空间向量与空间角、空间距离期末复习讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

澄海中学2023-2024学年度第二学期高二数学期末复习（专题4立体几何） 专题4之三：空间向量与空间角、空间距离 【基本知识点】 1、向量共面定理： 空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使； 对空间任一定点，有； 若四点，，，共面，则． 2、向量数乘积的运算律： ；；． 3、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得． 4、设，，则． ． ． ．． 若、为非零向量，则． 若，则． ． 点，，则． 6、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量． 7、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，， 则 ，． 8、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 则 ，． 9、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，， 则 ，． 10、设异面直线，的夹角为，方向向量分别为，，其夹角为，则． 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 11、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则． 12、平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于900的二面角称为平面和平面的夹角.若平面，的法向量分别是，，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角. 设平面和平面的夹角为，则 13、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算． 在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：. 14、点到线的距离 （1）设，已知直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量. 在中，由勾股定理，得. （2）在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为． 15、已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.向量在直线上的投影向量是，且 . . 【典型例题】 【例1】在三棱锥P－ABC中，PB＝PC＝AB＝AC＝BC＝4，PA＝2，则异面直线PC与AB所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分别取PA，PB，BC的中点E，F，G，连接EF，EG，FG，GA，PG， 如图所示，由PB＝PC＝AB＝AC＝BC＝4可得PG＝AG＝BC＝2，所以EG⊥PA， 在△GPA中，PG＝AG＝PA＝2，可得EG＝3， 由中位线的性质可得EF∥AB且EF＝AB＝2，FG∥PC且FG＝PC＝2， 所以∠GFE或其补角即为异面直线PC与AB所成角， 在△GFE中，cos∠GFE＝＝＝－， 所以异面直线AB与PC所成角的余弦值为. 【例2】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）由题设，知为等边三角形，设， 则，， 所以， 又为等边三角形，则，所以， ，则，所以， 同理，又，所以平面； （2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 由，得，令，得，所以， 设平面的一个法向量为 由，得，令，得， 所以 故，即二面角的的余弦值为． 【例3】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD. 又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，又PD∩DC＝D，所以AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD，因此l⊥平面PDC. (2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)， ＝(0，1，0)，＝(1，1，－1).由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1). 设n＝(x，y，z)是平面QCD的一个法向量， 则 即，取n＝(－1，0，a). 所以cos〈n，〉＝＝. 设PB与平面QCD所成角为θ，则sin θ＝×＝. 因为＝≤，当且仅当a＝1时等号成立， 所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. 【巩固与提升】 1.在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱在平面上的射影长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B【详解】把正四棱锥放入正四棱柱中， 则V是上底面的中心，取的中点E，的中点F， 连接EF，BE，CF，过A作，垂足为G， 在正四棱柱中， 平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以侧棱在平面上的射影为， 由已知得，，， 所以，所以， 所以 故选：B． 2、（多选）如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（    ） A．与是异面直线 B． C．直线与所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为平面，平面，平面，所以与是异面直线，故A正确； 对于B，由已知，，又，，平面， 所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系， 又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，点到的距离为. 所以，，，，， 所以，， 所以，所以，不垂直，故B错误； 对于C，，，所以， 所以直线与所成角的余弦值是，故C正确； 对于D，三棱锥的体积，故D正确. 3.（多选）如图，在棱长为的正方体中，为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（       ） A．三棱锥的体积为定值 B．过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的范围为 D．当点为中点时，二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为且，故四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， ，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，A对； 对于B选项，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，所以，平面， 又因为平面，，所以，平面平面， 所以，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形为， 易知是边长为的等边三角形，该三角形的面积为，B错； 设点到平面的距离为，由知，点到平面的距离为， 当点在线段上运动时，若为的中点时，，， 当点为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，，C正确； 当点为中点时，，则， 平面，平面，， ，平面， 、平面，，， 所以，为二面角的平面角， 平面，平面，则， 因为，所以，，同理可得， 又因为，由余弦定理可得，D对. 4、如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________. 【详解】在正方体中，是棱的中点， 延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，， 由，得，又，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，， 所以. 故答案为：； 5、如图，已知三棱柱的棱长均为2，，． (1)证明：平面平面ABC； (2)设M为侧棱上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离． 【解析】 (1)取AC的中点O，连接，，， 所以由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 由，，所以所以平面ABC； 平面,所以平面平面ABC； (2)以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 所以 设可得， 设平面的法向量为则 即取 所以因为为平面ABC的一个法向量， 设平面与平面ABC夹角为， 则 解得， 所以 所以点M到直线距离 6、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD1上的一点. (1)若点E为OD1的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值； (2)是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【解析】不妨设正方体的棱长为2.以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，O(1，1，0). (1)因为E为OD1的中点，所以E. 则＝(－1，－1，2)，＝，＝(0，2，0). 设p＝(x0，y0，z0)是平面CDE的法向量，则即 取x0＝2，则y0＝0，z0＝－1，所以p＝(2，0，－1)为平面CDE的一个法向量. 设直线OD1与平面CDE所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈，p〉|＝＝＝， 即直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为. (2)存在，且点E为线段OD1上靠近点O的三等分点.理由如下. 假设存在点E，使得平面CDE⊥平面CD1O，易知点E不与点O重合， 设＝λ，λ∈[0，＋∞)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，2). 设m＝(x1，y1，z1)是平面CD1O的法向量，则即 取x1＝1，则y1＝1，z1＝1，所以m＝(1，1，1)为平面CD1O的一个法向量. 因为＝λ，所以点E的坐标为，所以＝. 设n＝(x2，y2，z2)是平面CDE的法向量，则即 取x2＝1，则y2＝0，z2＝－，所以n＝为平面CDE的一个法向量. 因为平面CDE⊥平面CD1O，所以m⊥n，则m·n＝0，所以1－＝0，解得λ＝2. 所以当＝2，即点E为线段OD1上靠近点O的三等分点时，平面CDE⊥平面COD. 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$