预习02 任意角的三角函数（六大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

预习02 任意角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解任意角三角函数的定义, 2．理解三角函数的定义域、三角函数值的符号及诱导公式一 3．会利用三角函数的定义进行求值 知识点一、任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 知识点二、三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点三、诱导公式一 其中. 特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 考点一：由终边上的点求三角函数值 例1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，解得， 所以， 故选：D 变式1-1．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由角的终边上有一点P的坐标是， 可得，，，所以. 故选：C. 变式1-2．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，则， 可得， 所以. 故选：C. 变式1-3．已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)当；当； (2). 【详解】（1）因为， 所以当， 当 （2）若为第二象限角，则， 所以. 考点二：由三角函数值求终边上点的参数 例2．已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 变式2-1．已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D 变式2-2．已知点是角终边上一点，若，则 . 【答案】 【详解】，又， 解得：， 所以， 故答案为： 变式2-3．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 考点三：判断三角函数值的符号 例3．若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C 变式3-1．（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为， 所以是第二象限角，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以是第四象限角，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以是第二象限角，所以，故C错误； 对于D，因为， 所以是第三象限角，所以，故D正确. 故选：ABD. 变式3-2．角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 变式3-3．当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由为第四象限角，则， 所以. 故选：B 考点四：由符号确定角所在的象限 例4．已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 由，可得角的终边位于第三象限. 故选：C 变式4-1．已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由于的终边位于第二象限， 所以， 所以位于第二象限. 故选：B 变式4-2．已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】因为，即， 又，所以，即，所以， 所以角的终边在第三象限. 故选：C 变式4-3．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：由可知， 由可知或， 综上，，即为第三象限角. 必要性：若为第三象限角，则且. 所以“且”是“为第三象限角”的充要条件. 故选：A 考点五：圆上的动点与旋转点 例5．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】通过分析可知当 时，点到轴距离为，于是可以排除答案选项A，D； 再根据当时，可知点在轴上，此时点到轴距离为0，排除答案B. 故选：C． 变式5-1．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，以轴的非负半轴为始边， 以所在的射线为终边的最小正角为， 由任意角的三角函数的定义可得， 的坐标为，即， 故选：D. 变式5-2．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 【答案】 【详解】在第一象限，又， 故点P在单位圆上， 设点P的初始位置所在角为， 则，故， 顺时针转动后，点P在第四象限， 设转动后的角为，则， 因为， 所以点P所在位置的坐标为. 故答案为： 变式5-3．如图，以为圆心，半径为的圆与轴正半轴相交于点，质点在圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为． (1)求点的纵坐标关于时间（单位：）的函数解析式； (2)求在内（即），质点经过点的次数． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）由得， 因为质点运动的角速度为， 所以时刻后，经过的角度为， 故的纵坐标 （2）由（1）知周期， 而 所以质点至少经过点达次， 因为质点从到达至少需要， 而，即第个周期可以到达点， 所以质点经过点的次数为. 考点六：诱导公式一的应用 例6．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 变式6-1．对任意角和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得或者， 故不能得到， 但，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 变式6-2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 变式6-3． . 【答案】/ 【详解】 故答案为：## 一、单选题 1．若角的终边经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由角的终边经过点， 可得，而的符号不确定. 故选：A. 2．已知，则“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】， 故选：C． 3．“”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，而恒成立， 所以只能是且，所以为第二或第四象限角， 因此是为第二或第四象限角的充要条件； 故选：C. 4．在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是钝角三角形，但不能确定那个角为钝角，故不能推出， 例如，可知是钝角三角形， 但，即充分性不成立； 若，且， 可知角A为钝角，所以是钝角三角形，即必要性成立； 综上所述：“是钝角三角形”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（）.历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照阿尔•卡西的方法，的近似值的表达方式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆半径为，如图，是其外切正边形的一边，设外切正六边形边长为， ， 显然，边上的高为（），， 图中显然为圆的内接正边形的一边，设内接正六边形边长为，则， ∴， ∴， 故选：A． 6．已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为，，故， 同理， 故， 故的终边不在第二象限，故B不成立， 故选：B. 二、多选题 7．已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 【答案】BD 【详解】对于A，点位于第二象限，即角是第二象限角，不一定是钝角，A错误； 对于BCD，点到原点的距离， 则，，，C错误，BD正确. 故选：BD 8．若，则角θ的终边可能落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【详解】当，则与同号， 角θ的终边可能落在第一或第二象限． 故选：AB． 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为， 因为，， 由三角函数的定义，可得，即. 故答案为： 10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 ． 【答案】/ 【详解】， 故． 故答案为：. 四、解答题 11．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得， 则 12．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以是第三象限角，得到， 又,所以是第一象限角，得到， 所以. （2）因为是第二象限角，所以，又是第四象限角，所以， 故. （3）因为是第二象限角，所以，又是第四象角，所以， 又是第二象限角，所以，故. 13．已知角α的终边上有一点，其中． (1)判断角是第几象限角； (2)求角的正弦、余弦及正切值． 【答案】(1)第二象限 (2)，， 【详解】（1）∵，∴，∴，， 所以点在第二象限，即角α的终边在第二象限； ∴角是第二象限角； （2）∵角的终边上有一点，∴， 即，又 由（1）知，角是第二象限角，所以 所以，． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习02 任意角的三角函数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解任意角三角函数的定义, 2．理解三角函数的定义域、三角函数值的符号及诱导公式一 3．会利用三角函数的定义进行求值 知识点一、任意角的三角函数的定义 前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点 定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即 余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即 正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数 温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角． （2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定． 知识点二、三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦 知识点三、诱导公式一 其中. 特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 考点一：由终边上的点求三角函数值 例1．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 变式1-2．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 变式1-3．已知角的终边经过点 ，其中. (1)求 的值； (2)若为第二象限角，求的值. 考点二：由三角函数值求终边上点的参数 例2．已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知点是角终边上一点，若，则 . 变式2-3．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 考点三：判断三角函数值的符号 例3．若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）下列函数值的符号为正的是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 考点四：由符号确定角所在的象限 例4．已知，则角的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-1．已知角的终边位于第二象限，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-2．已知，，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式4-3．“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点五：圆上的动点与旋转点 例5．在平面直角坐标系中，质点在圆心为半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点到轴的距离关于时间的函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．点从出发，沿着单位圆的边界顺时针运动弧长到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 变式5-3．如图，以为圆心，半径为的圆与轴正半轴相交于点，质点在圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为． (1)求点的纵坐标关于时间（单位：）的函数解析式； (2)求在内（即），质点经过点的次数． 考点六：诱导公式一的应用 例6．的值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．对任意角和，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-2．（    ） A． B． C． D． 变式6-3． . 一、单选题 1．若角的终边经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在中，“是钝角三角形”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（）.历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值.按照阿尔•卡西的方法，的近似值的表达方式是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则下列不等关系中必定不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 7．已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（    ） A．为钝角 B． C． D．点在第二象限 8．若，则角θ的终边可能落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，已知，，那么角的终边与单位圆的交点坐标为 . 10．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则 ． 四、解答题 11．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 12．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 13．已知角α的终边上有一点，其中． (1)判断角是第几象限角； (2)求角的正弦、余弦及正切值． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$