用坐标法表示数量积即可求解. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示： 则，，，，直线的方程为：， 设，，则有，，， 则， 所以. 故选：B. 23．（2024·山东德州·模拟预测）在中，，若是所在平面上的一点，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解. 【解答过程】由题设，可建立如图所示平面直角坐标系： 则，，，即为腰长为1的等腰直角三角形， 设，则，，， 则， 所以， 当，时，取得最小值. 故答案为：. 24．（2024·全国·一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 . 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标系表示向量，写出的解析式，再求的取值范围即可. 【解答过程】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示. 因为正方形的边长为，所以， 则、，则， 设的中点为，则，，所以，， 因为是半圆上的动点，设点， 则，其中，则， 所以，， 由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、）， ， 当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为， 可设点，其中，则， ，则， 同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、）， . 综上可知，的取值范围是. 故答案为：. 题型七  向量在物理中的应用 25．（23-24高一下·安徽·期中）平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（    ） A．1N B． C． D． 【解题思路】根据已知条件，推得，再将两边同时平方，即可求解. 【解答过程】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则， ，，与的夹角为150°， 故. 故选：A. 26．（23-24高一下·河北·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（　　） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【解题思路】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得. 【解答过程】    如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸， 依题意，，， 则，则， 因为为锐角，故， 故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸. 故选:A. 27．（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 ．（牛顿是物理的力学单位） 【解题思路】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【解答过程】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 28．（2024·内蒙古赤峰·三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为 N . 【解题思路】物体处于平衡状态，则重力沿斜面上的分量与方向相反，大小相同，即可求值. 【解答过程】由题设，N， 故答案为：N. 题型八  向量数量积与解三角形综合 29．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】由余弦定理求出，再由数量积的定义计算可得. 【解答过程】因为， 由余弦定理得，又 所以. 故选：C. 30．（2024·福建泉州·模拟预测）已知平行四边形ABCD中，，，，若以C为圆心的圆与对角线BD相切，P是圆C上的一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意做出图形，结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果 【解答过程】如图所示，过作的平行线交圆于点，过作，垂足为， 在平行四边形中，，，， 可得，，则由余弦定理可得， 由，可得，则四边形为正方形， 则，因为， 则的最小值为， 即的最小值为，故C正确。 故选：C. 31．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形中，，则 . 【解题思路】根据余弦定理求得的长，再根据向量积运算即可求解. 【解答过程】由题意知，全等,且， 可知， 根据余弦定理可知 代入可解得或 根据正弦定理得，可得， 如图可知，所以， 根据大边对大角，所以(舍)，， 所以. 故答案为：. 32．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为 . 【解题思路】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得的最大值，即可得答案. 【解答过程】由题意可得：， ， 所以 ， 解得，则， 设的外心为，外接圆的半径为， 由正弦定理得：，解得， 可得． 由平面向量的线性运算知，， 所以， 由图可知：． 当且同向时，， 所以最大值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（2024·浙江宁波·一模）向量，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用，结合数量积的运算法则求解. 【解答过程】因为 . 因为 ，所以. 故选：C. 2．（2024·山东青岛·二模）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据投影向量的公式求解. 【解答过程】根据题意，在上的投影向量为： . 故选：A. 3．（2024·四川成都·模拟预测）设向量，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，得到，化简得，代入即可. 【解答过程】向量满足 ， ,即, , , 故选：A. 4．（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【解题思路】由向量加法的几何意义以及勾股定理即可求解. 【解答过程】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 故选：A. 5．（2024·广东·模拟预测）已知向量，若，则实数的值为（    ） A．4 B．或1 C． D．4或 【解题思路】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可. 【解答过程】将两边平方，得， 由得， 即，解得或1. 故选：B. 6．（2024·广东佛山·一模）已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D． 【解题思路】根据数量积的运算律求出，即可求出，从而判断A，再根据判断B，根据投影向量的定义判断C，计算，即可判断D. 【解答过程】单位向量，满足， 则，所以， 所以，又，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以向量在向量上的投影向量为，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D. 7．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角梯形中， ，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（    ）    A．1 B．3 C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，设，，由题意中等式得到，，，结合数量积运算得到参数值； 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得. 设，，由，即，据此可得， 故，同理可得，， 据此可得， 则，整理可得， 由于，故. 故选：D.    8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为4的等边△ABC，动点P在以BC为直径的半圆上.若 则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，然后设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角恒等变换与正弦函数的性质求解即可． 【解答过程】根据题意，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： 则，半圆弧的方程为：， 设，则，， 由，得 ，解得， 由，设，其中， 可得 ， 由，得， 则， 得， 得的取值范围为： 故选：D. 二、多选题 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B．已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C．已知点G为三条边的中线的交点，则 D．已知，则在上的投影向量的坐标为 【解题思路】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影向量的定义逐一判断即可. 【解答过程】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且， 所以有，A正确； B：，当与共线且同向时，， 此时与的夹角为零，而，B不正确； C：设边上的中线为， 于是， 因为点G为三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有， 于是有，C正确； D：因为， 所以在上的投影向量的坐标为： ，D正确， 故选：ACD. 10．（2024·新疆·三模）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最大值为 【解题思路】对于A，当时，计算即可；对于B，由，即存在实数，使得，计算得即可；对于C，由得，两边平方结合二倍角公式即可；对于D，由向量的模运算得即可. 【解答过程】由题意可知，， 对于A，当时，，所以, 即，故，故A正确； 对于B，因为， 所以存在实数，使得，即， 解得，故或，故B错误； 对于C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于D，因为， 所以 ，其中， 所以当时，，故D正确. 故选：ACD. 11．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【解题思路】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【解答过程】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【解题思路】由已知可得，利用可求值. 【解答过程】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【解题思路】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【解答过程】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 14．（2024·天津·二模）已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【解题思路】建立适当平面直角坐标系，由题意可得各点坐标，从而可得所需向量的坐标表示，结合向量共线的坐标表示可得，借助向量的数量积公式计算即可得的最小值. 【解答过程】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，    由，则， 则，则，， 则，，由， 即，则， 则，， 又在线段上，故有， 解得，即，； 设，， 则，由，则， 由，，则，则， 则，故， 则，，， 则 ， 则当时，有最小值. 故答案为：；. 四、解答题 15．（2024·四川德阳·一模）平面向量，满足 (1)若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值； (2)若为钝角，求实数t的取值范围． 【解题思路】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可； （2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可. 【解答过程】（1）由题意得， 则，即， 因为，则， 所以， ， 所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为钝角，所以，即， 若共线，设，即 则，解得或， 要使为钝角，则且， 即实数t的取值范围为． 16．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求向量与的夹角的余弦值． 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解； （2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【解答过程】（1）由，得，解得， ，则． （2）由题意， 又，，解得， 则，，， ， 即向量与的夹角的余弦值为． 17．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【解题思路】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 18．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【解题思路】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【解答过程】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 19．（23-24高一下·辽宁·期末）在平面直角坐标系 中，已知四边形 是等腰梯形，，点 满足，点在线段上运动（包括端点），如图所示. (1)当点 为线段 中点时，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，求点 的坐标； (2)求 的余弦值； (3)是否存在实数 ，使 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据题意的，根据在三角形中可求得答案； （2）根据三角形中余弦定理运算公式可求得答案； （3）设，其中，根据，可得，分类讨论可求得的范围. 【解答过程】（1）因为是等腰梯形，，，点为线段中点 所以，则，将 绕原点 沿逆时针方向旋转 到 的位置，如图所示.作轴于点, ,可得, ， ，, 所以点的坐标为 （2）在中，， 所以, 因此的余弦值； （3）设，其中． 若，则， 即，可得． 若，则不存在， 若，则故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$