5.6.5几何证明举例练习题（2题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

5.6.5几何证明举例 题型一 用HL定理证明三角形全等 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 2．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 3．如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 【答案】 (答案不唯一) (答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，． （1）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案； （2）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：，， ， （1）在中， ， ， 利用，需补充一个条件是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． （2）在和中， ， 利用，需补充一个条件(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长. 【答案】周长为10. 【分析】根据题意与角平分线的性质得AD=ED，通过HL证得△ABD≌△EBD，则AB=EB，则△DCE的周长=DE+DC+CE=AD+DC+CE=AC+CE=BE+CE=BC=10. 【详解】∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC， ∴AD=ED， ∵BD=BD， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB=EB， 又∵AB=AC， 则C△DCE= DE+DC+CE=AD+DC+CE=AC+CE=BE+CE=BC=10. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，难度较易，熟练掌握其知识点是解此题的关键. 5．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ．  题型二 HL定理的实际应用 1．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．    (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件． 【答案】(1)甲同学的方案可行，见解析 (2)于点B 【分析】本题考查全等三角形的实际应用： （1）甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学想利用证明直角三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量出结果，但条件不足，不可行． （2）添加于点B，即可使方案可行． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行； 证明：在和中，， ∴， ∴； （2）解：乙同学的方案不可行，需添加于点B． 证明：在和中，， ∴， ∴． 2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 【答案】的长度为8． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长度为8． 3．综合与实践 【实践背景】“五羊石像”位于广州市越秀公园内的越秀山木壳岗，主羊头部高高昂起，口中衔穗，回眸微笑，其余四羊环绕于主羊周围，姿态各异，造型优美，已经成为广州城市的标志．如图1所示的“五羊石像”，整个石像连基座高11米，两点分别为石像底座的两端（其中两点均在地面上）． 【实践主题】测量“五羊石像”底座的两端的距离． 【实践方案】因为两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙同学 如图3，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交的延长线于点，最后测量的长即可．     【实践探索】 (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？________________（填“甲”或“乙”）． (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________________，并说明理由． 【答案】(1)甲 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）甲同学的方案根据全等三角形的判定定理证明可得结论，而乙3同学的方案只能知道两组对应边相等，无法以证明，故不可能得出结论； （2）结合全等三角形的判定定理，再补充一组条件即可． 【详解】（1）解：甲同学的方案可行， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， 即测出的长即为“五羊石像”底座的两端的距离． 乙同学的方案不可行，因为只有两组对边对应相等，缺少证明三角形全等的条件． 故答案为：甲； （2）解：答案不唯一，如添加.理由如下： 因为， 所以， 在与中， 所以. 所以； 或添加，理由如下： 在与中， 所以. 所以． 4．某同学用11块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙（，），木墙之间刚好可以放进一块破碎玻璃的一角（），其截面示意图如图所示，已知点在上，，点和点分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 【答案】两堵木墙之间的距离为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用斜边直角边可证，得到，根据题意可得，，由，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵块相同长方体小木块的高度都是， ∴，， ∴，， ∴， ∴两堵木墙之间的距离为． 1．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在射线上，且． (1)当点F在线段上时．求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】本题考查角平分线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明． （1）角平分的性质，得到，证明，即可得证； （2）分点在线段和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分交于D，于E，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如下图，当F在线段上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 即； 如下图，当F在的延长线上时， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 即． 综上所示或． 2．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）通过即可证明. （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，再由即可证出． 【详解】（1）解：（依据：HL） （2）选择C 理由：以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）证明：如图，过点作交的延长线于点， 过点作交的延长线于点， 于点，于点， ， ， ， 即， 在和中，， ， 在和中，， ， 在和中，， ． 3．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 1．已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（    ）    A．甲同学作图判定的依据是 B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．乙同学作图判定的依据是 D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据作图痕迹判定相等的线段再结合全等三角形的判定方法可得结论，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，甲同学作图判定的依据是，则选项A，B正确不符合题意； 乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，用圆规截取的长度是线段的长，乙同学作图判定的依据是，则选项C正确，不符合题意，D不正确；符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，．    求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵在和中， ②∴ ③∴ ④∵，． 证明过程正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用“”证明即可． 【详解】解：证明：是边的中点， ， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 综上，顺序是． 故故选：B． 3．定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据命题的条件和结论求解即可； （2）由得到，然后证明出即可． 【详解】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等； （2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． ∵ ∴ ∴． 1．题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键． 根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，． 【详解】解：如图所示，   ，，， ， 在和中， ， 如图所示，   ，，， ， 在和中， ， ， 综上，或时，， 故选：． 2．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 3．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 【答案】 或 /60度 【分析】本题考查了直角三角形的判定“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等”，理解并掌握这个知识点是解题的关键，本题容易忽略两种情况，要注意分类讨论． 本题要使和全等，已知和斜边，要想证明全等，还需要一个直角边相等条件，即或．当，根据内角和为，且，可求得． 【详解】解：当 时，点和点重合， 在和中， ， ∴． 当 时，在和中， ， ∴． 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或；． 4．如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 5．下列关于直角三角形全等的说法中，不正确的是（   ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．有两角对应相等的两个直角三角形全等 D．有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了对全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； B. 有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； C. 有两角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项不正确，符合题意； D. 有一边和两角对应相等的两个直角三角形全等，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6.5几何证明举例 题型一 用HL定理证明三角形全等 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 2．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 3．如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 4．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长. 5．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数  题型二 HL定理的实际应用 1．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．    (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件． 2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 3．综合与实践 【实践背景】“五羊石像”位于广州市越秀公园内的越秀山木壳岗，主羊头部高高昂起，口中衔穗，回眸微笑，其余四羊环绕于主羊周围，姿态各异，造型优美，已经成为广州城市的标志．如图1所示的“五羊石像”，整个石像连基座高11米，两点分别为石像底座的两端（其中两点均在地面上）． 【实践主题】测量“五羊石像”底座的两端的距离． 【实践方案】因为两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2，在平地上取一个可以直接到达点的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，连接，测出的长即可． 乙同学 如图3，先确定直线，过点作射线，在射线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交的延长线于点，最后测量的长即可．     【实践探索】 (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？________________（填“甲”或“乙”）． (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：________________，并说明理由． 4．某同学用11块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙（，），木墙之间刚好可以放进一块破碎玻璃的一角（），其截面示意图如图所示，已知点在上，，点和点分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 1．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在射线上，且． (1)当点F在线段上时．求证：； (2)若，求的度数． 2．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 3．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 1．已知，如图1，．画一个，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（    ）    A．甲同学作图判定的依据是 B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．乙同学作图判定的依据是 D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 2．如图，在中，点D在边上，，，，垂足分别为E，F，．    求证：． 以下是排乱的证明过程： ①∵在和中， ②∴ ③∴ ④∵，． 证明过程正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 3．定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 1．题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 2．如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 3．如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ；若，则 ． 4．如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$