5.6.4几何证明举例练习题（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.6.4几何证明举例 题型一 角平分线的性质定理的应用 1．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 2．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 3．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数．  题型二 角平分线的判定定理的应用 1．如图，已知点到三边的距离相等，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D．   3．已知：如图，，是的中点，平分． (1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 4．如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 1．如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 2．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 3．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 2．如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 1．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 3．如图，的和的平分线，相交于点G，且，则下列结论中：①；②点G到边，，的距离相等；③．正确的选项是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6.4几何证明举例 题型一 角平分线的性质定理的应用 1．如图，是的角平分线上一点，，垂足为点，且是射线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当时，最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时，最小， 当时， 又平分，，， 故答案为： 2．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 3．如图，在中，，分别平分和，连接．若，求的度数． 【答案】43° 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，过点O作，、，则根据角平分线的性质得到，，则，即可得到平分， 进而解题即可 【详解】解：如图，过点O作，、，垂足分别为D，E，F， ∵和的平分线交于点O，，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵∠， ∴．  题型二 角平分线的判定定理的应用 1．如图，已知点到三边的距离相等，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握角平分线的判定定理及三角形内角和是解题的关键． 首先根据三角形内角和定理求出，然后根据角平分线的概念得到，，然后利用三角形内角和定理整体求解即可． 【详解】， 点到三边的距离相等， 点是三条角平分线的交点 ， ． 在中，． 故选：C． 2．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，解题的关键是根据图形判断出角平分线．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺， ， ， ， ， ， ， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是， ， 故选：A．    3．已知：如图，，是的中点，平分． (1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论； (2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)平分，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质及平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再求出，从而证明平分； （2）利用两直线平行同旁内角互补可得，所以两直线垂直． 【详解】（1）解：平分， 证明：过点作，垂足为， 平分， ， ，， ， 是的中点， ， ， ，， 平分； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ， 又，， ， ， 度． 即． 4．如图，，，垂足分别为D、E，、交于点O，． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定． （1）利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴平分． 1．如图，平分，，，于点D． (1)求证：； (2)若，求的长： (3)当时，请在，上分别找一点M，N，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小周长为12 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形，轴对称-最短路线问题，运用相关知识进行解题是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得从而可得； （2）过点P作得，由角平分线性质定理得； （3）设点P关于的对称点为，关于的对称点为，当点M、N在上时，的周长最小． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：作于点E，如图， ∵P是平分线上一点，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （3）解：分别作点P关于的对称点，连接，分别交于点M、N，连接， ∵点P关于的对称点为，关于的对称点为， ∴； ∵点P关于的对称点为， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值． 2．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 3．如图，，E是的中点，平分． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分； （2）首先证明，可得，同理可得，再由利用等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ，平分，， ， 是的中点， ， ， 又，， 平分； （2）证明：， ， 在△DFE和△DCE中， DE=DE ∠DFE=∠DCE ∠ FDE=∠EDC ∴△DFE≌△DCE ， 同理， ， ． 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：   ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3）①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 2．如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 (1)小星的解答从第 步开始出现错误； (2)请写出你认为正确的证明过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 过点P作，于点D，E，根据证明，即可得到，然后根据角平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 1．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知找出全等需要的条件，以及把已证的结论作为已知条件来使用． ①利用可证； ②利用可证； ③利用可证，进而可得，从而可证． 【详解】解：①，， ， 在和中， ， ； ②， ， 又， ，即， 在和中， ， ； ③连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， 点在的角平分线上； 综上所述，①②③均正确， 故选：A． 2．已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，且， ∴点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等， ∴点在第一、三象限角平分线上， 故选：A． 3．如图，的和的平分线，相交于点G，且，则下列结论中：①；②点G到边，，的距离相等；③．正确的选项是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质得到，，然后再利用三角形内角和定理列式整理即可得到，故①正确；根据角平分线的性质得到点G到边，，的距离相等；故②正确；过点作，，，无法证明全等，故③错误；即可得到答案． 【详解】解：∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵点是角平分线，上的点， ∴点G到边，，的距离相等； 故②正确； 过点作，，，如图所示： 由角平分线的性质可得：，，， ∵， 无法证出， ∴无法证明全等， 故③错误； 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$