预习03 同角三角函数的基本关系式与诱导公式（八大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习03 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能通过三角函数的定义推导并理解同角三角函数的基本关系式． 2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 3．能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 知识点一、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点二、三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 考点一：sinα、cosα、tanα知一求二 例1．已知，是第二象限角， 则= 变式1-1．已知是第三象限角，且 ，则 . 变式1-2．已知，且为第三象限角，则 ． 变式1-3．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 考点二：sinα、cosα齐次式的求值 例2．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 变式2-1．若角的终边经过点，则的值为 . 变式2-2．已知角的终边过点，则 . 变式2-3．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 考点三：sinα·cosα、sinα±cosα关系 例3．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．若，且，则 . 变式3-3．已知，，则的值为 . 考点四：利用同角三角函数关系式化简求值 例4． （    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 变式4-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．若，则（    ） A． B． C． D． 考点五：利用诱导公式给角求值 例5． （   ） A． B． C． D． 变式5-1． ． 变式5-2．计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 变式5-3．的值是（    ） A． B． C． D． 考点六：利用诱导公式给值求值 例6．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 变式6-1．已知且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 变式6-2．设是函数的零点，则的值为 . 变式6-3．已知角θ为第二象限的角，且. (1)求三角函数，的值； (2)求的值. 考点七：诱导公式中的拼凑角 例7．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，则的值为 . 变式7-2．若，则 ． 变式7-3．已知，则 ． 考点八：恒等式的证明 例8．求证：当k＝2或3时，. 变式8-1．（1）求证：； （2）设，求证. 变式8-2．证明下列恒等式： (1)； (2)． 变式8-3．求证： (1)； (2). 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．（　　） A． B． C． D． 4．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知是角终边上的一个点，将绕原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 10．已知，，则 . 11．已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 四、解答题 12．化简下列各式并求值： (1)； (2)． 13．（1）化简：，其中是第二象限角； （2）化简：. 14．已知． (1)化简； (2)若，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习03 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能通过三角函数的定义推导并理解同角三角函数的基本关系式． 2．能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 3．能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题 知识点一、同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系:. （2）商数关系:. 这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切. 温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立. （3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦. （4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立. 知识点二、三角函数的诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二：，，，其中 诱导公式三：，，，其中 诱导公式四：，．，，其中 知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 考点一：sinα、cosα、tanα知一求二 例1．已知，是第二象限角， 则= 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得. 【详解】由，是第二象限角，得， 所以. 故答案为： 变式1-1．已知是第三象限角，且 ，则 . 【答案】 【详解】因为，且是第三象限角， 所以，， 所以. 故答案为：. 变式1-2．已知，且为第三象限角，则 ． 【答案】/ 【详解】， 由，可得，解得或． 又为第三象限角，，把的值代入检验得， ，可得． 故答案为：. 变式1-3．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【详解】，解得，故. 故选：C 考点二：sinα、cosα齐次式的求值 例2．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 故选：B 变式2-1．若角的终边经过点，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为角的终边经过点， 所以，所以. 故答案为： 变式2-2．已知角的终边过点，则 . 【答案】 【详解】由题得， . 故答案为：. 变式2-3．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 故选：C. 考点三：sinα·cosα、sinα±cosα关系 例3．（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由①，以及， 对等式①两边取平方得，②， ∵，∴，由②，， 由①②，可以看作是一元二次方程的两个根， 解得，， 故A正确，B正确，C错误，D正确. 故选：ABD． 变式3-1．（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则， 由，得，即， 解得，则，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以，又，所以， 则，因此，故B正确； 对于C，由，解得， 则，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD. 变式3-2．若，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，又，则， 所以 . 故答案为： 变式3-3．已知，，则的值为 . 【答案】 【详解】由，，可得，， ． . 故答案为：. 考点四：利用同角三角函数关系式化简求值 例4． （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原式 . 故选：A 变式4-1．已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意得 所以． 故答案为：. 变式4-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则， 故原式， 故选：D． 变式4-3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，又， 所以， 则. 故选：C 考点五：利用诱导公式给角求值 例5． （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故选：A 变式5-1． ． 【答案】 【详解】， 故答案为：. 变式5-2．计算（   ） A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1 【答案】A 【详解】原式. 故选：A. 变式5-3．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故选：C. 考点六：利用诱导公式给值求值 例6．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 变式6-1．已知且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为且为第三象限角， 所以， ； （2） . 变式6-2．设是函数的零点，则的值为 . 【答案】/-0.75 【详解】解：因为， 令，则， 所以， 即， 又因为 所以， 所以， 所以. 故答案为： 变式6-3．已知角θ为第二象限的角，且. (1)求三角函数，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）角θ为第二象限的角，则有，， 又，可得，解得，. （2） . 考点七：诱导公式中的拼凑角 例7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 变式7-1．已知，则的值为 . 【答案】 【详解】由， ∴. 故答案为：. 变式7-2．若，则 ． 【答案】 【详解】因为. 故答案为： 变式7-3．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】根据题意，由诱导公式可得, 所以. 故答案为： 考点八：恒等式的证明 例8．求证：当k＝2或3时，. 【答案】证明见解析 【详解】证明：当k＝2时，左边＝＝＝＝＝右边； 当k＝3时，左边＝＝＝＝＝右边． 综上，k＝2或k＝3原等式恒成立． 变式8-1．（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 变式8-2．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 变式8-3．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 一、单选题 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知为锐角，由，得， 由，得. 故选：D 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 . 故选：D 3．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 4．若为方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是方程的两根， 则，， 且，则， 可得 ， 所以. 故选：D. 5．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 即成立； 又因为， 所以或， 结合，解得或或， 即成立，推不出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴ ∴ ∵， ∴. 故选：D 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意知，∴， ∴． 又∵，∴，∴， ∴， ∴，，∴，故ABD正确，C错误． 故选：ABD. 8．若角是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．已知是角终边上的一个点，将绕原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为， 由正切函数定义可得，解得； ， 所以， ， 即点Q的坐标为. 故答案为：． 10．已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 又， 则，故. 故答案为：. 11．已知，是关于x的方程的两个实根，且，则 ， ． 【答案】 2 /0.5 【详解】根据根与系数的关系得， ，∴． 而，∴，． 则，∴， 故，故，因此， ． 故答案为：2；． 四、解答题 12．化简下列各式并求值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1） . （2） . 13．（1）化简：，其中是第二象限角； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为是第二象限角，所以， 则； （2） . 14．已知． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 则； （2）由（1）得，，则， 又， 故． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$