第五章 几何证明举例（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

第五章：几何证明举例 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任意一个内角 【答案】B 【分析】本题主要考查真假命题、平行线的性质、绝对值、对顶角及三角形外角，熟练掌握各个定理是解题的关键；因此此题可根据真假命题、平行线的性质、绝对值、对顶角及三角形外角进行求解即可． 【详解】解：A、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项原说法是假命题； B、对顶角相等，故本选项说法是真命题； C、如果，那么或，故本选项原说法是假命题； D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故本选项原说法是假命题； 故选：B． 2．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正五边形，得到，根据折叠的性质，得，连接，利用三角形外角性质，计算的度数即可． 本题考查了正多边形的性质和内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 根据折叠的性质，得， 连接， ∵， ∴ ， 故选：C． 4．能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，分别把各个选项的数值代入，使不成立的即为反例． 【详解】解：A、当时，，不成立，符合题意； B、当时，，成立，不符合题意； C、当时，，成立，不符合题意； D、当时，，成立，不符合题意； 故选：A． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分析讨论，认真的进行计算． 根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出顶角为，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定理即可推出顶角为． 【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角， ②此等腰三角形为锐角三角形， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 此三角形的顶角 故选：C． 6．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分，得出，求出，根据，利用等边对等角，最后求出结果即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定．首先证明，推出，，再利用三角形内角和定理，平行线的判定即可一一判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，①正确，③错误； 如图，∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，④正确； ∵， ∴，故②正确； ∴正确的有3个， 故选：C． 8．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的结论和条件互换写出对应命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：①原命题的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题； ②原命题的逆命题为如果两个角相等，那么它们都是直角，是假命题； ③原命题的逆命题为如果，，那么，是真命题； ④原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等，如，则，故命题的逆命题是假命题， 故选：B． 9．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴ ，故②正确； 连接，过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 面积相等的两个三角形全等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断及逆命题的概念，正确写出原命题的逆命题时解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题． 故答案为：面积相等的两个三角形全等；假． 12．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 【答案】/210度 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图． ∵，，， ∴ ． 故答案为：． 13．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形的外角的性质；延长交于点，证明进而得出，根据三角形的外角的性质可得，证明是等边三角形，则，进而根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形，则 ∴ 故答案为： 14．如图，线段两两相交，连接，则的度数为 ． 【答案】/360度 【分析】本题考查三角形的外角和三角形的外角性质，数量掌握三角形的外角性质是解题的关键，根据外角性质得，再利用三角形的外角和定理即可得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．如图，已知平分，平分，，则下列结论：①，②；③；④若，则，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键． 利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质和外角定理可得答案． 【详解】平分， ， 平分， ， 又， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 由现有条件无法证明，故③错误； 若， ， ， ， ， ，故④正确； 故答案为：①②④． 16如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10分）．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）根据两直线平行、内错角相等，可得，结合可得，进而可判定； （2）根据和角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）解：，， ， 是的平分线， ， ∵， ． 18（10分）．如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理， （1）由等边三角形的性质可得，，进而由可以得到，由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，利用三角形内角定理求出，进而求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ，即， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 19（8分分）．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，再利用角平分线的定义求得，即可解答； （2）根据平行线的性质，证明，为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：， ， 平分平分， ； （2）解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，看到平行线之间有角平分线应想到能得到等腰三角形是解题的关键． 20.（10分）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等，是解题的关键． （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， 即 ， 在和中 ，     ，   ， ， ． 21.（10分）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    (1)求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） (2)若，，求的长． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后利用即可得出结论，据此补全证明过程即可； （2）由（1）可得，利用全等三角形的性质可得，，然后根据即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：， ，， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22（12分）．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，求河宽的长度． (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据，结合，，得到，利用等角对等边，求河宽的长度即可． （2）证明即可得证． 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故河宽为． （2）证明：∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，河宽为20m. 23(12分）.央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 20米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：几何证明举例 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．如果，那么 D．三角形的一个外角大于任意一个内角 2．如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将正五边形一角沿直线折叠，折叠后得到点，则（   ） A． B． C． D． 4．能说明命题“对于任何有理数，”是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 6．如图，在中，，，垂直平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 8．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果，那么；④如果两个有理数相等，那么它们的平方相等．它们的逆命题成立的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 10．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题：逆命题是： ，这个命题是 命题．（填“真”或“假”） 12．小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 ． 13．如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 14．如图，线段两两相交，连接，则的度数为 ． 15．如图，已知平分，平分，，则下列结论：①，②；③；④若，则，其中正确的有 ．（填序号） 16如图，已知，点、、…在射线ON上，点、、……在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为 ． 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10分）．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 18（10分）．如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 19（8分分）．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，． (1)求的度数； (2)求的周长． 20.（10分）如图，与的顶点A，，，在同一条直线上，与交于点，与交于点，，，． (1)求证： (2)若，求线段的长． 21.（10分）如图，在中，，是经过点的一条线段，于点，于点，．    (1)求证：； 证明过程： ， ， ________（同角的余角相等） 在和中， （   ） (2)若，，求的长． 22（12分）．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量一条两岸平行、东西走向的河流宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量河流宽度？ 组内探究：由于跨河测量困难，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计），标杆，皮尺等．他们在河北岸的点B处，测得河南岸的一棵树底部A点恰好在点B的正南方向，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算河流宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 如图①，观测者从点A出发，沿着与直线成角的方向前进至点C，在点C处测得，测量出的长度． 如图②，观测者从A点向正东走到E点，G是的中点，从点E沿垂直于的方向走，直到点B，G，F在一条直线上，测量出的长度． 测量结果 ，，． ，，． (1)根据方案①，求河宽的长度． (2)方案②的灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为的长就是所求河宽的长，请你根据所学的知识，给出证明． 23(12分）.央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 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