精品解析：广东省广州市第十六中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年广东省广州十六中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 3. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 5. 设、是抛物线上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线x＝﹣1 C. 函数最大值为5 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大 7. 如图，内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 9. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则周长是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数的最小值是 _________． 12. 如图，是上的三点，则，则______________度． 13. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________． 14. 已知圆锥的底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为______． 15. 在中，，，点D在边BC上，（如图），把绕着点D逆时针旋转度后，如果点B恰好落在初始的边上，那么______． 16. 如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC=_____度时，AD有最大值_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，为等边三角形，将边绕点顺时针旋转40°，得到线段，连接，求的度数． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 20. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 21. 如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E．连接AC、OC、BC． （1）证明：； （2）若，，求弦CD的长． 22. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，从条件①与条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点P坐标． 条件①：使得的面积等于6； 条件②：使得的面积等于3． 23. 如图，在中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的经过A，B两点． （1）尺规作图：作出，并标出O点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，D为劣弧的中点，连接与交于点E，延长至点F，使． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 24. 已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）． （1）求直线的解析式； （2）若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下 ①求的取值范围； ②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标． 25. 如图①，已知AB是⊙O的直径，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，当直线DF绕点D逆时针旋转时，与⊙O交于点C，且运动过程中，保持CD＝OA （1）当直线DF与⊙O相切于点C时，求旋转角的度数； （2）当直线DF与半圆O相交于点C时（如图②），设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC． ①AE与OD的大小有什么关系？说明理由． ②求此时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省广州十六中九年级（上）月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得． 【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确，符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故选A． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可． 3. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0的一个实数根为0，则m等于（　　） A. 1 B. ±1 C. ﹣1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝0代入方程得到关于m的方程，再解关于m的方程，然后利用一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】把x＝0代入（m+1）x2+3x+m2﹣1＝0，得m2﹣1＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝1， 而m+1≠0，即m≠﹣1． 所以m＝1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念、一元二次方程的定义，注意的是：千万不要忽略一元二次方程中二次项系数不为零． 5. 设、是抛物线上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线， ∴离对称轴越近越大， ∵， ∴． 故选：A． 6. 已知二次函数y＝3（x﹣1）2+5，下列结论正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线x＝﹣1 C. 函数的最大值为5 D. 当x＞1时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质对用顶点式表示的二次函数进行分析后即可得到答案． 【详解】y＝3（x﹣1）2+5中， ∵a＝3＞0， ∴图象开口向上，故A错误； 对称轴为：x＝1，故B错误； 函数有最小值为5，故C错误； 当x＞1时，y随x的增大而增大，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其用顶点式表示的二次函数的性质是解决本题的关键． 7. 如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接、，如图： ， ， 是的内切圆，与、分别相切于点、， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 8. 如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°，AB＝BC，点P是劣弧CD上不同于点C，D的任意一点，则∠BPC的度数是（　　） A 40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形求得的度数，根据AB＝BC，，则即可求得∠BPC的度数 【详解】如图，连接, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝80°， AB＝BC， 故选B 【点睛】本题考查了圆内接四边形，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得是解题的关键． 9. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b； ④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知a＜0，c＞0，由对称轴得b=2a＜0，则abc＞0，故①错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出④正确，即可得出结论． 【详解】解：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①abc＜0错误； 当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0， ∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正确； ∵x＝﹣1时，y有最大值， ∴a﹣b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）， 即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的一个交点为（﹣3，﹣2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣2的另一个交点为（1，﹣2）， 即x1＝1，x2＝﹣3， ∴2x1﹣x2＝2﹣（﹣3）＝5，故④正确． 所以正确的是②④； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数的最小值是 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：当时，函数有最小值，最小值是， 故答案为：． 12. 如图，是上的三点，则，则______________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求解． 【详解】∵∠ACB和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 故答案是：40． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键． 13. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=________． 【答案】a（1+x）2 【解析】 【详解】试题分析：∵一月份新产品的研发资金为a元， 2月份起，每月新产品研发资金与上月相比增长率都是x， ∴2月份研发资金为，∴三月份的研发资金为． 故答案为． 考点：根据实际问题列二次函数关系式． 14. 已知圆锥底面半径为，它的侧面积是，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，圆锥的母线为扇形的半径，根据扇形的面积公式和圆的周长公式求解即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为：，设圆锥的母线长为， 则，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算，扇形的面积公式（），圆的周长公式，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系． 15. 在中，，，点D在边BC上，（如图），把绕着点D逆时针旋转度后，如果点B恰好落在初始的边上，那么______． 【答案】100°或120° 【解析】 【分析】以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数． 【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″， ∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=100°， ②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD， ∴∠CB″D=30°， ∴∠CDB″=90°-∠CB″D=60°， 旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°． 故答案100°或120°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键． 16. 如图三角形ABC中，AB=3，AC=4，以BC为边向三角形外作等边三角形BCD，连AD，则当∠BAC=_____度时，AD有最大值_____． 【答案】 ①. 120， ②. 7． 【解析】 【分析】如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．只要证明△ACB≌△OCD，推出OD=AB=3，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的值最大； 【详解】解：如图， 在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD． ∵△BCD，△AOC都是等边三角形， ∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD， ∴∠ACB=∠OCD， 在△ACB和∠OCD中， ， ∴△ACB≌△OCD， ∴OD=AB=3， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD=4+3=7． ∵△ACB≌△OCD， ∴∠CAB=∠DOC， ∵当D、O、A共线时，∠DOC=180°-60°=120°， ∴当∠BAC=120度时，AD有最大值为7． 故答案为120，7． 【点睛】本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法，因式分解法，公式法解方程即可求解．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：解法一： 解法二： 或 解法三： 18. 如图，为等边三角形，将边绕点顺时针旋转40°，得到线段，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，再由旋转得出，，再由等腰三角形及三角形内角和得出即可得出结果． 【详解】解：为等边三角形， ，． 根据题意可知，． ，， ． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，等边对等角及三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，坐标与图形，勾股定理，弧长公式，解题的关键是掌握勾股定理以及弧长公式． （1）根据要求作图即可； （2）由图即可判断； （3）先计算出，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为． 【小问3详解】 解：由图可知，， ∴， 答：的长． 20. 已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴， 解得：； （2）由关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，可知： ， ∴， 即为， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 21. 如图，AB为的直径，CD是弦，且于点E．连接AC、OC、BC． （1）证明：； （2）若，，求弦CD的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质、等角的余角相等即可证明； （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵为⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，从条件①与条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点P的坐标． 条件①：使得的面积等于6； 条件②：使得的面积等于3． 【答案】（1），， （2）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线可得，求出b的值，再将代入求出c的值，即可求出抛物线的解析式，令即可求出点A，B的坐标； （2）设，条件①：根据求解；条件②：根据求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ，， 即抛物线的解析式为，，； 【小问2详解】 解：①，， ， 点P为第一象限内抛物线上一点， 设，其中， 的面积等于6， ， 解得，（舍去）， 当时，， 点P的坐标为； ②， ， 设，其中， 的面积等于3， ， 解得， 当时，， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法． 23. 如图，在中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的经过A，B两点． （1）尺规作图：作出，并标出O点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，D为劣弧的中点，连接与交于点E，延长至点F，使． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以点O为圆心，为半径作圆即可； （2）①由圆周角定理可得，由等腰三角形三线合一可得，由D为劣弧的中点，可得，通过等量代换可得，即可证明是的切线；②通过证明，，通过对应边成比例得出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如下图所示： 小问2详解】 ①证明：如图，连接， 是的直径， ， 又，，， ， D为劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ，即， ， 是的直径， 是的切线； ②解：由①知，， ， ， ， 由①知， 又， ， ， ． ，，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，第二问有一定难度，解题的关键是通过相似三角形对应边成比例推导出． 24. 已知直线：经过点（0，7）和点（1，6）． （1）求直线的解析式； （2）若点P（，）在直线上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下 ①求的取值范围； ②设抛物线G与直线的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q' 也在G上时，求G在≤≤的图象的最高点的坐标． 【答案】（1）直线解析式为：； （2）①m＜10，且m≠0；②最高点的坐标为（-2，9）或（2，5） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可； （2）①设G的顶点式，根据点P在直线上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在轴上得出答案； ②先根据点Q，点的对称，得QQ'=1，可表示点Q和的坐标，再将点的坐标的代入关系式，求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点（0，7）和点（1，6）， ∴， 解得， ∴直线解析式为：； 【小问2详解】 解：①设G：（）， ∵点P（，）在直线上， ∴； ∴G：（） ∵（0，-3）不在直线上， ∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点， 而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3）， ∴点P必须位于直线的上方， 则，， 另一方面，点P不能在轴上， ∴， ∴所求取值范围为：，且 ； ②如图，QQ'关于直线对称，且QQ'=1， ∴点Q横坐标为， 而点Q在上，∴Q（，），Q'（，）； ∵Q'（，）在G：上， ∴， ， ∴ G：，或． ∵抛物线G过点（0，-3）， ∴， 即， ， ； 当时，抛物线G为，对称轴为直线， 对应区间为-2≤≤-1，整个区间在对称轴的右侧， 此时，函数值随着的增大而减小，如图， ∴当取区间左端点时，达最大值9，最高点坐标为（-2，9）； 当时，对应区间为≤≤，最高点为顶点P（2，5），如图， ∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极值等．解题的关键是掌握当时，顶点在直线与轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-3），因此，可能会被忽视． 25. 如图①，已知AB是⊙O的直径，点D是线段AB延长线上的一个动点，直线DF垂直于射线AB于点D，当直线DF绕点D逆时针旋转时，与⊙O交于点C，且运动过程中，保持CD＝OA （1）当直线DF与⊙O相切于点C时，求旋转角的度数； （2）当直线DF与半圆O相交于点C时（如图②），设另一交点为E，连接AE，OC，若AE∥OC． ①AE与OD的大小有什么关系？说明理由． ②求此时旋转角的度数． 【答案】（1）45°；（2）①结论：AE＝OD．②∠CDF＝54° 【解析】 【分析】（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD=45°即可解决问题； （2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD； ②利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得∠ODC的度数，即可解决问题； 【详解】（1）如图①，连接OC． ∵OC＝OA，CD＝OA， ∴OC＝CD， ∴∠ODC＝∠COD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∴∠ODC＝45°； ∴旋转角∠CDF＝90°﹣45°＝45°． （2）如图②，连接OE． ∵CD＝OA， ∴CD＝OC＝OE＝OA， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵AE∥OC， ∴∠2＝∠3． 设∠ODC＝∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x． ∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x． ①结论：AE＝OD．理由如下： 在△AOE与△OCD中， ， ∴△AOE≌△OCD（SAS）， ∴AE＝OD． ②∵∠6＝∠1+∠2＝2x．OE＝OC， ∴∠5＝∠6＝2x． ∵AE∥OC， ∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°． ∴∠ODC＝36°， ∴旋转角∠CDF＝54°． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$