精品解析：山东省济南市市中区2024-2025学年上学期九年级数学期中测试卷

九年级期中学业质量调研 数 学 试 题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 故选：． 2. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行解得即可． 【详解】解：在△ABC中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键． 3. 在一个不透明的盒子中，装有绿球和白球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，通过多次摸球试验发现，摸到绿球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（ ） A. 48个 B. 42个 C. 32个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据题意得到摸到绿球的概率为，设白球有个，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：设白球有个， 由题意，得：， 解得：； 故选B． 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及正弦值，熟练掌握勾股定理及正弦是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据正弦可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ） A. 7.8米 B. 3.2米 C. 2.30米 D. 1.5米 【答案】B 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，据此进行求解即可. 【详解】设树高为x米，由题意得 ， 解得：x=3.2， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 7. 点A()、B()、C()是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意确定反比例函数图象所在象限，并确定每个象限内图象的增减性，再利用，判断出每个点所在象限，进而得出结论． 【详解】反比例函数， 函数图象在二、四象限，并且在每个象限内随的增大而增大， ， 、两点在第四象限，在第二象限， ，， ． 故选：B 【点睛】本题考查了反比例函数图象的增减性，能够准确判断反比例函数图象所在象限，并且在每个象限内的增减性是解决本题的关键． 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，先证明为直角三角形，即可求解． 详解】解：连接， ，， ， ∴，即为直角三角形， ， 故选：A． 9. 已知在正方形中，长为，分别以，为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，交于点，再分别以，为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，分别与，交于点、，那么四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，易得四边形为平行四边形，根据作图可知垂直平分，垂直平分，证明，得到，根据，求出的长，进而求出的长，利用梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵正方形， ∴， 由作图可知：垂直平分，垂直平分，则：四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 10. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，先根据得出，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 12. 如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形：分别旋转两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．先通过列表求出所有种等可能的结果，再找出一个红色和一个蓝色的结果数，然后根据概率公式计算即可，解题的关键是正确掌握利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 【详解】解：列表得： 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） ∴一共有种情况，配成紫色的有种情况， ∴配成紫色的概率是， 故答案为：． 13. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由相似多边形的性质可知，，计算求解即可． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∴，解得，， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点是菱形的边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上．若，，则的值为 __________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作延长线于点，设菱形的边长为，设，根据勾股定理可得，然后根据，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作延长线于点， 四边形是菱形， ， ， ， 设菱形的边长为， ， ， 设， 则， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， 由折叠可知：， ， ， ， ， ， ． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，含度直角三角形的性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键；根据零次幂、负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可进行求解 【详解】解：原式 ． 17. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出； （2）求的面积． （3）若点在边上，直接写出点P位似后的对应点的坐标________． 【答案】（1）见解析 （2）10 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，求解网格三角形的面积； （1）延长至，延长至，且满足，，再连接即可； （2）利用割补法由梯形面积减去两个三角形的面积即可； （3）由位似图形的性质可得的横坐标，纵坐标是的横坐标，纵坐标的2倍，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． ； 【小问2详解】 解：的面积为． 【小问3详解】 解：∵点在边上，放大到原来的2倍后得到， ∴的坐标为：． 19. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 【答案】（1）结果变红色的概率是； （2）两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 【解析】 【分析】（）直接根据概率公式求解即可； （）画树状图得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可； 本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，熟记用列表或画树状图的方法及概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是； 小问2详解】 解：画树状图， 共有种可能出现的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色,，共种结果， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）结合图象和、的坐标即可求出答案． 小问1详解】 解：把代入代入，得：， ， 把代入得：， ， 把、的坐标代入得： ， 解得：，， ， 反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是； 【小问2详解】 把代入得：， ，， ， 即的面积是； 【小问3详解】 根据图象和、的坐标得出， 当或时，的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 21. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 【答案】（1）34米 （2）15米 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图②，延长交的延长线于点F， 则四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】（1）20 （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 23. 某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． （1）如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） （2）如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． （3）如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 【答案】（1）75， （2） （3）平方千米 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案； （2）延长到I，使，设，由勾股定理得：，，，则可得出答案； （3）过点H作，垂足为O，求出和，由三角形的面积可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ， ． 故答案为：75，； 【小问2详解】 解：延长到I，使，设， ∵，， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点H作，垂足为O，如图所示： 由兴趣小组的结论，可得， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由第（2）问可知，， ∴， ∴， ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； （3）点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，求得,即得； （2）根据，点C是的中点，得，求得，求出的解析式 ，得点F坐标，得，即得； （3）①当M在y轴正半轴时， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I，根据为等边三角形，得，求得，，，证明，得，得，，得，得，，得，得点N坐标，得，解得；②当M在y轴负半轴时，在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R，根据为等边三角形，得，求得，，得，根据， 得，．求出，，得，得N点坐标为，得，解得． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得, ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵轴，, ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵轴于点D， ∴将代入得， ∴点B坐标为， 设的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点F坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当M在y轴正半轴时，如图1， 在延长线上取点G，使得，在延长线上取点H使得，过点N作轴于点I， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点N坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴正半轴上， ∴； ②当M在y轴负半轴时，如图2． 在延长线上取点P，使得，在延长线上取点Q，使得，过点N作轴于点R， ∵为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴N点坐标为， ∵N为反比例上的点， ∴， 解得， ∵m在y轴负半轴上， ∴． ∴综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握反比例函数图象和性质，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，三角形面积公式，等边三角形性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 25. 和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． （1）如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； （2）如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； （3）在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明，再根据勾股定理求出和，最后通过两条边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似证明，即可求出的值； （2）根据斜中半及等腰三角形的性质可证明，得到，即可求出，再由得出，从而证明，根据相似三角形的性质得，最后代入即可求解； （3）分四种情况进行讨论：①当在上时，，②当在的延长线上时，，③当时，过点A作于点Q，④当时，过点A作于点Q，交于点N，再根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：C，D，E三点能构成直角三角形，理由如下： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图， ∴； ③当时，是直角三角形，过点A作于点Q，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ④当时，是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 综上所述，直角三角形的面积为或或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、中位线定理、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期中学业质量调研 数 学 试 题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的盒子中，装有绿球和白球共60个，这些球除颜色外其他完全相同．从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，通过多次摸球试验发现，摸到绿球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（ ） A 48个 B. 42个 C. 32个 D. 18个 4. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 5. 如图，中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ） A. 7.8米 B. 3.2米 C. 2.30米 D. 1.5米 7. 点A()、B()、C()是反比例函数的图象上的三点，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点，，都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知在正方形中，长为，分别以，为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，交于点，再分别以，为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，分别与，交于点、，那么四边形的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果，那么________． 12. 如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形：分别旋转两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是______． 13. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均为1，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是_____． 15. 如图，点是菱形边的中点，点是上的一点，点是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点的对应点落在上．若，，则的值为 __________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16 计算：． 17. 已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出； （2）求的面积． （3）若点在边上，直接写出点P位似后的对应点的坐标________． 19. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是：盐酸（呈酸性），：硝酸钾溶液（呈中性），：氢氧化钠溶液（呈碱性），：氢氧化钾溶液（呈碱性）． （1）小周将酚酞溶液随机滴入一种溶液，结果变红色的概率是______；（直接填写答案） （2）小周同时将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰好都变红色的概率是多少？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 21. 2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔的高度． 22. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． （1）求t的值； （2）若规定温度低于时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 23. 某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． （1）如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） （2）如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． （3）如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点B在反比例函数的图象上且在点A的右侧，过点B作轴于点D，连接交于点F，若点C是的中点，求的面积； （3）点N在反比例函数的图象上，点M坐标为，若是等边三角形，求m的值． 25. 和是两个全等的三角形，绕点A旋转，，，． （1）如图1连接，，在绕点A旋转过程中，求的值； （2）如图2，在绕点A旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交的延长线于点F，求的长； （3）在绕点A旋转过程中，探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$