第06讲 双曲线的综合应用讲义（思维导图+2大知识点+10大题型+过关测试）-2025-2026学年高二数学上学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版）

该高中数学讲义通过思维导图构建双曲线知识体系，以表格对比焦点在不同轴上的标准方程、焦点坐标等性质，系统梳理定义、几何性质及应用要点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型归纳举一反三”设计，涵盖焦点三角形、离心率等10类题型，通过例题与变式题训练推理能力和运算能力，培养数学思维。过关测试分层设置，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准教学，学生自主复习高效。

第06讲 双曲线的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：双曲线的定义 4 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：双曲线的定义与标准方程 7 题型2：双曲线方程的充要条件 8 题型3：焦点三角形问题 10 题型4：弦长问题 13 题型5：两线段的和差最值问题 15 题型6：离心率的值及取值范围 18 题型7：双曲线的简单几何性质问题 20 题型8：轨迹问题 23 题型9：渐近线问题 26 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 28 05 过关测试 32 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型1：双曲线的定义与标准方程 【例1】（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】B 【解析】双曲线，则，，所以， 又，，解得或， 又，所以. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·福建厦门·期末）双曲线C的离心率为2，右焦点为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线C的右焦点为，所以， 又双曲线C的离心率为2，所以，解得，所以， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵椭圆方程E：的焦点坐标为，，上、下顶点为，. ∴设双曲线方程C：，则， ，∴设双曲线方程C：. 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线 （）的渐近线方程为 且双曲线C的右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线的渐近线方程为， 可得，其右焦点为，可得，又， 解得，， 则双曲线的方程为：． 故选：A  ． 题型2：双曲线方程的充要条件 【例2】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】焦点在轴上，则， 解得. 故选：B 【变式2-1】（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】方程，若表示为双曲线，则需满足，也即， 充分性：若，不一定能推出，因此“”不是“方程表示双曲线”的充分条件； 必要性：若方程表示双曲线，即，则一定满足，因此“”是“方程表示双曲线”的必要条件； 综上，“”是“方程表示双曲线”的必要而不充分条件． 故选：B． 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 【答案】C 【解析】对于A，因为表示双曲线，所以, 解得，故A错误. 对于B,由A选项，得，所以， 所以的焦点只能在轴上，故B错误. 对于C,设的半焦距为，则，解得， 即焦距为，故C正确. 对于D,离心率,因为，所以， 那么,所以的取值范围是，故D错误. 故选：C 【变式2-3】（25-26高二上·河北衡水·月考）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程表示双曲线，则满足， 当时，不等式即为，解得或； 当时，不等式为， 即为，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：C. 题型3：焦点三角形问题 【例3】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为. 故选：C 【变式3-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】双曲线的左、右焦点分别为， 所以为的中点，又因为的面积为2，所以的面积为4. 又，所以， 所以为直角三角形，且. 设，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解析】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 题型4：弦长问题 【例4】过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【答案】8 【解析】双曲线，则，，， 则右焦点为， 因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条， 由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴. 若轴，由，解得或， 所以，即，符合题意； 若轴，由，解得或， 此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去， 综上可得. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【答案】 【解析】 设，，，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得， ，则， ，解得，， ，由，则，， 由可知，则，，即. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为 ． 【答案】3 【解析】由题意可知，直线，的斜率均存在且不为， 又直线，互相垂直，所以设，则， 联立消去得， 因为直线与双曲线有两个交点，所以，，解得， 同理可得， 所以， 同理可得， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形．所以，即， 整理得， 当时， 解得或或， 当时，， 解得或或， 因为， 所以由得到的两个三角形是相同的，类似的由和得到的三角形也是相同的， 综上满足题意的共有3个， 故答案为：3 题型5：两线段的和差最值问题 【例5】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】设双曲线E：的右焦点为，则. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， . 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时等号成立， 故的最小值为9. 故答案为：9 【变式5-2】双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线的虚半轴长为，实半轴长为，半焦距为 由题意可得，解得， 所以双曲线的方程为， 所以，， 因为过的直线与双曲线的左支交于两点， 且是与的等差中项， 所以+， 由双曲线的定义可得：，， 所以+， 所以， 所以， 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 题型6：离心率的值及取值范围 【例6】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，且， 所以，解得， 所以在△中，由余弦定理可得， 即，即，解得. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义得： ， ， 设， 则在中，由余弦定理得： ， 即 化简得：， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以双曲线的离心率为， 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，关于原点对称， 不妨设点为第一象限内一点，则，， 又，，所以，， 记，因为为锐角三角形， 所以，，， 即，，， 解得，所以. 故选:D. 【变式6-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是双曲线右支上的两点，且， 所以，即， 由双曲线性质可知，，所以， 又恒成立，所以，所以，所以. 故选：B 题型7：双曲线的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（25-26高二上·重庆·期中）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．椭圆的长轴长为，短轴长为 D．双曲线的离心率 【答案】BD 【解析】对于A：因为椭圆方程为：， 所以，焦点在轴上， 又，所以椭圆的焦点坐标为，故A错误； 对于B：因为双曲线的方程为：，所以，焦点在轴上， 所以该双曲线的顶点坐标为，故B正确； 对于C：因为椭圆方程为：，所以， 所以长轴长为，短轴长为，故C错误； 对于D：因为双曲线的方程为：，所以， 所以，所以离心率，故D正确； 故选：BD 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】CD 【解析】由题意可知，，，，即 ∴，即，∴，A选项错误； ∴， ∴顶点坐标为，B选项错误； ∴，C选项正确； ∵，且双曲线的焦点在轴上，∴渐近线方程为，D选项正确. 故选：CD. 【变式7-3】（多选题）（25-26高二上·全国·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】依题意，曲线， 点都满足方程， 所以曲线关于原点对称，A选项正确 由消去并化简得， 解得或，所以直线与曲线有3个公共点，B选项错误. 由整理得， 令，则有非负根， 而其对称轴， 所以，， 解得，所以C选项错误. 令，则，代入， 化简得，设. 由于的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 由解得（负根舍去）， 所以的最大值为，所以的最大值为，D选项正确. 故选：AD 题型8：轨迹问题 【例8】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 【变式8-3】（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】设分别与圆相切于点，则，，， 所以，且， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)， 这里，，，则， 故点的轨迹方程为. 故选：A 题型9：渐近线问题 【例9】（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】设双曲线的右焦点，如图所示： 过第一象限的渐近线方程为， 所以直线与直线交于点， 联立，解得：， 由是线段的中点， 所以’ 所以双曲线的渐近线方程为：， 故答案为：. 【变式9-1】（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则 . 【答案】5 【解析】经化简双曲线的渐近线方程为， ∵已知渐近线是，解得. 故答案为：5 【变式9-2】（25-26高二上·天津红桥·期中）已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则 . 【答案】 【解析】 根据双曲线方程得右焦点，渐近线为 因此焦点到两渐近线的距离均为. 由于圆过原点，故其半径为. 因此 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】由题意，，双曲线的渐近线为，如图， 设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 【例10】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则 . 【答案】 【解析】设椭圆相关参数为，双曲线相关参数为，， 则，则，且，则， 所以，且， 又，则， 所以，则，即， 所以. 故答案为：4 【变式10-1】（22-23高二下·浙江·期中）已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左、右焦点，M是椭圆和双曲线在第一象限的交点.已知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】设半焦距为， 由椭圆的定义和双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 整理得到，所以， 因为双曲线的离心率为2，故，故， 所以，故， 故答案为：. 【变式10-2】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆与双曲线具有相同焦点，记左、右焦点分别为，，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】设，，不妨设. 由椭圆的定义可知，即 ①； 由双曲线的定义可知，即 ②. 因为，根据勾股定理可得. 椭圆与双曲线具有相同焦点，设半焦距为，则，所以 ③. 对①式平方可得 ④； 对②式平方可得 ⑤. 用④-⑤可得：，即 ⑥. 将⑥代入③可得：，化简得. 椭圆的离心率，则，； 双曲线的离心率，则，. 由，两边同时除以可得，即. 将进行变形， . 根据基本不等式有，当且仅当时等号成立. 所以. 故选：C. 【变式10-3】（23-24高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点．若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】对于椭圆，由于，即， 所以三角形是等腰直角三角形，所以， 所以. ， 即， 则， 两式相减得， 不妨设在第四象限，则 . 对于双曲线，半焦距为，设其实半轴长为， 则， 所以. 故选：D 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题意，双曲线，可得，则， 因为点在双曲线上，不妨设点在第一象限， 由双曲线的定义可得， 又因为，可得，即， 又由， 可得，解得， 所以的面积为. 故选：B 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为方程表示双曲线， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件， 故选：B． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的定义知，，又， 所以，. 在中，，， 由余弦定理得，， 即，整理得，即. 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的虚轴长为，得， 因为该双曲线的渐近线方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 在双曲线上，设①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设，则， 所以，则， 由，则，故， 综上，， 所以，则， 所以，则，可得， 所以. 故选：A 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取中点Q，连接，如图所示， 因为，Q为的中点， 所以， 因为到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以， 则，所以， 由双曲线定义得，则，即， 又，整理得， 左右同除得，即， 解得或（舍）. 故选：C 8．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】A 【解析】因为双曲线， 所以，故，即， 由双曲线的定义知，， 所以或， 当时，,不合题意，舍去. 故. 故选：A 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（   ） A．点到渐近线的距离为3 B．若，则最小值是 C．当时，的面积为 D．若为坐标原点，则 【答案】BCD 【解析】如图， 设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，， 因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，， 所以， 则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以， 所以，，双曲线：， 对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，，所以，所以， 当，，三点共线时，的最小值是，，如图， 所以，故B正确； 对于C，，即内切圆半径为，所以， 所以，即为直角三角形，所以， 所以的面积为，故C正确； 对于D选项，，所以， 整理可得， 又， 两式相加可得， 即，所以，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为1 B．若，，则 C．若，则的最小值为25 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】由题意知，. 设，（）， 由椭圆定义：，由双曲线定义：， 所以，. 选项A：若，则，即，. 又， 所以为直角三角形，且. 所以，故A正确. 选项B：若，，则，， 所以，B错误. 选项C：在中，由余弦定理得， 即， 整理得，则. 所以 ，当且仅当即时，等号成立，故C正确. 选项D：同理可得，，即. 设，，则. 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线C：的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A，B，设，若P是右支上一点（与B点不重合），过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（   ） A．P到两条渐近线的距离之积为2 B． C．当直线运动时，始终有 D．在中， 【答案】ACD 【解析】 由双曲线，则，， 双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以， 所以P到两条渐近线和的距离分别为：，，所以，故A正确； ，， .故B错误 由直线与双曲线C的左右支都相交，所以直线的斜率存在， 设的方程为，，，，. 联立，消去y得，若，即， 方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得， 所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同， 且P，Q，S，T都在直线l上.所以与的中点重合，根据中点的性质可得.故C正确； 在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以 .故D正确； 故选：ACD 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设直线与双曲线的两个交点坐标分别为、， 联立可得， 由题意可得，整理可得，可得， 故双曲线的离心率为， 即双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高二上·福建三明·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因，即，而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即，解得， 所以的取值范围是. 故答案为:. 14．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为 . 【答案】 【解析】 的周长为. 因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为. 因为直线过点，所以当时，取得最小值. 令，得，则，解得. 故的离心率为. 故答案为： 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积． 【解析】（1）因为双曲线的离心率为， 所以， 又因为，分别为双曲线的左、右焦点， 所以，，， 所以双曲线C的标准方程为； （2）由题意设直线AB方程为， 与双曲线方程联立， 消去x得， 由韦达定理得， 则， 点到直线AB的距离为， 所以. 16．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【解析】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以解得，， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ， ∵直线与的右支交于两点， ∴，，， ，∴. ， 故为定值. （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为. 17．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【解析】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得， 所以， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去； 当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BC的斜率，所以． 18．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【解析】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为， 所以，解得， 则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，， 则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为， 则或， 联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 . 综上所述，为定值. 19．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 【解析】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率，得， 分析可得当M位于短轴端点时，的面积最大， 则， 又，解得， 所以曲线的方程为. （2）证明：由（1）得，依题意，直线不垂直于轴， 设， 由消去得， 则， 则 ， 所以为定值； （3）证明：设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为， 由直线不过点，得， 由消去得， 则，且， 所以， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 此时直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得， 此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点，使得为定值. 20．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【解析】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 双曲线的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：双曲线的定义 4 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型1：双曲线的定义与标准方程 7 题型2：双曲线方程的充要条件 7 题型3：焦点三角形问题 8 题型4：弦长问题 8 题型5：两线段的和差最值问题 9 题型6：离心率的值及取值范围 9 题型7：双曲线的简单几何性质问题 10 题型8：轨迹问题 11 题型9：渐近线问题 12 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 12 05 过关测试 14 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型1：双曲线的定义与标准方程 【例1】（24-25高二上·四川广安·期末）已知点是双曲线上一点，，分别为的左、右焦点，若，则（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【变式1-1】（24-25高二上·福建厦门·期末）双曲线C的离心率为2，右焦点为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线C以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E的顶点为焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线 （）的渐近线方程为 且双曲线C的右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 题型2：双曲线方程的充要条件 【例2】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·福建福州·期中）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（25-26高二上·云南昆明·期中）已知双曲线：，则（   ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围是 【变式2-3】（25-26高二上·河北衡水·月考）若方程“”表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：焦点三角形问题 【例3】（2025高二上·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是双曲线上的一点，，且的面积为2，则实数（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式3-3】（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 题型4：弦长问题 【例4】过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【变式4-1】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【变式4-2】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 . 【变式4-3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为 ． 题型5：两线段的和差最值问题 【例5】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【变式5-1】（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为 . 【变式5-2】双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则 ． 【变式5-3】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 题型6：离心率的值及取值范围 【例6】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）设，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【变式6-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知双曲线，双曲线右支上的两点满足恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：双曲线的简单几何性质问题 【例7】（多选题）（25-26高二上·重庆·期中）下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（   ） A．双曲线的虚轴长为4 B．双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C．双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D．经过焦点的最短弦长为 6 【变式7-1】（多选题）（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标是 B．双曲线的顶点坐标是 C．椭圆的长轴长为，短轴长为 D．双曲线的离心率 【变式7-2】（多选题）（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【变式7-3】（多选题）（25-26高二上·全国·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．直线与曲线有2个公共点 C．点的纵坐标的取值范围是 D．的最大值为 题型8：轨迹问题 【例8】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·河南平顶山·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D． 题型9：渐近线问题 【例9】（25-26高二上·北京·期中）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点.若是线段的中点，则的渐近线方程为 . 【变式9-1】（25-26高二上·安徽·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则 . 【变式9-2】（25-26高二上·天津红桥·期中）已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则 . 【变式9-3】（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 题型10：共焦点的椭圆与双曲线 【例10】（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知椭圆和双曲线焦点相同，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线的交点，椭圆和双曲线的离心率分别为和，若，则 . 【变式10-1】（22-23高二下·浙江·期中）已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左、右焦点，M是椭圆和双曲线在第一象限的交点.已知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 . 【变式10-2】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆与双曲线具有相同焦点，记左、右焦点分别为，，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【变式10-3】（23-24高三上·天津滨海新·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点．若，则（    ） A． B． C．3 D． 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）设和是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，若双曲线右支上一点满足且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 7．（25-26高二上·山东烟台·期末）设、分别为双曲线（，）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邯郸·月考）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 9．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（   ） A．点到渐近线的距离为3 B．若，则最小值是 C．当时，的面积为 D．若为坐标原点，则 10．（多选题）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则的面积为1 B．若，，则 C．若，则的最小值为25 D．若，则的最大值为 11．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线C：的左右焦点分别为、，左右顶点分别为A，B，设，若P是右支上一点（与B点不重合），过点P的直线与双曲线C的左支交于点Q，与其两条渐近线分别交于S，T两点，则下列结论中正确的是（   ） A．P到两条渐近线的距离之积为2 B． C．当直线运动时，始终有 D．在中， 12．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 . 13．（25-26高二上·福建三明·期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是 . 14．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为 . 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率为，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若斜率为1的直线l过点与双曲线C交于A，B两点，求的面积． 16．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 17．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 18．（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 19．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点. (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值. 20．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $