小专题8 几何证明中常见的“图形构造”-【一课通】2024-2025学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

。 可撕可裁 小专题8 几何证明中常见的“图形构造” 一、利用等腰三角形的“三线合一”性质作辅助线 1. 下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成 证明。 等腰三角形判定定理:如果一个三角形有两个角相等. 那么两个角所对的边也相等。 已知:如图,在△ABC中,乙B=乙C。求证:AB=AC 方法一 方法二 证明:如图,作乙BAC的平分线交BC于点D 证明:如图,作AD|BC于点D 2.如图,在AABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F.D为线段CE 的中点,BE=AC。 (1)求证:AD1BC; (2)若/BAC=75,求/B的度数。 二、利用“倍长线段法”构造全等三角形 3.在ABC中,AC=5.中线AD=7.则AB边的取值范围是 4.如图,在△ABC中,AD为BC边的中线,E为AD上一点,连接BE并延长交AC于点 F.若 AEF= FAE,BE=4.EF=1.6,则CF的长为 117 类型三 利用等腰作平行线构造全等三角形 5.如图1.在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,连接ED交BC 于点F,DF=EF。 (1)求证:BD=CE: (2)如图2.连接CD.若/DFB=45*.BC=6.求△BCD的面积 图1 图2 类型四 利用截长补短构造三角形 6.如图.在AABC中, /B=2/C.AD是/BAC的平分线。求证:AC=AB+BD 7.阅读材料:“截长补短”法是通过此种思路构造全等三角形,从而得到线段(角)相等 的一种重要数学方法。如图,已知AC//BD,AE,BE分别平分乙CAB和/DBA.CD 过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。 8. 如图,在△ABC中,A<60*,AB=AC,D是△ABC外一点,ACD=乙ABD=60*,用$ 等式表示线段BD.CD.AC的数量关系,并证明。 118[AD =AD. .△ABD≌△ACD(AAS)。 DE DF, ∴，AB=AC .R△AED≌RI△AFD(HL)。 方法二。证明：如图，作AD⊥BC于点D。 .AE=AF。 BE =CF, ..AB +AC=AE-BE +AF +CF=AE-CF +AE+ CF=2AE .∠ADB=∠ADC=90°。 7.解：(1)△ABC是等腰直角三角形。 ∠B=∠C, BE为角平分线，AE⊥AB,ED⊥BC 在△ABD和△ACD中. ∠ADB=∠ADC, .AE=DE。,△ADE为等腰三角形 LAD =AD. ∠BAE=∠BDE,∠ABE=∠DBE,BE=BE, .△ABD≌△ACD(AAS)。.AB=AC .△ABE≌△DBE(AAS). 2.(1)证明：如图，连接AE。 ∴.AB=BD。∴.△ABD为等腰三角形。 ∠C=45°，ED⊥DC. ∴.△EDC为等腰三角形。 E D C 综上所述，符合题意的三角形有△ABC,△ABD. ,EF垂直平分AB,∴.AE=BE。 △ADE,△EDC .BE=AC,..AE =ACo (2)AD与BE垂直。理由如下： :D是EC的中点，AD⊥BC。 :△ABE≌△DBE,∴，BA=BD,EA=ED。 (2)解：设∠B=x°。 ∴BE垂直平分AD,即AD⊥BE .AE=BE,∴.∠BAE=∠B=x°。 (3)BE是∠ABC的平分线， ,∠AEC=2x°. DE⊥BC,EA⊥AB,∴.AE=DE。 :AE=AC,∴.∠C=∠AEC=2x°。 [AE DE. 在RL△ABE和Rt△DBE中， 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=3x°+75 BEBE, =180°， ∴.Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)。∴.AB=DB。 .x=35。,∠B=35°。 又：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 3.9<AB<19【解析】如图，延长AD到点E使 ∴.∠C=45°。 DE=AD,连接BE 又，ED⊥BC,∴，△DCE为等腰直角三角形。 .DE=DC。.AB+AE=BD+DC=BC=10。 D是BC的中点，∴.CD=BD 小专题8几何证明中常见的“图形构造” AD ED, 在△ACD和△EBD中 ∠ADC=∠EDB, 1.方法一。证明：如图，作∠B4C的平分线交BC CD BD. 于点D。 ∴.△ACD≌△EBD(SAS)。 AC=EB=5。AD=7,.AE=14。 由三角形的三边关系为14-5<AB<14+5,得 六.∠BAD=∠CAD 9<AB<19。 ∠B=∠C, 在△ABD和△ACD中 ∠BAD=∠CAD. AD =AD, 157 4.2.4 .∠C=∠EDC。∴.EC=ED 5.(1)证明：如图1，过点D作DG∥AE,交BC于 .EC BD 点G, ∴.AC=AE+EC=AB+BD ·∠FDG=∠E。在△DGF和△ECF中， 7.解：AB=AC+BD。理由如下： r∠DFG=∠EFC, 如图，在AB上截取AC=AF,连接EF。 DF=EF, :AE平分∠CAB L∠FDG=∠E, ∴∠CAE=∠BAE .△DGF≌△ECF(ASA)。.DG=CE. 在△CAE和△FAE中， :AB=AC,∴.∠B=∠ACB。 AC=AF, DG∥AE,.∠DGB=∠ACB ∠CAE=∠FAE. ∴∠DBG=∠DGB。∴DG=BD。∴.BD=CE。 LAE =AE, ∴，△CAE≌△FAE(SAS)。 ∴，∠C=∠AFE。 :AC∥BD,.∠C+∠D=180°。 :∠EFB+∠AFE=180°， ∴.∠D=∠EFB 图1 图2 BE平分∠ABD, (2)解：如图2，过点D作DG∥AE,交BC于点 ∴，∠DBE=∠FBE。 G,过点D作DI⊥BC于点H。 在△BEF和△BED中， DB=DG,BH=GH。 ,∠EFB=∠D. 由(I)知△DGF≌△ECF,.GF=CF。 ∠FBE=∠DBE, BEBE. HF=8C=3。 ∴.△BEF≌△BED(AAS)。 DH⊥BC,∠DFB=45°， ∴.BF=BD ∴.△DHF是等腰直角三角形。 AB=AF +BF,AC=AF,BF BD, ∴DH=HF=3。 ∴.AB=AC+BD。 8.解：AC=BD+CD。证明如下： 5m=2×BC,DH=7x6x3=9。 如图，延长BD至点E,使BE=AB,连接AE,CE。 6.证明：如图，在AC上截 '∠ABD=60°，∴.△ABE是等边三角形。 取AE=AB,连接DE。 ∴，AE=AB,∠AEB=60° AD平分∠BAC, :AB=AC,∴，AC=AE。.∠ACE=∠AEC .·∠ACD=60°， ∴∠EAD=∠BAD ∴，∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB, 在△AED和△ABD中， 即∠DCE=∠DEC。 AE=AB, .DE=CD。.BE=BD+DE=BD+CD。 ∠EAD=∠BAD, .AC=BE BD CD LAD =AD, ∴.△AED≌△ABD(SAS)。 ∴，ED=BD,∠AED=∠B。 ∠B=2∠C,∴.∠AED=2∠C。 又，∠AED为△CED的外角， .∠AED=∠C+∠EDC。 158