第09讲空间向量的运算及应用讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第09讲　空间向量的运算及应用

【必备知识】

1．空间向量及其有关概念

特别提醒：0不能作为基向量．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．

2．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b．

②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c

(3)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

考点1　空间向量的线性运算

1、在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)

A．(2，3，3)    B．(－2，－3，－3)

C．(5，－2，1)    D．(－5，2，－1)

 

 

2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c    B．a＋b＋c

C．－a－b＋c    D．a－b＋c

 

 

 

考点2　共线、共面向量定理的应用

1、已知O(0，0，0)，A(－2，2，－2)，B(1，4，－6)，C(x，－8，8)，若O，A，B，C四点共面，则x＝________．

2、若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．

 

 

 

考点3　空间向量数量积的运算

1、已知a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为(　　)

A．－1，2     B．1，－2       C．1，2    D．－1，－2

2、在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝(　　)

A．0        B．         C．－    D．－

 

 

 

 

 

 

限时训练（30分钟）                 

          姓名：               得分：

一、单选题（每题6分，共36分）