第09讲空间向量的运算及应用讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

努力成就梦想 方法创造奇迹 第09讲　空间向量的运算及应用 【必备知识】 1．空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量 定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向 量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 特别提醒：0不能作为基向量．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b． ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c (3)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余 弦值 cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 考点1　空间向量的线性运算 1、在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) 2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 考点2　共线、共面向量定理的应用 1、已知O(0，0，0)，A(－2，2，－2)，B(1，4，－6)，C(x，－8，8)，若O，A，B，C四点共面，则x＝________． 2、若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 考点3　空间向量数量积的运算 1、已知a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为(　　) A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2 2、在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝(　　) A．0 B． C．－ D．－ 限时训练（30分钟） 姓名： 得分： 一、单选题（每题6分，共36分） 1．在空间四边形中，，，则的夹角为（ ） A． B． C． D． ( 第4题 ) ( 第2题 ) ( 第1题 ) 2．已知平行六面体中，，，，则（    ）A． B． C． D． 3.已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.如图，在四面体中，，，，.则（   ）A． B． C． D． 5.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 6.已知，是异面直线，，，分别为取自直线，上的单位向量，且，，，则实数的值为（    ）A． B．6 C．3 D． 二、多选题（每题6分，共12分） 7．对于任意空间向量，，，下列说法错误的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 8.．在正方体中，下列命题是真命题的是（    ） ( 第8题 )A． B． C． D．正方体的体积为 三、填空题（每题6分，共12分） 9.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 10.已知空间向量满足，，，，则的值为 .  四、解答题（每题20分，共40分） 11.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求和夹角的余弦值． 12.已知正四面体的棱长为1，如图所示，求： (1)； (2)； (3)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$