5.6.5几何证明举例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 （1）A'C'=AC,B'C'=BC （2）A'C'=AC,B'C'=BC,A'B'=AB （3）A'C'=AC,∠B'=∠B （4）A'C'=AC,∠A'=∠A （5）A'C'=AC,A'B'=AB SAS SSS AAS ASA ? ' ' 已知如图，Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C =∠C'= 90°，再添加下列条件,能使Rt△ABC≌Rt△A'B'C'吗？ A B C A' B' C' ' ' 5.6 几何证明举例 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 五 课 时 学习目标 1 2 会证明直角三角形的判定定理HL，并能应用其解决其他证明问题. 会用尺规作直角三角形. 交流与发现 1.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°,AB＝A'B'，AC＝A'C' 能证明Rt∆ABC ≌ Rt∆A'B'C'吗？ ' ' A C B A' B' C' 将两个三角形相等的两直角边AC和A'C'和对应顶点分别重合，B和B'分别在AC所在直线的两侧(如图)。由于∠ACB=∠A'C'B'=90°，所以B,C,B'三点共线，又由于AB=A'B'，于是组成等腰三角形ABB'。所以∠B=∠B'，又因为AC=A'C'，所以△ACB≌△A'C'B'. 2.将两个直角三角形的斜边重合在一起，你能证明这两个直角三角形全等吗？ B(B') C' C A(A') 证明： ∵∠ACB=∠A'B'C'= 90° AC =A'C' ， ∴∠CBA=∠ A'B'C'. ∴Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C' 新知生成 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等. “HL”定理 在Rt△ABC 与 Rt△ A′B′C ′中 AB =A′B′ BC =B′C ′ 　Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ （HL）． A B C A′ B′ C ′ 归纳总结 现在你有几种判定直角三角形全等的方法？ 1.边角边 简称 “SAS” 2.角边角 简称 “ASA” 3.边边边 简称 “SSS” 4.角角边 简称 “AAS” 5.“HL”定理 例1.如图，在 △ABC 中，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形. 例题精讲 证明 ∵DE⊥AC， DF⊥AB ∴△DEC和△DFB都是直角三角形 ∵DC=DB，DE=DF ∴Rt△DEC ≌ Rt△DFB ∴∠C=∠B. ∴△ABC是等腰三角形. 例2.已知一直角边和斜边作直角三角形. 已知：线段l,m(L<m). 求作：Rt△ABC中,使它的直角边AC和斜边AB分别等于L,m. 精析 先利用基本作图“过一点作已知直线的垂线”，作出三角形的直角顶点C。 C B A 再根据直角边AC的长确定顶点A 最后根据斜边长作出另一个顶点B. 作法： (1)任取一点C，作射线CD; (2)过点C作射线CE⊥CD； (4)以点A为圆心，m为半径作弧，交CD于点B; (5)连接AB. (3)在CE上截取CA=L； △ABC就是所求作的直角三角形. C D E A B 课堂练习 1.如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB=DE. 求证：AB∥DE. 证明：∵AD垂直BE,垂足C是BE的中点 ∴BC=EC,∠ACB=∠DCE=90°. ∵AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL). ∴∠A=∠D. ∴AB∥DE. 2.如图所示,在△ABC 和△ABD 中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C、D,AD =BC, 求证：△ABC ≌△BAD A B D C 证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD ∴∠C与∠D都是直角 AB =BA AC =BD Rt△ABC ≌Rt△BAD ∴ BC﹦AD 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， A B D C E 3.如图,CE，BD是△ABC的高,BD=CE 求证:△ABC是等腰三角形 证明：∵BD,CE是△ABC的高 ∴∠CDB=∠BCE=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 BD=CE BC=BC ∴ Rt△BCE≌Rt△BDC（HL） ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 4.如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE=PF，以下结论错误的是( ) A．AF=AE B．AP是∠BAC的角平分线 C．∠FPA=∠EPA D．若∠FAP=30°，则AF=2PF D 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 课堂检测 1.下列说法中不正确的是（　　） A. 一个锐角、一条直角边对应相等的两直角三角形全等 B. 斜边及一锐角分别相等的两直角三角形全等 C. 两个锐角分别相等的两直角三角形全等 D. 一直角边及斜边分别相等的两直角三角形全等 C 2.如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，AE=CF. 求证：∠BCF =∠BAE. 思路点拨：利用HL定理证明 课下作业 必做题： （1）课本188页习题5.6第9题 （2）课本188页习题5.6第10题 选做题：课本186页课后练习第2题 $$