2.5 逆命题和逆定理 　课件2024-2025学年浙教版数学八年级上册

2.5 逆命题和逆定理 1 1 知识回顾 请观察：等腰三角形的性质和判定定理在文字表达上有什么特 征？你有什么发现？ 2 1 知识回顾 命题 命题的概念 命题的结构 命题的分类 判断一件事情的语句叫做命题 条件 结论 真命题 假命题 已知事项 由已知事项得到的事项 正确的命题 不正确的命题 3 1 知识回顾 等腰三角形的部分性质和判定定理关系如下： 命 题 条 件 结 论 性 质1 如果一个三角形是等腰三角形 那么两个底角相等 性 质2 如果一个三角形是等边三角形 那么三个内角都等于60° 判 定1 如果一个三角形有两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形 判 定2 如果一个三角形的三个角都相等 那么这个三角形是等边三角形 你能例举几个具有上述特征的定理或命题吗？ 4 2 新知学习 命 题 条 件 结 论 命题真假 （1）两直线平行，同位角相等. （2）同位角相等，两直线平行. （3）如果a=b，那么a2=b2. （4）如果a2=b2，那么a=b. 填表： 两直线平行 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a=b a=b a2=b2 a2=b2 真命题 真命题 真命题 假命题 具有这样特征的两个命题我们可以怎么定义呢？ 5 2 新知学习 互逆命题的定义： 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫 做互逆命题. 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的 逆命题. 你能再举一个互逆命题的例子吗？ 比如 原命题：全等三角形的对应边相等. 逆命题：对应边相等的三角形是全等三角形. 6 2 新知学习 做一做： 说出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假. （1）磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具. 逆命题：高速行驶时不接触地面的交通工具是磁悬浮列车. 真命题 假命题 （2）如果 ，那么a=b. 假命题 逆命题：如果a=b，那么 . 真命题 问：（1）你认为每一个命题都有逆命题吗？ （2）逆命题的真假性与原命题有关吗？ 7 2 新知学习 （1）每个命题都有它的逆命题. （2）真命题的逆命题不一定是真命题. 假命题的逆命题不一定是假命题. 结论： 追问：如果原命题是定理，而逆命题被证明是正确的，那么我们怎么定义呢？ 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理 的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 互逆定理的定义： 8 2 新知学习 （1）“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” . 1.判断下列命题是互逆定理吗？ 是互逆定理. （2）“对顶角相等”和“两个相等的角是对顶角”. 不是互逆定理. 2.练习：判断下列说法是否正确. （1）每个命题都有逆命题. （2）假命题没有逆命题. （3）真命题的逆命题是真命题 （4）每个定理都有逆定理. （5）逆定理有真有假. 对 错 错 错 错 9 3 例题学习 例1 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 的逆命题，并证明这个逆命题是真命题. 解:这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 10 3 例题学习 已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. （3）若P在AB上，满足PA=PB，则点P是线段AB的中点，点P显然 在线段的垂直平分线上，结论一定是成立的，说明此问题的证 明需要分类讨论,还要证明点P在线段AB外的情形. A B P P' （图①） 分析：（1）如图①中，已知PA=PB，但能直接说明点在线段上的方法是 没有的，该怎么转化？ （2）能否先证明过点P的直线刚好是线段的垂直平分线，从 而说明“点P在线段AB的垂直平分线上”呢？ 11 3 例题学习 已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA＝PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：(1)当点P在线段AB上时，结论显然成立； (2)当点P不在线段AB上时， 如图，作PC⊥AB，交AB于点O . ∵PA=PB，PO⊥AB， ∴OA=OB（等腰三角形三线合一） ∴PC是AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 3 例题学习 结论： 线段垂直平分线性质定理的逆定理—— 到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 几何语言： 若点P是平面上一点，满足PA=PB ， 则点P在线段AB的垂直平分线上. 3 例题学习 例2　说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个逆命题 的真假，并说明理由. 解：逆命题是 “ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.” 这个逆命题是假命题.举反例如下： 如图，在△ABC和△ABE中，CD、EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等，所以这个命题是假命题. 3 例题学习 练习 求证：三角形三条边的垂直平分线交于一点. 已知：如图，在△ABC中，DE、FH、MN分别为三边的垂直平分线. 求证：DE、FH、MN交于一点. 分析：（1）先设两条边的中垂线交于一点； （2）再说明PA=PB=PC. （3）依据线段中垂线性质定理的逆定理 说明这个点在第三边的中垂线上 15 4 课堂小结 一、 知识内容 1.两个定义：互逆命题、互逆定理. 3.重要结论： （1）每一个命题都有逆命题；但一个定理不一定有逆定理. （2）逆命题需要经过证明才能说明是真命题；逆定理是正确的逆命题. （3）要说明一个命题是假命题只要举一个反例. 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理. 16 4 课堂小结 二.方法和经验 1.掌握证明一个逆命题是真命题的方法 （1）先把逆命题的文字语言转化为数学语言：条件作为“已知” 结论作为“求证”；（2）写出证明过程. 2.构造出一个命题的逆命题，从逆命题角度学习数学，这是一种新的知识学习方式，是一种知识上的推陈出新，提高了我们学习数学知识的效率，促进了对所学知识的理解，使深度学习成为可能. 例如：如果直角三角形的两锐角互余是性质定理，那么它的逆 命题是判定定理吗？ 17 $$