预习05 余弦函数与正切函数的图象与性质（八大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习05 余弦函数与正切函数的图象与性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会画出余弦函数、正切函数的图象． 2．会求及的周期，奇偶性，单调性，对称性 知识点一、余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点二、余弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上单调递增；在()上单调递减 最值 当()时，；当时， 对称性 对称中心为()；对称轴为直线() 知识点三、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 考点一：余弦函数、正切函数的画法 例1．（多选）下列关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数图象可以向左右无限延伸 B．函数图象与轴有无数个交点 C．利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为 D．函数的图象可由的图象向下平移1个单位得到 变式1-1．函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    变式1-2．已知函数，试画出的图像. 变式1-3．画出函数在上的简图． 考点二：余弦函数、正切函数的周期性 例2．设函数，已知，，且的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．若函数的最小正周期为，则常数 ． 变式2-2．函数的最小正周期为 . 变式2-3．（多选）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 考点三：余弦函数、正切函数的奇偶性 例3．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 变式3-3．，若，则 ． 考点四：余弦函数、正切函数的对称性 例4．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（多选）已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个： ①函数的最小正周期为；                ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称；        ④函数的图象关于直线对称． 则这3个条件的序号可以是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 变式4-2．函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 变式4-3．已知函数，则对称轴方程为 ． 考点五：余弦函数、正切函数的单调性 例5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．函数在上的单调递减区间是 ． 变式5-3．设函数． (1)求的最小正周期，图象的对称中心； (2)求的单调递减区间． 考点六：解不等式及比较大小 例6．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 变式6-1．下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 变式6-2．设是第一象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点七：余弦函数、正切函数的最值或值域 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．函数的最小值为 ． 变式7-3．函数，的最大值与最小值之和为 . 考点八：根据性质求参数 例8．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 变式8-1．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）设函数是上的奇函数．若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（    ） A．的值不唯一 B．的值唯一 C．的值不唯一 D．的值唯一 变式8-3．已知（为常数，），的定义域为，值域为. (1)求值； (2)若在上递增，设，画出函数在一个周期上图象，并写出单调区间. 一、单选题 1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 2．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 三、填空题 9．函数的值域为 ． 10．的大小关系是 . 11．已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 四、解答题 12．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．已知函数. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调区间. 14．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 15．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习05 余弦函数与正切函数的图象与性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．会画出余弦函数、正切函数的图象． 2．会求及的周期，奇偶性，单调性，对称性 知识点一、余弦函数的图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：（1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 知识点二、余弦函数的性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上单调递增；在()上单调递减 最值 当()时，；当时， 对称性 对称中心为()；对称轴为直线() 知识点三、正切函数的图象与性质 图象 定义域 值域 R 周期 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间内单调递增 考点一：余弦函数、正切函数的画法 例1．（多选）下列关于函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．函数图象可以向左右无限延伸 B．函数图象与轴有无数个交点 C．利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为 D．函数的图象可由的图象向下平移1个单位得到 【答案】AB 【详解】结合余弦函数的图象可知A，B正确； 利用五点法画函数的图象时，其中一个关键点为，故C错误； 函数的图象可由的图象向上平移1个单位得到，故D错误． 故选：AB. 变式1-1．函数在区间内的图象是 .（填相应序号）    【答案】④ 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确. 故答案为：④ 变式1-2．已知函数，试画出的图像. 【答案】答案见解析 【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像. 变式1-3．画出函数在上的简图． 【答案】答案见解析 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    考点二：余弦函数、正切函数的周期性 例2．设函数，已知，，且的最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设函数的最小正周期为， 因为函数，已知，，且的最小值为， 则，可得，故. 故选：D. 变式2-1．若函数的最小正周期为，则常数 ． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 变式2-2．函数的最小正周期为 . 【答案】 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 变式2-3．（多选）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于，故A正确； 对于B.，故B正确； 对于C.，， ，故不是以为周期的函数，故C错误； 对于D.函数的最小正周期为 ，所以也是它的一个周期，故D正确. 故选：ABD 考点三：余弦函数、正切函数的奇偶性 例3．函数在上的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 则， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，排除A、C， 又当时，，排除D. 故选：B 变式3-1．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数， 当时，，为偶函数，所以充分性成立； 为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立. 故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 变式3-2．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数 【答案】A 【详解】由解得, 的定义域是，的定义域关于原点对称. ，所以是偶函数， 由此排除BD选项. ，所以的一个周期为，A选项正确. ， 所以不是的周期，所以C选项错误. 故选：A 变式3-3．，若，则 ． 【答案】0 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：0. 考点四：余弦函数、正切函数的对称性 例4．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则， 又，则，故． 令，解得． 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心． 故选：B. 变式4-1．（多选）已知函数（其中均为常数，且）恰能满足下列4个条件中的3个： ①函数的最小正周期为；                ②函数的图象经过点； ③函数的图象关于点对称；        ④函数的图象关于直线对称． 则这3个条件的序号可以是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】AB 【详解】若①正确，则，解得； 若②正确，则，，，故； 若③正确，则，； 若④正确，则，； 对选项A：，取，，满足条件，此时④不满足，正确； 对选项B：，取，，满足条件，此时③不满足，正确； 对选项C：，，，不成立，错误； 对选项D：相减得到，，则，， 此时， 整理的，，而，故不成立，错误； 故选：AB. 变式4-2．函数，且为偶函数，则 ，图象的对称中心为 ， 【答案】 / 【详解】因为为偶函数， 则，得到， 又，所以， 得到， 由，得， 所以图象的对称中心为， 故答案为：， 变式4-3．已知函数，则对称轴方程为 ． 【答案】， 【详解】令，，得，． 故答案为：，. 考点五：余弦函数、正切函数的单调性 例5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，令， , 故函数的单调递增区间为. 故选：D． 变式5-1．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的最小正周期是，不符合题意. 在区间上单调递增，不符合题意. 对于，， 所以在区间上单调递增，不符合题意. 对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为， 且在区间上单调递减，B选项正确. 故选：B 变式5-2．函数在上的单调递减区间是 ． 【答案】， 【详解】当时，.注意到在上递减， 又，， 则在上的单调递减区间是：，. 故答案为：， 变式5-3．设函数． (1)求的最小正周期，图象的对称中心； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小正周期为；图象的对称中心为 (2)， 【详解】（1）的最小正周期为； 令，，解得，， 故的图象的对称中心为． （2）令，， 解得，， 故的单调递减区间为，． 考点六：解不等式及比较大小 例6．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 变式6-1．下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【详解】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确； 由于，且函数在区间内单调递减， 则，②错误； 由于，则，③正确； 由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误． 故选：B 变式6-2．设是第一象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，满足 ，故充分性成立； 但当时，是第一象限角，则， 不一定得出，故必要性不成立； 所以是第一象限角，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 变式6-3．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：，即，则. 故选：A 考点七：余弦函数、正切函数的最值或值域 例7．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则， 故的值域为． 故选：C 变式7-1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为. 故选：C. 变式7-2．函数的最小值为 ． 【答案】1 【详解】，因为， 分母不为0，则，则，得， 故函数的最小值为1． 故答案为：. 变式7-3．函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 考点八：根据性质求参数 例8．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以， 又，所以， 且函数在上单调递增， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 变式8-1．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数， 当时，方程可化为，解得 ，则当时，， 当时，方程可化为，解得， 则当时， 因为根据方程在上恰有5个不同实根， 所以这5个不同实根为，则， 故选：D. 变式8-2．（多选）设函数是上的奇函数．若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（    ） A．的值不唯一 B．的值唯一 C．的值不唯一 D．的值唯一 【答案】BC 【详解】根据题意，有，其中，于是． 由于在区间是单调函数， 于是该区间长度不大于的个最小正周期，即， 因此，从而的可能取值有2，6． 故选：BC. 变式8-3．已知（为常数，），的定义域为，值域为. (1)求值； (2)若在上递增，设，画出函数在一个周期上图象，并写出单调区间. 【答案】(1)或 (2)图象见解析，单调增区间为 ；减区间为 【详解】（1）由，得， 所以， 当时，函数为常函数显然不符合题意； 当时， ，即，得，符合题意； 当时，，即，得，符合题意. 综合所述，或 （2）由，得， 由在上递增，则，则， 所以， 列表如下： 五点法作出一个周期图象如图， 令，解得， 令，解得， 所以单调增区间为 ；减区间为 一、单选题 1．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，则， 令，则， 对比选项可知，只有当时，，符合题意，故D正确； 故选：D． 2．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】因为， ，所以函数是最小正周期为. 又因为，所以函数是奇函数. 故函数是最小正周期为的奇函数. 故选：C 3．“函数的图象关于对称”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当函数的图象关于对称时， 有，，得，， 易知，， 所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 4．已知函数满足，若函数在上的零点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图急关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， 作出和在同一坐标系中的图象，可知在内的零点有， 故零点之和为 故选：B 5．已知是函数在上的两个零点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，是方程的两根，且， 令，作出在上的图象如下图所示： 由图象可知，，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 故选：B. 6．已知函数的图象过点，且对任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而，则，， 由对任意，都有， 得函数在上单调递增， 当时，， 而余弦函数的递增区间为：， 则， 于是，解得，显然， 即，而，因此或， 所以的取值范围是或. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得. 二、多选题 7．设函数的图象关于直线对称，它的最小正周期是，则以下结论正确的是（    ） A．的图象过点 B．在上是减函数 C．的最大值与的取值有关 D．的一个对称中心是 【答案】ACD 【详解】函数的最小正周期是，，， 又的图象关于直线对称，，， 又，，， ，图象过，故A正确； 的正负未知，故无法确定的单调性，故B错误； 显然的最大值与的取值有关，故C正确； ，是的一个对称中心，故D正确． 故选：ACD 8．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确； 对B，由图象可知时，函数无意义，故， 由，得，即，B错误； 对C，，C正确； 对D，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以的值域为. 故答案为： 10．的大小关系是 . 【答案】 【详解】因为， 而余弦函数在上单调递减，因此， 所以. 故答案为： 11．已知函数，则函数的值域为 ；若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 ； . 【详解】当时，； 当时，； 当时，. 综上，函数的值域为. 作出函数的图象如图： 因为关于的方程恰有三个不相等的实数根， 所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可知，，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题 12．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)奇函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【详解】（1）是奇函数，理由如下： 设，由解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数. （2）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. （3）是奇函数，理由如下： 设，则定义域是， ， 所以是奇函数. （4）是偶函数，理由如下： 设，则的定义域是， ， 所以是偶函数. 13．已知函数. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)是，最小正周期是. (3)单调增区间为（），单调减区间为（）. 【详解】（1）函数图象如图所示. . （2）由图象知函数是周期函数，且它的最小正周期是. （3）由图象知函数的单调增区间为（）， 单调减区间为（）. 14．已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间是； (2)最小值为，此时；最大值为，此时 【详解】（1）函数的最小正周期， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是； （2）由，得， 则当，即时，； 当，即时，， 所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时. 15．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，则. 因为，且，所以. 由图可知，则， 解得. 因为，所以. 由图可知，解得. 故. （2）令，解得， 所以的单调递减区间是. （3）因为，所以， 所以当，即时，取得最小值. 因为存在，使得不等式成立，所以， 即，解得， 故的取值范围是． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$